arXiv:1701.00083v1 [hep-ph] 31 Dec 2016

Efectos de Temperatura Finita y Curvatura en QCD
y Modelos de Quarks Quirales
Eugenio MegŽias FernaŽndez Departamento de FŽisica AtoŽmica, Molecular y Nuclear
Universidad de Granada · Abril 2006 ·

D. ENRIQUE RUIZ ARRIOLA, CatedraŽtico del Departamento de FŽisica AtŽomica, Molecular y Nuclear y D. LORENZO LUIS SALCEDO MORENO, Profesor titular del Departamento de FŽisica AtŽomica, Molecular y Nuclear,
CERTIFICAN: Que la presente memoria de investigaciŽon, Efectos de Temperatura Finita y Curvatura en QCD y Modelos de Quarks Quirales, ha sido realizada bajo su direcciŽon en el Departamento de FŽisica AtŽomica, Molecular y Nuclear de la Universidad de Granada, por EUGENIO MEGŽIAS FERNAŽ NDEZ, y constituye su Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias FŽisicas por la Universidad de Granada.
Y para que asŽi conste, en cumplimiento de la legislaciŽon vigente, presenta ante la Universidad de Granada la referida Tesis.
En Granada, a 27 de abril de 2006.

Fdo.: Enrique Ruiz Arriola

Fdo.: Lorenzo Luis Salcedo Moreno

Fdo.: Eugenio MegŽias FernŽandez

5

7
AGRADECIMIENTOS
Deseo expresar mi maŽs sincero agradecimiento, en primer lugar a mis dos directores Enrique y Lorenzo Luis, pues se han involucrado por igual en la propuesta y el desarrollo de las diferentes lŽineas de investigaciŽon que constituyen esta tesis y han sabido aportarme la mejor ciencia que sabe hacer cada uno, que es mucha.
Al Departamento de FŽisica AtŽomica, Molecular y Nuclear, por haberme dado la posibilidad de trabajar en Žel, lo que me ha permitido comprobar la enorme calidad cientŽifica y humana de sus miembros.
A Wojciech Broniowski, por su admirable humanidad. Guardo un grato recuerdo de mi estancia en Cracovia, donde no sŽolo aprendŽi fŽisica.
Estoy en deuda con Miguel Angel, mi profesor de fŽisica en secundaria, por haberme inculcado esa ilusiŽon por la fŽisica e iniciarme en el camino.
Mis padres JosŽe Antonio y Aurora han sufrido maŽs directamente mis cambios de humor. Les renocozco su sacrificio, y los admiro por saber dominar los momentos difŽiciles y disfrutar de los momentos agradables.
Finalmente doy las gracias a quien lea total o parcialmente esta tesis, y espero que pueda sacar de ella resultados importantes.
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por la D.G.I. y fondos FEDER con proyecto FIS-2005-00810, la Junta de AndalucŽia con proyecto FM-225, EURIDICE con proyecto HPRN-CT-2002-00311 y el Ministerio de EducacioŽn y Ciencia mediante una beca de Postgrado para la FormacioŽn de Profesorado Universitario. Ha sido realizado al amparo del Departamento de FŽisica AtŽomica, Molecular y Nuclear de la Universidad de Granada.

8

ŽIndice general

1. IntroducciŽon

13

1.1. CromodinŽamica CuŽantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. SimetrŽia del centro y transiciŽon de fase de QCD . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. TeorŽias quirales efectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Heat kernel y accioŽn efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Desarrollo del Heat Kernel

21

2.1. Potencial macrocanoŽnico de un gas de partŽiculas libres relativistas . . . . . 21

2.2. MŽetodo de los SŽimbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1. Desarrollo del Heat Kernel: un caso simple . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2. Coeficientes del desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita . . 31

2.4.3. Traza de los coeficientes de Heat Kernel . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

41

3.1. Fundamentos de la TeorŽia de Yang-Mills a Temperatura Finita . . . . . . . 41

3.2. Sector fermiŽonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1. AccioŽn efectiva con representacioŽn de Schwinger . . . . . . . . . . . 44

3.2.2. Traza en espacio de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3. Integrales en tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3. Sector gluŽonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1. MŽetodo del Campo de Fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.2. AccioŽn efectiva a un loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4. RenormalizacioŽn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5. Divergencias infrarrojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6. TeorŽia efectiva dimensionalmente reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.6.1. EliminacioŽn de los modos estŽaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6.2. Desarrollo en A0 pequen~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.7. Resultados en SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7.1. Traza en espacio de color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9

10

ŽINDICE GENERAL

3.7.2. Invariancia gauge del resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.7.3. ComparaciŽon con otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.8. Resultados en SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8.1. Traza en espacio de color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8.2. Invariancia gauge del resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.8.3. ComparaciŽon con otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.9. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4. Efectos no perturbativos por encima de la transicioŽn de fase

71

4.1. IntroduccioŽn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2. Loop de Polyakov perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.1. Resultados perturbativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.2. ReduccioŽn dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.3. Resultados perturbativos a Žordenes superiores . . . . . . . . . . . . 76

4.2.4. Ansatz gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3. Contribuciones no perturbativas en el loop de Polyakov . . . . . . . . . . . 79

4.4. ComparaciŽon con datos del retŽiculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4.1. Resultados en gluodinŽamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.4.2. Resultados unquenched . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4.3. Otros resultados quenched . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4.4. RelacioŽn con otras determinaciones del condensado . . . . . . . . . 88

4.5. EnergŽia libre de un quark pesado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.5.1. Contribuciones no perturbativas en la energŽia libre . . . . . . . . . 89

4.5.2. ComparaciŽon con datos del retŽiculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5.3. AnalogŽia entre el loop de Polyakov y el potencial quark-antiquark a

temperatura cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5. Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

95

5.1. Transformaciones gauge grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.1.1. Transformaciones gauge a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . 96

5.1.2. SimetrŽia del centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.3. Rotura de la simetrŽia del centro por fermiones . . . . . . . . . . . . 97

5.2. Modelos de Quarks Quirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.1. Modelo Quark de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.2. Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3. ProblemŽatica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita . . . . 103

5.3.1. Tratamiento estŽandar a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . 103

5.3.2. GeneraciŽon de estados multi-quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3.3. Conflicto con TeorŽia Quiral de Perturbaciones . . . . . . . . . . . . 105

5.4. Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales . . 105

5.4.1. Acoplamiento mŽinimo del loop de Polyakov . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.2. Promedio sobre el grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

ŽINDICE GENERAL

11

5.4.3. SoluciŽon de la problemaŽtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.5. Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.5.1. Estructura del lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.5.2. LEC para el modelo de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . 111 5.5.3. LEC para el Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.6. Correcciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.1. MŽas allŽa de un loop de quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.2. Correcciones gluŽonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6.3. Correcciones locales en el loop de Polyakov . . . . . . . . . . . . . . 119 5.6.4. Resultados maŽs allŽa de la aproximaciŽon quenched . . . . . . . . . . 120 5.7. Implicaciones sobre la transiciŽon de fase de QCD . . . . . . . . . . . . . . 122 5.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6. Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias131 6.1. Tensor EnergŽia-Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2. Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.1. Formalismo de tŽetradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.2. Operador de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.3. Modelos de Quarks Quirales en presencia de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.1. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.2. Modelo de Georgi-Manohar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.4. CŽalculo de la accioŽn efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.5. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.5.1. EliminacioŽn de los acoplamientos vector y axial . . . . . . . . . . . 142 6.5.2. EliminacioŽn de escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.5.3. Ecuaciones de movimiento clŽasicas para pseudoescalares . . . . . . 144 6.6. Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.6.1. Modelo de Georgi-Manohar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.6.2. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.6.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7. Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral

151

7.1. AccioŽn Efectiva del Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.2. AnomalŽias Quirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.2.1. CŽalculo de la anomalŽia quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.2.2. TŽermino de Wess-Zumino-Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.3. Desarrollo quiral de la accioŽn efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.4. Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial . . . . . . . . . . . . . 158

7.5. LŽimite de Nc grande y Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

12

ŽINDICE GENERAL

8. Conclusiones

167

8.1. Resumen y Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.2. Anexo de artŽiculos publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A. Transformaciones Gauge

171

A.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A.2. Gauges estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

A.3. ParticularizacioŽn al grupo gauge SU(Nc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 A.3.1. SimetrŽia del centro del grupo gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

A.3.2. Rotura explŽicita de la simetrŽia del centro . . . . . . . . . . . . . . . 174

B. Integrales en tiempo propio con regularizacioŽn dimensional

177

C. Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)

181

D. Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de

Polyakov

185

D.1. Operador de Klein-Gordon efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

D.2. Trazas de sabor e identidades uŽtiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

D.3. Integrales en tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

D.4. Ecuaciones clŽasicas de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

D.5. Lagrangiano Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

CapŽitulo 1
IntroducciŽon
La extensiŽon de la TeorŽia de Campos de temperatura cero a temperaturas y densidades finitas es un paso natural que se produjo hace medio siglo [1, 2, 3, 4]. La TeorŽia de Campos a Temperatura y Densidad Finitas (TCTDF) [5, 6, 7], se desarrollŽo a partir de la TeorŽia Relativista de Muchos Cuerpos, y constituye una amalgama de TeorŽia de Campos y MecaŽnica EstadŽistica. Es aplicable en aquellos problemas de la fŽisica teoŽrica de partŽiculas que tienen caracterŽisticas de muchos cuerpos. A nivel teoŽrico se necesitan formulaciones apropiadas del problema tŽermico, para el cual se disponen de varios formalismos. Dos ejemplos son el formalismo de Tiempo Imaginario y el de Tiempo Real [8]. A pesar de la larga experiencia acumulada en este campo, muchos de los problemas planteados inicialmente auŽn siguen abiertos.
Muchos son los logros de la TCTDF y se esperan muchos maŽs. Por una parte permite estudiar las teorŽias ya existentes maŽs allŽa del contexto en el que inicialmente fueron creadas. Esto significa explorar las propiedades de la materia en condiciones extremas, con altas temperaturas y densidades. Un ejemplo de esto es la teorŽia de QCD [9], que se creŽo como un intento de desarrollar una teorŽia fundamental de las interacciones fuertes. La TCTDF aplicada a QCD [10] predice que cuando la temperatura y las densidades aumentan, existe una transiciŽon a una fase en la que los quarks y gluones estŽan deconfinados (fase de desconfinamiento del color). TCTDF predice, por tanto, la existencia de un plasma de quarks y gluones que, de hecho, deberŽia existir en los primeros instantes del universo, de acuerdo con los modelos cosmoloŽgicos actuales. Esto tiene importantes consecuencias en el campo de la astrofŽisica, ya que la transiciŽon de fase podrŽia haber jugado un papel muy importante en la formacioŽn de materia oscura. Otro campo donde la TCTDF estŽa dando frutos importantes es en el contexto de las colisiones de iones pesados a muy alta energŽia. El hecho de que la transiciŽon de fase de QCD ocurra a temperaturas no excesivamente altas Tc  200 MeV hace que estas condiciones se puedan estudiar en el laboratorio. Existen estudios importantes de esta nueva fase de la materia en laboratorios actuales [BNL Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC)] [11] y es previsible que se continuŽen posteriormente en futuras instalaciones: Large Hadron Collider (LHC) en el CERN, y Schwerionen-Synchrotron (SIS 200) en el GSI. Finalmente, un tercer lugar donde pueden surgir tales condiciones extremas es en el interior de estrellas de neutrones, donde la densidad es superior a la densidad nuclear.
13

14

CapŽitulo 1: IntroduccioŽn

Existen distintas tŽecnicas para estudiar el comportamiento de QCD en funciŽon de la temperatura y la densidad. Estas tŽecnicas se pueden agrupar en tres categorŽias diferentes: los mŽetodos perturbativos, los modelos efectivos de QCD en el retŽiculo y los mŽetodos semiclŽasicos (instantones) [10].

1.1. CromodinŽamica CuŽantica

La CromodinŽamica CuŽantica (QCD, Quantum Chromodynamics) fue desarrollada al comienzo de los an~os setenta y responde al intento de mucha gente de crear una teorŽia fundamental que dŽe cuenta de las interacciones fuertes [12, 13, 14]. Se trata de una teorŽia cuaŽntica de campos renormalizable. Sus campos fundamentales son espinores de Dirac que describen partŽiculas de espŽin 1/2, llamados quarks, y campos gauge correspondientes a partŽiculas de espŽin 1, llamados gluones. Al contrario que QED (Quantum Electrodynamics) que es una teorŽia abeliana, QCD es una teorŽia gauge no abeliana basada en el grupo gauge de color SU(Nc), de modo que constituye una generalizacioŽn de la teorŽia de QED para el electromagnetismo. Tanto los quarks como los gluones, que son las partŽiculas intermediarias de la interaccioŽn fuerte, llevan asociada una carga, llamada color. Como resultado los gluones pueden interaccionar consigo mismos y con los quarks. QCD viene descrita por el siguiente lagrangiano

L

=

-

1 2g2

tr(F”2 )

+

Nf

qi(”D” + mi)qi ,

i=1

D” = ” + A” , F” = [D”, D] ,

(1.1)

donde A” = Aa”Ta son los campos de los gluones, F” = F”aTa es el tensor Field Strength de SU(Nc), Ta son los generadores hermŽiticos de SU(Nc) y qi son campos de quarks de varios sabores. La teorŽia viene parametrizada por una uŽnica constante de acoplamiento g y por los paraŽmetros mi correspondientes a la masa desnuda de los quarks. La evidencia experimental indica que hay tres grados de libertad de color (Nc = 3), llamados tradicionalmente rojo, verde y azul, y seis sabores de quarks (Nf = 6). Los quarks de tipo up, down y strange son relativamente ligeros, mientras que charm, bottom y top son pesados.
Gran parte del Žexito de la teorŽia reside en su habilidad para reproducir el comportamiento casi sin interaccioŽn de los quarks a muy cortas distancias [15]. Esta propiedad de la teorŽia, que se conoce como libertad asintŽotica, explica el escalamiento aproximado que se observa en las colisiones profundamente inelaŽsticas de leptones con hadrones [16, 17]. QCD tambiŽen parece consistente con mucha de la fenomenologŽia existente sobre las interacciones fuertes, como la simetrŽia quiral aproximada, la nociŽon de confinamiento de color o ciertos modelos de hadrones como el bag o el string.
La teorŽia de QCD presenta varias simetrŽias. En primer lugar es invariante bajo el grupo de simetrŽia local SU(Nc), lo cual implica por ejemplo que la masa de los quarks es independiente de su color. Cuando la masa de los quarks es igual a cero, el lagrangiano de QCD (1.1) es invariante bajo el grupo de simetrŽia global SU(Nf )LŚSU(Nf )R, el cual

1.2 SimetrŽia del centro y transiciŽon de fase de QCD

15

se suele designar como grupo de simetrŽia quiral [18]. AdemaŽs existe una simetrŽia global U(1)B relacionada con la conservaciŽon del nuŽmero bariŽonico y una simetrŽia global axial U(1)A.
Los generadores del Žalgebra quiral son conservados y serŽia de esperar que las partŽiculas formaran multipletes degenerados correspondientes a las representaciones irreducibles de este grupo. Pero no existe evidencia de que exista esta estructura de multipletes tan amplia, lo cual lleva a la idea de que la simetrŽia SU(Nf )L Ś SU(Nf )R estŽa espontŽaneamente rota. A temperatura cero, o en general a baja temperatura, el estado fundamental de la teorŽia rompe espontŽaneamente esta simetrŽia al grupo SU(Nf )V

SU(Nf )L Ś SU(Nf )R -R-ES SU(Nf )V .

(1.2)

De acuerdo con el teorema de Goldstone esta rotura de la simetrŽia implica la existencia de Nf2 - 1 bosones de Goldstone pseudo-escalares sin masa. Para Nf = 2 estos son los tres piones +, - y 0, y para Nf = 3 tenemos, ademaŽs de los anteriores, los cuatro kaones K+, K-, K0 y KŻ 0, y el mesoŽn . La rotura de esta simetrŽia conduce ademaŽs a la aparicioŽn de condensados de quarks de la forma qq = 0. Podemos pensar en qq como en un paraŽmetro de orden que caracteriza la rotura de la simetrŽia quiral. Cuando la temperatura se incrementa por encima de un cierto valor Tc, la simetrŽia se recupera y el condensado de quarks se hace cero.

1.2. SimetrŽia del centro y transiciŽon de fase de QCD

En gluodinŽamica pura, esto es en ausencia de fermiones, la teorŽia presenta una simetrŽia

global extra asociada al centro Z(Nc) del grupo gauge de color SU(Nc). En el formalismo

de tiempo imaginario, la simetrŽia Z(Nc) es generada por la accioŽn de transformaciones

gauge locales que son periŽodicas en la variable temporal, salvo un elemento arbitrario del

centro

U (1/T, x) = z U (0, x) , z = ei2n/Nc .

(1.3)

La transiciŽon a la fase de desconfinamiento puede verse como la rotura espontŽanea de la
simetrŽia del centro a temperaturas suficientemente altas. Un paraŽmetro de orden natural para la simetrŽia Z(Nc) es el valor esperado del loop de Polyakov,1 que se define como

L(T ) := P(x, T ) =

1 Nc

trc

T

e-

1/T 0

dx0 A0 (x,x0 )

,

(1.4)

donde indica valor esperado en el vacŽio, trc es la traza en espacio de color (en representacioŽn fundamental), y T indica ordenacioŽn a lo largo del camino de integracioŽn. A0 es la componente temporal del campo gluŽonico (en tiempo euclŽideo). Bajo una transformaciŽon

1En esta memoria se haraŽ uso en ocasiones de una terminologŽia anglosajosa para algunas palabras, y se evitaraŽ su traduccioŽn con el fin de que el lector pueda identificar estos conceptos en la bibliografŽia. 'Loop de Polyakov' puede traducirse como 'bucle de Polyakov'.

16

CapŽitulo 1: IntroduccioŽn

gauge con simetrŽia del centro, el loop de Polyakov transforma P  zP, de modo que en la fase en que la teorŽia presenta la simetrŽia Z(Nc) (fase de confinamiento del color), el loop de Polyakov necesariamente vale cero. En la fase de desconfinamiento esta simetrŽia estaraŽ espontŽaneamente rota, y eso vendrŽa caracterizado por un valor no nulo para el loop de Polyakov. CŽalculos recientes muestran que en una teorŽia gluŽonica pura con Nc = 3 esta transiciŽon ocurre a una temperatura crŽitica Tc  270 MeV [19], y se trata de una transiciŽon de primer orden.
FŽisicamente el promedio tŽermico del loop de Polyakov en la representacioŽn fundamental determina la energŽia libre relativa al vacŽio de un uŽnico quark,

e-Fq(x)/T = P(x, T ) ,

(1.5)

y la funciŽon de correlacioŽn de dos loops de Polyakov conduce a la energŽia libre de un par

quark-antiquark,

e-FqŻq(x-y)/T = P(x, T )P(y, T ) .

(1.6)

La renormalizaciŽon del loop de Polyakov es un problema que hoy en dŽia estŽa abierto [20]. Recientemente se ha desarrollado un mŽetodo para renormalizar el loop de Polyakov en el retŽiculo [21, 22], y consiste bŽasicamente en el cŽalculo de la energŽia libre a partir de la funciŽon de correlacioŽn de dos loops de Polyakov, ec. (1.6). Los datos que se obtienen muestran un comportamiento que difiere claramente del predicho por teorŽia de perturbaciones [23] en la regioŽn cercana a la transiciŽon de fase, de modo que los efectos no perturbativos parecen ser dominantes en esta zona de temperaturas.
Un punto importante es quŽe efectos produce la inclusiŽon de fermiones en una teorŽia gauge pura. En el caso de QCD, cuando se an~aden quarks en la representacioŽn fundamental, la simetrŽia del centro Z(Nc) se rompe explŽicitamente, y el loop de Polyakov no sirve, en principio, como paraŽmetro para caracterizar la transiciŽon de desconfinamiento. Una de las consecuencias es la modificacioŽn de las condiciones en que se produce la transiciŽon de fase. En concreto, los quarks tienden a suavizar la transiciŽon, de tal modo que en la teorŽia SU(3) se convierte en una transiciŽon de fase de segundo orden [22].
En cuanto a la simetrŽia quiral, Žesta se encuentra espontŽaneamente rota a baja temperatura, pero por encima de un cierto valor se recupera. El paraŽmetro de orden local en este caso es el condensado de quarks qq , que es diferente de cero a baja temperatura, donde la simetrŽia quiral estŽa rota, y cero por encima de la transiciŽon de fase quiral. Por tanto, desde un punto de vista teoŽrico la transiciŽon de fase de QCD consiste en realidad en dos transiciones de fase distintas, que podemos llamar transiciŽon de desconfinamiento de color y transiciŽon de restablecimiento de la simetrŽia quiral. Las simulaciones de QCD en el retŽiculo sugieren que, cuando se consideran fermiones sin masa, las dos transiciones tienen lugar a la misma temperatura, al menos en el caso de potencial quŽimico cero [24]. En este caso la temperatura de restablecimiento de la simetrŽia quiral es Tc  155 -205 MeV, donde el valor preciso depende del nuŽmero de sabores. Cuando se consideran masas fŽisicas para los quarks la situacioŽn no estŽa completamente clara. Para valores moderados de la masa, la transiciŽon quiral no tiene un paraŽmetro de orden bien definido, y no se produce una transiciŽon de fase pura sino uŽnicamente un cambio rŽapido (crossover).

1.3 TeorŽias quirales efectivas

17

Obviamente, es de esperar que todos estos fenoŽmenos de QCD a temperatura finita sean consistentes con invariancia gauge. La invariancia Lorentz se rompe explŽicitamente en cŽalculos a temperatura y densidad finitas, debido a que existe un sistema de referencia privilegiado, que es el ban~o tŽermico, y que se supone en reposo; no obstante, la invariancia gauge permanece como una simetrŽia exacta. En cŽalculos concretos en teorŽia de perturbaciones, la conservaciŽon de la invariancia gauge a temperatura cero se consigue con un nuŽmero finito de tŽerminos, sin embargo a temperatura finita es necesario considerar un nuŽmero infinito de tŽerminos, lo cual obligarŽia en un principio a hacer un tratamiento no perturbativo.

1.3. TeorŽias quirales efectivas
Actualmente los grados de libertad hadrŽonicos se vienen tratando con teorŽias quirales efectivas en las cuales un ingrediente bŽasico son los bosones de Goldstone generados en la rotura espontŽanea de la simetrŽia quiral de QCD [25, 26]. La aproximaciŽon por excelencia es la TeorŽia Quiral de Perturbaciones (TQP) [25, 27]. Existen otras aproximaciones que se basan en la construccioŽn de modelos de quarks quirales como el modelo sigma [28] o el modelo de Nambu­Jona-Lasinio (NJL) [29, 30, 31].
La TQP se fundamenta en la construccioŽn de un lagrangiano efectivo invariante quiral como desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos y de la masa de los quarks. Este lagrangiano debe satisfacer ciertos requisitos de simetrŽia como invariancia gauge, invariancia Lorentz (a temperatura cero), paridad y conjugaciŽon de carga, y se escribe en tŽerminos de constantes de baja energŽia que se corresponden con funciones de Green de QCD. Los valores de estas constantes no pueden ser determinados a partir de argumentos de simetrŽia exclusivamente.
Los modelos de quarks quirales aspiran, como TQP, a constituir una aproximaciŽon de la dinŽamica de QCD no perturbativa a baja energŽia. Estos modelos hacen uso explŽicito de grados de libertad de quarks. El modelo de Nambu­Jona-Lasinio ha sido muy utilizado en el pasado y auŽn se sigue utilizando. Las interacciones efectivas de cuatro fermiones del modelo NJL representan cierta aproximaciŽon a QCD. Sin embargo, desde un punto de vista teoŽrico auŽn no estŽa claro de quŽe modo estas interacciones de cuatro quarks surgen de QCD. En el caso de dos sabores uno de los mecanismos podrŽia ser las llamadas interacciones de 't Hooft, que consisten en la interaccioŽn de quarks a travŽes de los modos cero de instantones [32].

1.4. Heat kernel y accioŽn efectiva
La accioŽn efectiva, una extensiŽon a teorŽia cuaŽntica de campos del potencial termodinŽamico de mecaŽnica estadŽistica, juega un papel teoŽrico muy importante pues estŽa relacionada con cantidades de interŽes fŽisico. A un loop tiene la forma c Tr log(K), donde K es un operador diferencial que controla las fluctuaciones cuaŽnticas cuadrŽaticas sobre un fon-

18

CapŽitulo 1: IntroduccioŽn

do clŽasico. Esta magnitud sufre algunas patologŽias matemaŽticas, tales como divergencias
ultravioletas y multivaluaciŽon. Por ello resulta uŽtil expresar la acciŽon efectiva mediante la representacioŽn de tiempo propio de Schwinger2

- c Tr log(K) = c

 0

d 

Tr e-K

=

c

 d 0

dDx tr x|e-K|x .

(1.8)

Al contrario que la accioŽn efectiva, el heat kernel (o maŽs concretamente su elemento de matriz) x|e-K|x es univaluado y finito en la regioŽn ultravioleta para valores positivos del paraŽmetro de tiempo propio  .
El heat kernel fue introducido por Schwinger [33] en teorŽia cuaŽntica de campos como una herramienta para regularizar divergencias ultravioletas de un modo que preserve invariancia gauge. El heat kernel y su desarrollo han sido aplicados tambiŽen en el estudio de densidades espectrales e Žindices de operadores de Dirac (D) [34, 35] en tŽerminos de operadores de KleinGordon (DD), para el cŽalculo de la funciŽon  [36, 37] y anomalŽias de estos operadores [38], para definir la accioŽn efectiva de teorŽias gauge quirales [39], para el efecto Casimir [40], etc. El heat kernel se puede calcular perturbativamente haciendo un desarrollo en potencias del tiempo propio. En la presente memoria va a constituir una herramienta fundamental para el cŽalculo de las diferentes teorŽias efectivas que vamos a considerar.

1.5. Estructura de la tesis

Esta tesis estŽa estructurada del siguiente modo:

En el capŽitulo 2 se considera el heat kernel a temperatura cero, y se construye su generalizaciŽon a temperatura finita, dentro del formalismo de tiempo imaginario. Con objeto de conseguir un desarrollo que preserve la invariancia gauge orden por orden, haremos uso de una generalizacioŽn a temperatura finita del mŽetodo de los sŽimbolos [41], que permite calcular de un modo sencillo el desarrollo de una funciŽon en tŽerminos de operadores locales y covariantes gauge. Esto va a conducir a la definicioŽn del loop de Polyakov (sin traza), que es un objeto covariante gauge, y que aparece de manera natural en el desarrollo. El cŽalculo se hace para un gauge general y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no estacionarios.
En el capŽitulo 3 se considera la teorŽia gauge SU(Nc) de QCD, y se calcula su accioŽn efectiva a nivel de un loop en el rŽegimen de temperaturas grandes, haciendo uso del resultado del heat kernel del capŽitulo 2. Se calculan por separado el sector gluoŽnico y el
2La traza funcional de un operador A^ se define

TrA^  dDx tr x|A^|x ,

(1.7)

donde D es la dimensioŽn del espacio-tiempo y tr indica traza en espacio interno (color, sabor, Dirac, etc). A lo largo de la tesis haremos uso de esta definiciŽon.

1.5 Estructura de la tesis

19

sector de quarks, y se hace un estudio de cŽomo los quarks rompen explŽicitamente la simetrŽia del centro Z(Nc). Esta rotura se va a manifestar en que algunos de los mŽinimos absolutos degenerados que presenta el potencial efectivo de la teorŽia como funciŽon del loop de Polyakov van a dejar de serlo, y se van a convertir en puntos estacionarios (mŽinimos o maŽximos locales). A temperaturas suficientemente grandes estŽa justificado considerar una teorŽia efectiva dimensionalmente reducida, pues lo modos de Matsubara no estŽaticos de los campos gauge se hacen muy pesados y desacoplan de la teorŽia. Dentro del problema de reduccioŽn dimensional obtendremos la estructura del lagrangiano dimensionalmente reducido.
En el capŽitulo 4 se hace un estudio fundamentado de los datos del loop de Polyakov renormalizado en la fase de desconfinamiento de color, obtenidos en el retŽiculo. Se estudian las contribuciones no perturbativas existentes, en el marco de un modelo fenomenoloŽgico que las describe como generadas por condensados gluŽonicos invariantes BRST.
En el capŽitulo 5 se aborda la problemaŽtica que presenta el tratamiento estŽandar de los modelos de quarks quirales a temperatura finita. Discutimos el acoplamiento del loop de Polyakov de color con los quarks, y calculamos el lagrangiano quiral efectivo a bajas energŽias, con una predicciŽon para las constantes de baja energŽia. Se estudian asimismo las implicaciones que tiene este modelo, sobre la transiciones de fase quiral y de desconfinamiento de color.
El capŽitulo 6 estŽa dedicado a estudiar los efectos de curvatura sobre varios modelos de quarks quirales: Quark Constituyente, Georgi-Manohar y Nambu­Jona-Lasinio. En concreto, se estudia el acoplamiento de la gravedad en estos modelos de un modo que evite la introduccioŽn de nuevos campos aparte de los del caso plano y la mŽetrica. Se estudia el tensor energŽia-impulso a bajas energŽias que se obtiene, con valores concretos para las constantes de baja energŽia estŽandar y una predicciŽon para las constantes asociadas a tŽerminos no mŽetricos con contribucioŽn de curvatura.
En el capŽitulo 7 se hace un estudio de la estructura de la accioŽn efectiva del modelo quark espectral acoplado con gravedad. Por una parte se considera la contribucioŽn anŽomala, y por otra la parte no-anŽomala, con una predicciŽon para las constantes de baja energŽia. Se estudian los resultados del modelo en el esquema de dominancia vectorial, y se compara con el cŽalculo en el lŽimite de Nc grande en la aproximaciŽon de una uŽnica resonancia.
Por uŽltimo, en el capŽitulo 8 se presentan las conclusiones de la memoria.

20

CapŽitulo 1: IntroduccioŽn

CapŽitulo 2
Desarrollo del Heat Kernel
El desarrollo del heat kernel1 [33, 39] se usa frecuentemente en el contexto de los mŽetodos de integrales de caminos para integrar grados de libertad externos de un modo no perturbativo. El resultado es un desarrollo en los campos que corresponden a aquellos grados de libertad que no han sido integrados. Esto quiere decir que el desarrollo del heat kernel proporciona una teorŽia de campos efectiva. Los tŽerminos del desarrollo se clasifican de acuerdo con su dimensiŽon.
Nuestro objetivo en este capŽitulo consiste en disen~ar un mŽetodo que permita mantener la invariancia gauge a temperatura finita de forma manifiesta orden por orden en el desarrollo dimensional. Para ello aplicaremos una tŽecnica conocida como mŽetodo de los sŽimbolos, que fue desarrollado a temperatura cero [42] y extendido posteriormente a temperatura finita [41]. Hay que notar que el tratamiento es inevitablemente complejo pero necesario.
Como motivaciŽon, estudiaremos el potencial macrocanoŽnico de un gas de partŽiculas libres relativistas, donde el loop de Polyakov se reduce a la fugacidad e”, con  = 1/T la temperatura inversa y ” el potencial quŽimico. La idea consiste en respetar la propiedad de periodicidad de la exponencial bajo cambios periŽodicos del potencial quŽimico ”  ”+i2T . Aunque este caso es trivial, ayudaraŽ a comprender mejor la idea subyacente del mŽetodo de los sŽimbolos.
Este capŽitulo estŽa basado en las referencias [43, 44].
2.1. Potencial macrocanŽonico de un gas de partŽiculas libres relativistas
Como ilustracioŽn y motivaciŽon del heat kernel, consideraremos el caso de un gas de partŽiculas libres relativistas. Por claridad estudiaremos el caso bosoŽnico. La accioŽn euclŽidea
1Heat kernel puede traducirse como 'NuŽcleo de la ecuacioŽn del calor', pues constituye la soluciŽon a esta conocida ecuacioŽn.
21

22

CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

para esta teorŽia se escribe

SE []

=

1 2

dDx (x)(-D”2 + m2)(x) ,

(2.1)

donde D = d + 1 es la dimensiŽon del espacio-tiempo. Consideramos las siguientes derivadas

covariantes:

D0 = 0 - i” , Di = i .

(2.2)

” es un potencial quŽimico, y el loop de Polyakov correspondiente es  = ei”. La funciŽon de particioŽn de esta teorŽia se calcula fŽacilmente

Z = D e-SE[] = (det(-D”2 + m2))-1 .

(2.3)

Usaremos aquŽi el convenio Z = e-, donde  es la accioŽn efectiva. El potencial macrocanoŽnico estŽa relacionado con la accioŽn efectiva a travŽes de  =  mc. AsŽi pues, la accioŽn efectiva se puede calcular a partir del heat kernel del siguiente modo

 = log det(-D”2 + m2) = Tr log(-D”2 + m2) = -Tr

 d 0

x|e- (-D”2 +m2)|x

,

(2.4)

donde hemos hecho uso de la representacioŽn de Schwinger de tiempo propio. (-D”2 + m2) es un operador de tipo Klein-Gordon, que serŽa definido en ec. (2.16). Si hacemos uso de
ec. (2.45), con la definicioŽn de la funciŽon 0 dada en ec. (2.46), sustraemos la parte de temperatura cero (que corresponde a considerar 0  1), y se realizan las integrales, finalmente llegamos al resultado estŽandar [6]

=N

ddxddk (2)d

log

1 - e-(k-”)

+ log

1 - e-(k+”)

.

(2.5)

 N es el nuŽmero de especies y k = k2 + m2. El efecto de introducir otros campos externos puede ser tenido en cuenta mediante los sucesivos Žordenes del desarrollo del heat kernel (ec. (2.45) corresponde al primer orden).

2.2. MŽetodo de los SŽimbolos

Consideremos un operador genŽerico

f = f (M, D”) ,

(2.6)

construido con M y D” en un sentido algebraico, esto es, es una combinaciŽon lineal (o serie) de productos de M y D” con coeficientes que son c-nuŽmeros. D” es la derivada covariante

D” = ” + A”(x) ,

(2.7)

2.2 MŽetodo de los SŽimbolos

23

A”(x) es el campo gauge y M(x) denota una o varias funciones matriciales de x que representan otros campos externos diferentes de los campos gauge. El mŽetodo de los sŽimbo-

los [41, 42] permite calcular de un modo sistemŽatico los elementos diagonales del ope-

rador (2.6).

Consideraremos la siguiente normalizacioŽn para los estados con posiciŽon y momento

bien definidos

x|p = eipx ,

p|p = (2)D(p - p) ,

(2.8)

y la relacioŽn de completitud

1=

dDp (2)D

|p

p| .

(2.9)

D es la dimensiŽon del espacio-tiempo. Denotaremos por |0 el estado de momento cero, el

cual satisface

x|0 = 1 , p”|0 = 0|p” = 0 ,

0|0 = dDx .

(2.10)

En nuestra notaciŽon p” es real, dDp indica integracioŽn estŽandar en RD y (p - p) es la funciŽon delta correspondiente. p2 significa p”p”. Si consideramos el elemento diagonal
x|f (M, D”)|x , se tiene

x|f (M, D”)|x = =

dDp (2)D

x|f (M, D”)|p

p|x

dDp (2)D

p|x

x|eipxe-ipxf (M, D”)eipxe-ipx|p .

(2.11)

En la primera igualdad hemos introducido la relacioŽn de completitud (2.9). Teniendo en cuenta que el operador posiciŽon x es el generador de las traslaciones en momentos, tenemos las siguientes transformaciones de semejanza

e-ipxD” eipx = D” + ip” , e-ipxM (x) eipx = M (x) ,

(2.12)

o en general para f , construida en sentido algebraico con M y D”,

e-ipxf (M, D”) eipx = f (M, D” + ip”) .

(2.13)

Basta considerar x|eipx = eipx x| y e-ipx|p = |0 en (2.11) para obtener la foŽrmula del mŽetodo de los sŽimbolos

x|f (M, D”)|x =

dDp (2)D

x|f (M, D” + ip”)|0

.

(2.14)

Al elemento x|f (M, D” + ip”)|0 se le denomina sŽimbolo de f , y es en realidad una matriz, pues M y D” son operadores en espacio interno (color, sabor, Dirac, etc ). El problema con (2.14) reside en que la covariancia gauge no se manifiesta de manera explŽicita cuando
se usa una base en momentos. En efecto, |0 (o maŽs generalmente |p ) no es covariante

24

CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

bajo transformaciones gauge locales. Por otra parte, el miembro derecho de la igualdad en ec. (2.14) es explŽicitamente invariante bajo transformaciones de tipo boost

D”  D” + a” ,

(2.15)

donde a” son c-nuŽmeros constantes. Esto se debe a que el cambio en a” puede ser compensado mediante un cambio similar en la variable de integracioŽn p”. Esta propiedad es la condicioŽn necesaria y suficiente para que exista covariancia gauge, pues implica que en un
desarrollo de f en los operadores, D” debe de aparecer sŽolo en el interior de conmutadores.

2.3. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero

En esta secciŽon aplicaremos el mŽetodo de los sŽimbolos para el cŽalculo del heat kernel. Consideramos el operador de Klein-Gordon2

K = M (x) - D”2 .

(2.16)

El heat kernel se define como el operador e-K. Nosotros estamos interesados en el cŽalculo del elemento de matriz con puntos coincidentes x|e-K|x . A  se le denomina paraŽmetro de tiempo propio. Este objeto resulta en general difŽicil de calcular, y en la praŽctica interesa estudiar su comportamiento cuando  es pequen~o. El heat kernel admite un desarrollo (asintŽotico) en serie de potencias de  alrededor de  = 0. Usando la notacioŽn estŽandar

x|e- K|x

=

1 (4 )D/2



an(x) n ,

n=0

(2.17)

donde los coeficientes an(x) son conocidos como coeficientes de Seeley-DeWitt [45, 46, 47], y son operadores locales construidos con una combinaciŽon lineal de productos de M(x) y
D”. Puesto que el heat kernel es covariante gauge, la expresiŽon (2.17) debe ser covariante gauge orden por orden. El heat kernel e-K no tiene dimensiones si asignamos dimensiones
de masa -2, +1, +2 a  , D” y M, respectivamente. Por tanto, el desarrollo en potencias de  es equivalente a un contaje de las dimensiones de masa de los operadores locales.
La aplicaciŽon de (2.14) conduce a

x|e-(M-D”2 )|x = =

dDp (2)D

x|e- (M -(D”+ip”)2)|0

dDp (2)D

e-

p2

x|e- (M -D”2 -2ip”D”)|0

.

(2.18)

Notar que p” es un c-nuŽmero, de modo que conmuta con todos los operadores. En este punto consideramos el desarrollo de la exponencial. Hasta O(4) en dimensiones de masa
2En este capŽitulo haremos uso de una mŽetrica euclŽidea.

2.3 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero

25

de los operadores locales se tiene3

x|e-(M-D”2 )|x =

dDp (2)D

e-

p2

x|0

+ 1

+ 2

+ 3 + 4

+ · · · |0

,

(2.19)

donde

0 = 1 ,

1 = 2i p”D” ,

2 = - (M - D”2) - 2 2p”pD”D ,

3

=

-i 2p” {D”, M } - {D”, D2}

-

i

4 3



3p”p

p

D”D

D

,

4

=

2 2

M 2 - {D”2, M } + D”4

-

3 3

p”p

{M, D”D} + D”M D - {D2 , D”D} - D”D2 D

+

2 3



4p”p ppD”D

DD

.

(2.20)

Se ha usado la notaciŽon estŽandar para el anticonmutador: {A, B} = AB + BA. En general, las integrales que aparecen son del tipo

dDp (2)D

e- p2

pi1

·

·

·

pi2n



1 (4 )D/2

1 (2 )n

i1 i2 ···i2n-1 i2n

(2.21)

=

1 (4 )D/2

1 (2 )n

(i1i2

·

·

· i2n-1i2n

+

(permutaciones))

,

donde i1i2···i2n es el producto sin normalizar y completamente simŽetrico de 2n deltas de Kronecker (es decir, (2n - 1)!! tŽerminos). La integral en ec. (2.21) con un nuŽmero impar de p's vale cero. Tras integrar en momentos, uŽnicamente sobreviven los tŽerminos con dimensiŽon de masa par

x|e- (M-D”2 )|x

=

1 (4 )D/2

x 1 - M

+ 2

1 2

M

2

-

2 3

{D”2 ,

M}

-

1 6

D”

M

D”

+

D”4

+

1 6

(D”D

)2

+

1 3

D” D2 D”

+O(6) 0 .

(2.22)

Notar que el tŽermino 2 2p”pD”D ha cancelado el tŽermino  D”2 en ec. (2.20), despuŽes de integrar en momentos. Notar que cada orden del desarrollo estŽa formado por un nuŽmero finito de tŽerminos. La invariancia del heat kernel bajo la transformaciŽon (2.15) implica que
3Como se verŽa mŽas adelante, el contaje en  es equivalente al contaje en dimensiones de masa uŽnicamente despuŽes de integrar en momentos.

26

CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

en ec. (2.22) solamente podraŽn aparecer tŽerminos con derivadas D” dentro de conmutadores. En efecto, el cambio D”  D” + a” no tiene efecto cuando D” estŽa dentro de un conmutador, pero da cuenta de las contribucioŽn procedente de tŽerminos con D” fuera de conmutadores. Esto significa que los uŽnicos tŽerminos que sobreviven son los multiplicativos en el espacio de posiciones.4 Como ejemplo, se puede comprobar que

{D”2, M } = [D”, [D”, M ]] + 2[D”, M ]D” + 2M D”2 .

(2.24)

Los tŽerminos 2[D”, M]D” y 2MD”2 no contribuiraŽn en el desarrollo. El resultado final que se obtiene hasta O(4) en dimensiones de masa es

x|e- (M-D”2 )|x

=

1 (4 )D/2

1 - M + 2

1 2

M

2

-

1 6

M””

+

1 12

F”2

+ O( 3)

. (2.25)

Al pasar de ec. (2.22) a (2.25) hemos quitado x| |0 por la propiedad (2.23). En lo sucesivo utilizaremos la siguiente notaciŽon. El tensor de fuerza se define como F” = [D”, D], y del
mismo modo el campo elŽectrico es Ei = F0i. AdemaŽs, la notaciŽon D” significa la operacioŽn [D”, ]. Por uŽltimo decir que usaremos una notaciŽon con subŽindices del tipo X”, lo que significa D”DDX = [D”, [D, [D, X]]]. Por ejemplo, M00 = D02M , F” = DF” .
Los coeficientes de Seeley-DeWitt estŽan calculados en la literatura. Las expresiones explŽicitas para los coeficientes an(x) del desarrollo (2.17) hasta orden n = 3 son [39, 48]

a0 = 1 ,

a1 = -M ,

a2

=

1 2

M

2

-

1 6

M””

+

1 12

F”2

,

a3

=

-

1 6

M

3

+

1 12

{M,

M””}

+

1 12

M”2

-

1 60

M””

-

1 60

[F””

,

M ]

-

1 30

{M,

F”2 }

-

1 60

F”

M

F”

+

1 45

F”2

-

1 30

F”

FF”

+

1 180

F”2”

+

1 60

{F”

,

F”

}

.

(2.26)

El desarrollo del heat kernel se usa frecuentemente para el cŽalculo de la accioŽn efectiva, y en este caso resulta necesario calcular la traza del heat kernel Tr e-(M-D”2 ). A temperatura
cero los coeficientes con traza bn(x) se definen simplemente como

Tr e- (M -D”2 )

=

1 (4 )D/2



n=0

dDx tr (bn(x))  n .

(2.27)

4M (x) y [D”, D] son operadores multiplicativos, mientras que D”2 no lo es. Si h es un operador multiplicativo en espacio de posiciones, h^|x = h(x)|x , se tiene

x|h^|0 = h(x) .

(2.23)

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

27

Una propiedad importante es que el coeficiente an se puede obtener a partir de una variaciŽon en primer orden de bn+1. En efecto, por la propia definicioŽn del heat kernel se tiene que

x|e-(M-D”2 )|x = - 1  Tr e-(M-D”2 ) .  M(x)

(2.28)

Si hacemos uso del desarrollo en ambos miembros de la igualdad, a temperatura cero

encontramos

an(x)

=

-

 M (x)

tr

bn+1(x)

.

(2.29)

Hay cierta libertad en la eleccioŽn de los coeficientes bn. Por supuesto, con tomar bn = an serŽia suficiente. No obstante, es conveniente explotar la propiedad cŽiclica de la traza y la integracioŽn por partes con el fin de obtener expresiones maŽs compactas. Haciendo uso de estas dos propiedades, a temperatura cero se encuentra la siguiente forma canoŽnica para los coeficientes

b0 = 1 ,

b1 = -M ,

b2

=

1 2

M

2

+

1 12

F”2

,

b3

=

-

1 6

M

3

-

1 12

M”2

-

1 12

F”

M

F”

-

1 60

F”2”

+

1 90

F”

F



F”

.

(2.30)

2.4. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

Es posible extender el mŽetodo de los sŽimbolos con objeto de realizar cŽalculos a temperatura finita [41].
En el formalismo de tiempo imaginario la coordenada temporal estŽa compactificada a un cŽirculo, de modo que el espacio-tiempo de D = d + 1 dimensiones tiene topologŽia Md+1 = S1 Ś Md. Las funciones de onda para bosones son periŽodicas en la direccioŽn temporal con perŽiodo , la inversa de la temperatura, y antiperiŽodicas para fermiones. Con objeto de que M y D” sean operadores bien definidos en el espacio de Hilbert de las funciones de onda con grados de libertad espacio-temporales e internos, M(x) y A”(x) deben ser funciones periŽodicas en x0.
En este formalismo usaremos la siguiente normalizacioŽn

x|p = eipx , La relacioŽn de completitud es

p|p = p0p0(2)d(p - p ) .

(2.31)

1

=

1 

p0

ddp (2)d

|p

p| .

(2.32)

28

CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

La

frecuencia

toma

los

valores

de

Matsubara

p0

=

2n/

para

bosones

y

p0

=

2(n +

1 2

)/

para fermiones. El mŽetodo de los sŽimbolos se escribe en este formalismo5

x|f (M, D”)|x

=

1 

p0

ddp (2)d

x|f (M, D” + ip”)|0

.

(2.33)

Notar que |0 es periŽodico en la direcciŽon temporal, de modo que la informaciŽon de si estamos trabajando con bosones o fermiones se encuentra ahora contenida en los valores que toma p0.

2.4.1. Desarrollo del Heat Kernel: un caso simple
La aplicaciŽon praŽctica del mŽetodo de los sŽimbolos a temperatura finita resulta bastante maŽs complicada que a temperatura cero. Con objeto de introducir los conceptos de manera gradual, vamos a considerar el heat kernel, y estudiaremos su desarrollo en un caso simple. Trataremos el caso en el que no exista potencial vector, el potencial escalar sea indenpendiente de x, y el tŽermino de masa sea un c-nuŽmero constante:

A(x) = 0 , A0 = A0(x0) , M (x) = m2 , [m2, ] = 0 .

(2.34)

El resultado serŽa el tŽermino de orden cero de un desarrollo en conmutadores [D”, ] y [M, ] del caso general. La aplicaciŽon del mŽetodo de los sŽimbolos (2.33) conduce a

x|e- K |x

=

1 

p0

ddp (2)d

x|e- (m2+p 2-(D0+ip0)2)|0

=

e- m2 1 (4 )d/2 

x|e (D0+ip0)2 |0 .

p0

(2.35)

Notar que despuŽes de la transformaciŽon Dj  j + ipj, el operador Dj = j puede hacerse

cero pues actuaraŽ sobre |0 .

La

suma

sobre

frecuencias

de

Matsubara

implica

que

el

operador

1 

e (D0+ip0)2
p0

es

una funciŽon periŽodica de D0 con periodo i2/, y por tanto es una funciŽon univaluada de

e-D0. En efecto, si hacemos uso de la fŽormula de Poisson para la sumatoria,6 se tiene

1 

e (D0+ip0)2

=

1 (4 )1/2

(±)ke-kD0 e-k22/4

p0

kZ

(2.37)

5La demostraciŽon de (2.33) es similar a la realizada en la sec. 2.2 para el caso de temperatura cero. 6La fŽormula de Poisson para la sumatoria es:





F (n) =

n=-

m=-


dxF (x)ei2xm .
-

(2.36)

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

29

(± para bosones y fermiones, respectivamente). En este momento estamos en condiciones de hacer uso de la siguiente identidad operatorial [41]

e0 e-D0 = (x) ,

(2.38)

donde (x) es la lŽinea de Wilson tŽermica o loop de Polyakov sin traza:

x0+

(x) = T exp -

A0(x0, x) dx0

x0

(2.39)

[T indica ordenacioŽn temporal.] Si bien es esta secciŽon estamos tratando el caso simple de
ec. (2.34), la definicioŽn (2.39) es vaŽlida para un potencial escalar general A0(x). El loop de Polyakov surge aquŽi como la diferencia de fase entre traslaciones temporales covariantes
y no covariantes gauge alrededor del tiempo euclŽideo compactificado. FŽisicamente, el loop
de Polyakov se puede interpretar como el propagador de partŽiculas pesadas en el fondo
del campo gauge. La identidad (2.38) es trivial si uno elije un gauge en el cual A0 es independiente del tiempo (este gauge siempre existe), pues en este caso los operadores  = e-A0, D0, A0 y 0 conmutan entre sŽi. Esta identidad es covariante gauge y es vaŽlida en cualquier gauge.7
Un punto importante es que el operador de traslaciŽon en tiempo euclŽideo, e0, no tiene
otro efecto que producir el cambio x0  x0 +  y esta operacioŽn es la identidad en el espacio de funciones periŽodicas en que estamos trabajando

e0 = 1 ,

(2.40)

(incluso en el caso fermiŽonico, ya que despuŽes de aplicar el mŽetodo de los sŽimbolos las derivadas actuŽan sobre los campos externos y no sobre las funciones de onda de las partŽiculas). Llegamos asŽi al resultado importante de que en este espacio

e-D0 = (x) ,

(2.41)

esto es, siempre y cuando el operador diferencial D0 aparezca de manera periŽodica (con perŽiodo 2i/), puede ser reemplazado por el operador multiplicativo -(1/) log[(x)].
La multivaluaciŽon del logaritmo no es efectiva debido a la dependencia periŽodica. Otro punto importante es que D0 (o cualquier funciŽon de D0) actuŽa como un operador
covariante gauge sobre los campos externos F (x0, x), y por tanto transforma de acuerdo al grupo de transformaciones gauge locales en el punto (x0, x). En particular, el loop de Polyakov ec. (2.39), que es tambiŽen covariante gauge, comienza en el instante x0 y no en cero. Esta diferencia serŽia irrelevante para el loop de Polyakov con traza, pero no en el contexto de ahora.
El uso de la regla (2.41) en ec. (2.37) conduce a

1 

e (D0+ip0)2

=

1 (4 )1/2

(±)kke-k22/4 .

p0

kZ

(2.42)

7En el apŽendice A se hace un estudio detallado de las transformaciones gauge a temperatura finita.

30

CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

En general se tiene

f (ip0 + D0) =

f (ip0

-

1 

log())

,

p0

p0

(2.43)

siempre y cuando la sumatoria sea absolutamente convergente, de modo que la suma es

una funciŽon periŽodica de D0. Por futura conveniencia introduciremos el operador Q, que

se define como

Q

=

ip0

+

D0

=

ip0

-

1 

log()

.

(2.44)

Hay que mencionar que la segunda igualdad se aplica en expresiones de la forma de ec. (2.43). Las dos definiciones de Q no son equivalentes en otros contextos (por ejemplo, en p0 f1(Q)Xf2(Q), a menos que [D0, X] = 0.)
El heat kernel en ec. (2.35) se puede escribir como

x|e- K |x

=

(4

1  )d/2

e-

m2

1 

e Q2

=

(4



1 )(d+1)/2

e-

m2

0

()

.

p0

(2.45)

En la primera igualdad se ha hecho uso de que (x) es un operador multiplicativo, de modo que es aplicable la ec. (2.23). En la segunda igualdad se ha aplicado la definicioŽn de las funciones n(), que apareceraŽn con frecuencia en lo sucesivo:

n(;

 /2)

=

(4 )1/2

1 

 n/2Qne Q2 ,

Q

=

ip0

-

1 

log()

.

p0

(2.46)

Notar que para cada funciŽon existe una versioŽn bosoŽnica y otra fermiŽonica, y las dos versiones estŽan relacionadas por el cambio   -. Como se ha indicado, estas funciones dependen sŽolo de la combinaciŽon  /2 y son funciones univaluadas de . En el lŽimite de temperatura cero la suma sobre p0 se transforma en una integral gaussiana

1

---   dp0 ,

 p0

- (2)

(2.47)

y se tiene

n(; 0) =

(-

1 2

)n/2

(n

-

1)!!

(n par) ,

0

(n impar) .

(2.48)

Como se puede ver en la expresiŽon (2.42), para un valor finito de  las correcciones de  pequen~o son de orden e-2/4 o menor, y por tanto estŽan exponencialmente suprimidas. La misma supresioŽn exponencial existe para las correcciones de temperatura pequen~a cuando se considera un valor finito de  . Ya sea en el lŽimite de temperatura cero o de tiempo propio cero, uŽnicamente queda el modo k = 0.
Como motivaciŽon del heat kernel, en la secciŽon 2.1 se calculŽo el potencial macrocanoŽnico de un gas de partŽiculas libres relativistas, que constituye una aplicaciŽon simple de los resultados obtenidos en esta secciŽon. En vista de ecs. (2.2) y (2.5), es importante subrayar la relacioŽn entre el potencial quŽimico ” y el loop de Polyakov. El potencial quŽimico se

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

31

acopla al potencial escalar A0(x) como una constante aditiva. Puesto que es constante, ” no contribuye a los operadores locales, ya que A0(x) sŽolo aparece a travŽes de la derivada
covariante D0. Notar que si el loop de Polyakov no existiera en las foŽrmulas, ” no aparecerŽia en la funciŽon de particioŽn, lo cual obviamente constituye un resultado incorrecto. Asimismo hay que destacar que la dependencia periŽodica del heat kernel en log  conduce al hecho bien conocido de que la funciŽon de particioŽn es periŽodica en ” con perŽiodo 2i (condicioŽn de consistencia debido a su acoplamiento con el operador de carga cuantizado). El loop de Polyakov aparece pues, como una generalizacioŽn del factor e” para campos gauge no abelianos y no constantes.

2.4.2. Coeficientes del desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

En esta secciŽon consideraremos el desarrollo del heat kernel a temperatura finita en el caso totalmente general de campos gauge no abelianos A”(x) y tŽerminos de masa no triviales M(x).
En primer lugar es necesario especificar el contaje del desarrollo. Como vimos en sec. 2.3, a temperatura cero el desarrollo se define en potencias de  [despuŽes de extraer el factor geomŽetrico (4 )(d+1)/2]. Este contaje en  es equivalente a un contaje en las dimensiones de masa de los operadores locales.
A temperatura finita existe una magnitud dimensional adicional, , de modo que los dos contajes no van a ser equivalentes y es necesario especificar un desarrollo concreto. Como veremos maŽs adelante un desarrollo estricto del heat kernel en potencias de  conducirŽia al mismo desarrollo asintŽotico que a temperatura cero. Con objeto de extraer correcciones de temperatura finita no triviales ordenaremos nuestro desarrollo de acuerdo con las dimensiones de masa de los operadores locales. Asignaremos dimensiones de masa 0, +1, +2 a , D” y M, respectivamente. Consideraremos ademaŽs un desarrollo en el cual el loop de Polyakov (x) aparezca a la izquierda en todos los tŽerminos, lo cual es una cuestiŽon de eleccioŽn (de manera equivalente, se podrŽia definir un desarrollo con (x) a la derecha). Esto es necesario pues el conmutador de  con otros operadores genera conmutadores [D0, ] que tienen dimensiŽon 1 en nuestro contaje. Estas especificaciones son suficientes para definir de manera unŽivoca el desarrollo del heat kernel para un grupo gauge genŽerico, de tal modo que la invariancia gauge sea manifiesta orden por orden.
El desarrollo asŽi definido, en el cual cada tŽermino contiene funciones arbitrarias del loop de Polyakov pero sŽolo un nuŽmero finito de derivadas covariantes (incluyendo derivadas temporales), constituye una extensiŽon natural del desarrollo estŽandar en derivadas covariantes a temperatura cero. Los tŽerminos estaraŽn ordenados en potencias de  pero con coeficientes que dependen de  /2 y :

x|e- (M-D”2 )|x

=

1 (4 )(d+1)/2

aTn (x) n .

n

(2.49)

De la definicioŽn se deduce directamente que para una configuracioŽn general el tŽermino de

32

CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

orden cero es precisamente

aT0 (x) = 0((x);  /2) ,

(2.50)

que fue calculado en la subsecciŽon 2.4.1. Esto es debido a que cuando el caso particu-

lar (2.34) es introducido en el desarrollo general, todos los tŽerminos de orden mayor, con una o maŽs [D”, ] o m2, se anulan.
El mŽetodo que vamos a proponer para el cŽalculo del desarrollo del heat kernel a tem-

peratura finita hace uso de los coeficientes de Seeley-DeWitt a temperatura cero. La idea

consiste en aplicar la fŽormula del mŽetodo de los sŽimbolos (2.33) en la dimensiŽon temporal

uŽnicamente, lo cual conduce a

x|e-(M-D”2 )|x = 1 

x0, x|e-(M-Q2-Di2)|0, x ,

p0

Q = ip0 + D0 .

(2.51)

Se puede definir el operador de Klein-Gordon efectivo

K = Y - Di2 , Y = M - Q2 ,

(2.52)

donde Y juega el papel de un tŽermino de masa no abeliano. Podemos hacer uso del desa-

rrollo del heat kernel a temperatura cero en d dimensiones (espaciales) con ese operador

efectivo ya que el tŽermino de masa Y, a pesar de contener derivadas temporales (en Q),

no contiene derivadas espaciales, de manera que actuŽa como un operador multiplicativo

en el espacio de Hilbert espacial. La aplicaciŽon directa de este argumento darŽia lugar al

desarrollo

x0, x|e-(Y-Di2)|0, x

=

1 (4 )d/2



an(Di, Y) n ,

n=0

(2.53)

donde los coeficientes an(Di, Y) son polinomios de dimensiŽon 2n construidos a partir de Y
y Di = [Di, ]. Los Žordenes maŽs bajos corresponden a la ec. (2.26), pero considerando la sustitucioŽn del tŽermino de masa M por el nuevo tŽermino de masa efectivo Y, y los Žindices
sŽolo corren en la dimensiŽon espacial. Notamos que para reproducir el primer orden en ec. (2.49), aT0 (x) = 0((x))  eQ2,
serŽia necesario obtener el desarrollo a todos los Žordenes en ec. (2.53), pues eQ2 no es un polinomio en Q. EŽsta es la razŽon por la cual ec. (2.53) introducida en ec. (2.51) no resulta uŽtil. La manera correcta de proceder serŽa extraer desde el principio la contribucioŽn eQ2,
lo cual nos llevaraŽ a definir un nuevo conjunto de coeficientes polinŽomicos a~n

x0, x|e-(M-Q2-Di2)|0, x

=

1 (4 )d/2



eQ2a~n(Q2, M, Di) n .

n=0

(2.54)

Consideremos la sustitucioŽn de Q2 por Q2 +  donde  un c-nuŽmero constante. Es claro que los coeficientes a~n no deben cambiar, y por tanto en a~n el operador Q2 debe aparecer sŽolo dentro de conmutadores de la forma [Q2, ]. Para calcular los coeficientes a~n debemos
tener en cuenta la relacioŽn





an(Di, Y) n = eQ2 a~n(Q2, M, Di) n .

n=0

n=0

(2.55)

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

33

El mŽetodo consiste en partir del desarrollo de la izquierda de la ecuaciŽon (2.55) e ir movien-

do los operadores Q2 hacia la izquierda haciendo uso de conmutadores [Q2, ] (por ejemplo

MQ2 = Q2M - [Q2, M]). Al final se llega a una situacioŽn en la que existen dos clases de

tŽerminos: (i) tŽerminos en que todos los operadores Q2 estŽan dentro de conmutadores y (ii)

tŽerminos con factores Q2 no saturados a la izquierda (esto es, con Q2 fuera de conmutado-

res). Los tŽerminos del tipo (i) se corresponden con el desarrollo

 n=0

a~n n.

Los

del

tipo

(ii)

se pueden identificar con el miembro derecho de la ecuaciŽon cuando se realiza un desarrollo

de la exponencial eQ2 y se consideran Žordenes mayores que el primero. Siguiendo esta

tŽecnica, hasta a~2 se tiene

a~0 = 1 ,

a~1 = -M ,

a~2

=

1 2

M

2

-

1 6

Mii

+

1 12

Fi2j

+

1 2

[Q2,

M]

+

1 6

(Q2)ii

.

(2.56)

Una vez que hemos construido por este procedimiento los coeficientes a~n, el siguiente paso consiste en redefinir ec. (2.54) como un desarrollo en potencias de M, Di y D0. Para ello debemos expresar [Q2, ] que aparece en el desarrollo, en tŽerminos de [Q, ] = [D0, ] = D0. Se usa la siguiente propiedad:

[Q2, X] = Q[Q, X] + [Q, X]Q = 2Q[Q, X] - [Q, [Q, X]] = 2QX0 - X00 .

(2.57)

Se trata de mover todos los Q's hacia la izquierda, de modo que apareceraŽn operadores D0. Al final los operadores Q fuera de conmutadores quedarŽan todos a la izquierda. Para a~2 se tiene:

a~2

=

1 2

M

2

-

1 6

Mii

+

1 12

Fi2j

-

1 2

M00

+

1 3

Ei2

+

1 6

E0ii

+

Q

M0

-

1 3

Eii

.

(2.58)

Notar que en a~2 existen dos tipos de contribuciones: aquellos tŽerminos con una Q a la izquierda, y aquellos que no la tienen. En nuestro contaje, estos dos tipos pertenecen a Žordenes diferentes: dimensiŽon de masa tres y cuatro, respectivamente. Cuando a~2 es introducido en ec. (2.54) (queda multiplicado por el factor eQ2) y despuŽes en ec. (2.51) (suma sobre frecuencias de Matsubara), se obtienen las siguientes contribuciones

a~2  0()

1 2

M

2

-

1 6

Mii

+

1 12

Fi2j

-

1 2

M00

+

1 3

Ei2

+

1 6

E0ii

 2+1()

M0

-

1 3

Eii

 3/2 ,

(2.59)

donde se ha hecho uso de la definicioŽn de n(), ec. (2.46).
Como vemos cada coeficiente de heat kernel a temperatura cero ak en ec. (2.53) con
dimensiŽon de masa 2k permite obtener un coeficiente correspondiente a~k. Este coeficiente va a dar contribucioŽn, en general, a varios coeficientes de heat kernel aTn (con dimensiŽon de masa 2n). Las diferentes contribuciones se deben a que pueden existir ciertos factores de Q

a la izquierda de cada tŽermino que no actuŽan como D0, de modo que son adimensionales. Por tanto para un valor de k dado, los valores de n permitidos deben satisfacer n  k, y la

34

CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

igualdad corresponde a tŽerminos que tienen todos los Q's dentro de conmutadores. Podemos encontrar una cota inferior para n si vemos que el nuŽmero maŽximo de [Q2, ]'s en a~k(k  0)
es k - 1, y por tanto Žeste va a ser el nuŽmero maŽximo de Q's fuera de conmutadores que
queden a la izquierda. Esto conduce a la condicioŽn k  2n - 1. AdemaŽs notemos que un factor Q va a dar lugar a un coeficiente () en aTn . En suma, para el cŽalculo de los coeficientes de heat kernel tŽermicos vamos a tener el siguiente esquema

a0  a~0  0aT0 a1  a~1  0aT1 a2  a~2  0aT2 + 1aT3/2 a3  a~3  0aT3 + 1aT5/2 + 2aT2 a4  a~4  0aT4 + 1aT7/2 + 2aT3 + 3aT5/2 a5  a~5  0aT5 + 1aT9/2 + 2aT4 + 3aT7/2 + 4aT3
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ak  a~k  0aTk + 1aT(2k-1)/2 + · · · + k-1aT(k+1)/2

(2.60)

Esta mezcla de tŽerminos no ocurre a temperatura cero, no obstante no puede ser evitada
a temperatura finita. Vemos que a Q no se le podrŽia asignar dimensiŽon de masa 1 ya que
la suma sobre las frecuencias de Matsubara p0 no converge para un polinomio en Q. Si p0 se cuenta con dimensiŽon cero pero D0 siempre con dimensiŽon 1 la invariancia gauge se perderŽia. En suma, el hecho de considerar  adimensional y D0 con dimensiŽon 1 es un pequen~o precio que hay que pagar para tener un desarrollo covariante gauge orden por
orden.
Del esquema anterior se deduce que para calcular los coeficientes de heat kernel tŽermicos completos hasta aT3 debemos buscar contribuciones hasta a5. Como regla general, para aTn van a existir contribuciones de ak, n  k  2n - 1, excepto para aT0 el cual sŽolo recibe la contribucioŽn trivial de a0. En particular aT3 , aparte de la contribucioŽn que reciba de a3, sŽolo requiere tŽerminos Yn, con n = 2, 3, 4 en a4(Di, Y) y n = 4, 5 en a5(Di, Y).
Haciendo uso de este mŽetodo se han calculado los coeficientes de heat kernel tŽermicos
hasta dimensiŽon de masa 6. Los resultados son los siguientes:

aT0 = 0 , aT1/2 = 0 ,

aT1 = -0M ,

aT3/2 = 1

M0

-

1 3

Eii

,

aT2

=

0

aT2 =0

+

1 6

2(Ei2

+

E0ii

-

2M00)

,

aT5/2

=

1 3

(21

+

3)

M000

+

1 6

1M0ii

-

1 3

1

(2M0M

+

M M0)

+

1 6

1

({Mi,

Ei}

+

{M,

Eii})

-

1 3

1

+

1 5

3

E00ii

-

1 30

1Eiijj

(2.61)

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

35

-

5 6

1

+

2 5

3

E0iEi -

1 2

1

+

4 15

3

EiE0i

+

1 30

1[Ej

,

Fiij ]

-1

1 10

F0ij

Fij

+

1 15

Fij

F0ij

,

aT3

= 0 aT3 =0 -

1 4

2

-

1 10

4

M0000

-

1 60

2

3M00ii - 15M00M - 5M M00 - 15M02

+4{M, Ei2} + 2EiM Ei + 4M E0ii + 6E0iiM + 4MiE0i + 6E0iMi

+7M0Eii + 3EiiM0 + 6M0iEi + 4EiM0i

+

3 20

2

-

1 15

4

E000ii

+

1 60

2E0iijj

+

1 2

2

-

1 5

4

E00iEi

+

7 30

2

-

1 10

4

EiE00i +

19 30

2

-

4 15

4

E02i

+

1 180

2

2{Ei, Ejji} + 4{Ei, Eijj} + 5Ei2i + 4Ei2j + 4F0iij Ej - 2Ej F0iij - 2E0ij Fij

-[Eij , F0ij] - 4E0iFjji + 2FjjiE0i + 2EiFijEj + 2{EiEj , Fij} + 7F00ij Fij

+3Fij F00ij + 8F02ij .

En estas fŽormulas aTn=0 indican los coeficientes a temperatura cero que aperecen en ec. (2.26). Por conveniencia hemos introducido las funciones auxiliares

2 = 0 + 22 ,

4

=

0

-

4 3

4

,

......

,

2n

=

0

-

(-2)n (2n - 1)!!

2n

,

(2.62)

que se anulan en el lŽimite  /2 = 0. Con nuestro criterio para calcular el desarrollo del heat
kernel a temperatura finita conseguimos ordenar las derivadas de manera que las espaciales
son las que actuŽan primero y las temporales son las maŽs externas. Esta eleccioŽn es oŽptima de cara a calcular la traza de los coeficientes Tr aTn (x), pues por la propiedad D0 = 0, los tŽerminos de la forma nX0 no contribuyen en la traza, como puede verse despuŽes de integrar por partes.

2.4.3. Traza de los coeficientes de Heat Kernel

En ec. (2.27) se definieron los coeficientes de heat kernel con traza a temperatura cero. A temperatura finita podemos definir de manera similar los coeficientes con traza bTn (x)

Tr

e- (M -D”2 )

=

1 (4 )(d+1)/2



n=0


dx0
0

ddx tr(bTn (x)) n ,

(2.63)

donde bTn presenta una estructura maŽs simple que aTn . Vamos a elegir una forma canoŽnica para estos coeficientes en la cual las funciones de  estŽen situadas a la izquierda de los
operadores locales covariantes gauge. AdemaŽs de la integracioŽn por partes y propiedad

36

CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

cŽiclica de la traza, deberemos trabajar con conmutadores del tipo [X, f ()] (en particular
D”f () ). Veamos cuales son las reglas de conmutacioŽn. Consideremos dos operadores cualesquiera
X e Y , y f una funciŽon genŽerica. Entonces el conmutador [X, f (Y )] admite el siguiente desarrollo en conmutadores

[X, f (Y )]

=

-f (Y

)[Y,

X]

+

1 2

f

(Y

)[Y,

[Y,

X ]]

-

1 3!

f

(3)(Y

)[Y,

[Y,

[Y,

X ]]]

+

·

·

·

=

 n=1

(-1)n n!

f (n)(Y

)DYn

(X )

,

(2.64)

donde DY = [Y, ]. Para probar esto es suficiente con probar que se cumple para funciones del tipo f (Y ) = eY , donde  es un c-nuŽmero, ya que el caso general se obtiene por
descomposiciŽon de Fourier. En este caso, el miembro derecho de (2.64) es



(-1)n n!

neY

DYn

(X

)

=

eY

e-DY - 1 X = eY

e-Y XeY - X

= [X, eY ] , (2.65)

n=1

que coincide con el miembro izquierdo. En esta demostraciŽon hemos hecho uso de la identidad eDY X = eY Xe-Y , que es bien conocida.
Particularicemos al caso en que f sea una funciŽon de  (por ejemplo n()). Con f (n) vamos a denotar su derivada n-Žesima con respecto a la variable - log()/. Entonces de
estas fŽormulas se obtiene

[X,

f]

=

-f X0

+

1 2

f

X00

-

1 3!

f

(3)X000

+

·

·

·

.

En el caso de operadores X = D” tendremos

(2.66)

D0f = 0 ,

Dif

=

-f Ei

+

1 2

f



E0i

-

1 3!

f

(3)E00i

+

·

·

·

.

(2.67) (2.68)

La propiedad (2.67) se podrŽia deducir directamente de D0 = [D0, ] = 0. Estas foŽrmulas implican que a temperatura finita, al contrario que a temperatura cero, la propiedad cŽiclica
de la traza mezcla tŽerminos de Žordenes diferentes. Esto es debido a que D0 tiene dimensiones de masa, mientras que  es adimensional. AsŽi, por ejemplo 0() es de dimensiŽon cero
y Di es de dimensiŽon uno, mientras que Di0() contiene tŽerminos de todos los oŽrdenes, comenzando con dimensiŽon 2. Para aplicar estas reglas de conmutacioŽn a aTn vamos a necesitar ademaŽs la relacioŽn

n

=

  (nn-1

+

2n+1)

,

(2.69)

que se deduce fŽacilmente a partir de la definicioŽn de n en ec. (2.46).

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

37

La integracioŽn por partes, la propiedad cŽiclica de la traza y estas reglas de conmutacioŽn
nos van a permitir escribir expresiones maŽs compactas para los coeficientes aTn , vaŽlidas bajo traza. Hasta dimensiŽon de masa 6 obtenemos

bT0 = bT1/2 =
bT1 = bT3/2 =
bT2 =
bT5/2 =
bT3 =

0 , 0,

-0M ,

0,

0bT2 =0

-

1 6

2

Ei2

,

-

1 6

1{Mi

,

Ei}

,

0bT3 =0

+

1 6

2

1 2

M02

+

EiM Ei

+

1 10

Ei2i

+

1 10

F02ij

-

1 5

EiFij

Ej

-

1 6

2

-

1 10

4

E02i .

(2.70)

Escritos de esta forma, se ve explŽicitamente que en el lŽimite de temperatura cero se recupera la simetrŽia Lorentz. En estas fŽormulas bTn=0 indican los coeficientes a temperatura cero que aparecen en ec. (2.30). El heat kernel es simŽetrico frente a la transposiciŽon de operadores ABC · · ·  · · · CBA, y los bTn han sido elegidos de manera que esta simetrŽia se manifieste en cada orden.
Como hemos dicho, la integracioŽn por partes y la propiedad cŽiclica de la traza hace que
exista cierta ambigušedad en la expresiŽon de los coeficientes bn tanto a temperatura cero como a temperatura finita. No obstante a temperatura finita la ambigušedad es mayor ya
que estas dos propiedades mezclan oŽrdenes diferentes. El desarrollo a temperatura finita lo
podemos expresar en la forma

Tr

e- (M -D”2 )

=

1 (4 )(d+1)/2


BnT  n ,

n=0

BnT = Tr bTn (x) .

(2.71)

A temperatura cero el desarrollo se define como un desarrollo en potencias del paraŽmetro  , de modo que BnT =0 no es ambiguo, la ambigušedad sŽolo existe en bTn=0(x). Sin embargo a temperatura finita el desarrollo no estŽa sujeto a un paraŽmetro, sino que lo hemos definido como un desarrollo en conmutadores, de modo que existe ambigušedad no sŽolo en bTn (x) sino tambiŽen en BnT . En general la eleccioŽn concreta de bTn va a afectar la forma de los Žordenes superiores bTn+1/2, bTn+1, . . . . Por supuesto, la ambigušedad en BnT no afecta la suma de la serie, sino que uŽnicamente se trata de una reorganizaciŽon de Žesta. Como ejemplo, consideremos que en bT2 =0 an~adimos el tŽermino M””. Nada cambia a temperatura cero, pues ese tŽermino es un conmutador puro. No obstante, a temperatura finita ese tŽermino
conducirŽia a la contribucioŽn 0M”” que no es un conmutador puro, y por tanto va a modificar el funcional B2T . De hecho 0M””, que es formalmente de dimensiŽon 4, se puede

38

CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

expresar como una suma de tŽerminos de dimensiŽon 5 y mayores, si hacemos uso de la
integracioŽn por partes y de las reglas de conmutacioŽn (2.66)-(2.68).
El criterio bŽasico que hemos seguido para elegir los coeficientes bTn ha consistido en llevarlos de manera recursiva a una forma compacta, comenzando por los de orden inferior. Por ejemplo, bajo traza aT3/2 se puede llevar a una suma de tŽerminos de dimensiŽon 4 o mayor, despuŽes de integrar por partes y aplicar las reglas de conmutacioŽn. Haciendo esto conseguimos bT3/2 = 0. El siguiente paso consistiraŽ en llevar aT2 (modificado con la contribucioŽn que recibe de Tr aT3/2) a la forma maŽs compacta posible, lo cual en principio producirŽia contribuciones a aT5/2, y asŽi sucesivamente. Por supuesto, Žesta no es la uŽnica posibilidad ya que llevar bTn a la forma maŽs simple posible va a implicar en general una mayor complicaciŽon en los Žordenes superiores. Por ejemplo, se puede ver que es posible ordenar el desarrollo de modo que todos los coeficientes bTn de orden semi-impar se anulen. AsŽi, podrŽiamos eliminar bT5/2 con el coste de complicar bT2 .
El anŽalogo de ec. (2.29) a temperatura finita va a verse modificado por el hecho de que la variaciŽon de bTk contribuye no sŽolo a aTk-1, sino en general a todos los oŽrdenes superiores, debido a la propiedad de conmutacioŽn (2.66). Por tanto podemos escribir

aTn

(x)



-

 M (x)

BkT  k-n-1 ,

1kn+1

(2.72)

donde el sŽimbolo  indica que uŽnicamente debemos considerar los tŽerminos de dimensiŽon 2n en el miembro derecho de la ecuaciŽon. Notar que k puede tomar valores tanto enteros como semi-impares. Hemos comprobado nuestros resultados verificando que esta relacioŽn se cumple para todos los coeficientes.

2.5. Conclusiones
En este capŽitulo hemos construido el desarrollo del heat kernel en el contexto de teorŽia cuaŽntica de campos a temperatura finita para espacio-tiempo plano. El desarrollo se ha hecho para un gauge general y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no estacionarios. Se ha puesto un Ženfasis especial en el papel que juega el loop de Polyakov sin traza (o linea de Wilson tŽermica) para mantener la invariancia gauge explŽicita. Esto constituye un problema altamente no trivial, ya que para preservar la invariancia gauge a temperatura finita orden por orden se necesitan infinitos oŽrdenes en teorŽia de perturbaciones.
Cuando se elige que el ban~o tŽermico estŽe en reposo, el loop de Polyakov es generado por la componente temporal del campo gauge, y Žeste se puede considerar como una generalizacioŽn del potencial quŽimico para campos gauge no constantes y no abelianos, mediante el factor e”. De hecho, hemos aportado argumentos que apoyan esta interpretacioŽn: si el loop de Polyakov no fuera tenido en cuenta, el nuŽmero de partŽiculas no podrŽia ser fijado, lo cual estŽa en contradicciŽon con lo que se espera de los requisitos de la termodinaŽmica.

2.5 Conclusiones

39

En espacios tiempos curvos, ademaŽs del loop de Polyakov de la conexioŽn gauge A”, existe un loop de Polyakov asociado con la conexioŽn de transporte paralelo ”, con importantes repercusiones en teorŽia de campos en presencia de campos gravitatorios.
Un ingrediente importante de nuestra tŽecnica de cŽalculo es que, con objeto de garantizar la invariancia gauge explŽicita, una cierta combinaciŽon del loop de Polyakov y la temperatura debe tratarse como variable independiente, - log()/. Esto puede hacerse sin necesidad de fijar el gauge.

40

CapŽitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

CapŽitulo 3
AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

En este capŽitulo nos proponemos encontrar un lagrangiano efectivo de QCD a un loop, incluyendo fermiones sin masa, en la regioŽn de altas temperaturas. En el cŽalculo de los determinantes funcionales haremos uso del desarrollo del heat kernel a temperatura finita que hemos obtenido en el capŽitulo 2. Esto nos permitiraŽ calcular el lagrangiano efectivo como un desarrollo en operadores, y aquŽi obtendremos los Žordenes maŽs bajos en este desarrollo.
Existen en la literatura otros mŽetodos equivalentes como el cŽalculo de diagramas de Feynman a un loop con un nuŽmero arbitrario de patas externas [49]. No obstante suelen ser tŽecnicamente maŽs complicados y no dan cuenta automaŽticamente de invariancia gauge con respecto al campo externo.
Comenzaremos este capŽitulo repasando algunos elementos bŽasicos de la teorŽia de YangMills a temperatura finita, para posteriormente entrar de lleno en el cŽalculo detallado de la accioŽn de QCD a temperatura alta manteniendo la invariancia gauge de manera explŽicita. El capŽitulo estŽa basado en la referencia [44].

3.1. Fundamentos de la TeorŽia de Yang-Mills a Temperatura Finita

En esta secciŽon vamos a explicar los fundamentos de la teorŽia de Yang-Mills a temperatura finita. Partiremos del hamiltoniano cuaŽntico del sistema y deduciremos la funciŽon de particioŽn.
En una teorŽia de Yang-Mills el hamiltoniano cuaŽntico es

H

=

-

1 g2

d3x tr (0Ai)2 + Bi2 ,

(3.1)

donde

Bi

es

el

campo

magnŽetico,

Bi

=

1 2

ijk

Fjk

.

El

espacio

de

Hilbert

estŽa

formado

por

los estados {|Ai(x) }. Podemos escribir e-H como lŽimN e-H N ,   /N , y haciendo

41

42

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

uso de la relacioŽn de completitud repetidamente se llega a

Ai(x)|e-H |Ai(x) =

DAi(x0, x) exp

1 g2


dx0
0

d3x tr[(0Ai)2 + Bi2] ,

(3.2)

donde la integral funcional se toma sobre trayectorias en las que las configuraciones inicial
y final estŽan fijas: Ai(, x) = Ai(x) y Ai(0, x) = Ai(x). La traza de e-H en el espacio de Hilbert completo es

ZYM = Tr e-H = DAi(x) Ai(x)|e-H |Ai(x)

(3.3)

=

DA(i0)(x)

Ai(,x)=A(i0)
DAi(x0, x) exp
Ai (0,x)=A(i0)

1 g2


dx0
0

d3x tr (0Ai)2 + Bi2

.

Se trata de una integral funcional sobre campos gauge periŽodicos Ai(0, x) = Ai(, x). No obstante, en una teorŽia gauge hay que sumar, no sobre todos los estados posibles, sino sobre los estados fŽisicos solamente, esto es, los que satisfacen la ley de Gauss

D · E(x)|fis = 0  x ,

(3.4)

donde Ei(x) = 0Ai(x). Esta relacioŽn expresa la conservaciŽon del flujo elŽectrico. Para satisfacer (3.4) basta con que se verifique

exp d3x tr[D(x) · E(x)] |fis = |fis ,

(3.5)

para todo (x) con soporte compacto. (U) = exp( D · E) es un operador unitario que da lugar a las transformaciones gauge independientes del tiempo U = e. Esto significa
que imponer la ley de Gauss es equivalente a exigir que los estados fŽisicos sean invariantes
frente a transformaciones gauge cuyos generadores se anulen en el infinito. Estos estados pueden ser seleccionados introduciendo el proyector P = ()=0 D (e) dentro de la integral funcional

ZYM = Tr P e-H =

D(x)DAi(x) AUi (x)|e-H|Ai(x)

()=0

=

D(x)

DAi(x0, x) exp

()=0

Ai(,x)=AUi (0,x)

1 g2


dx0
0

(3.6) d3x tr (0Ai)2 + Bi2 ,

donde hemos considerado Ai|(U) = AUi |. Se trata de una integral funcional sobre campos periŽodicos salvo transformaciŽon gauge. Con objeto de derivar una expresiŽon que sea
estrictamente periŽodica introducimos el proyector P maŽs de una vez, lo cual es factible ya
que P y H conmutan

ZYM

=

lŽim Tr P e-H N
N 

=

D(x0, x)DAi(x0, x) exp

1 g2


dx0
0

(3.7) d3x tr (0Ai - Di)2 + Bi2 .

3.2 Sector fermiŽonico

43

Definiendo el campo A0(x0, x) = (x0, x), que se anula en x infinito, llegamos a

ZYM =

DA”(x0, x) exp
A”(,x)=A”(0,x)

1 2g2


dx0
0

d3x tr F”2

=:

La ecuaciŽon de movimiento e identidades de Bianchi vienen dadas por

DA”(x)e-SYEM . (3.8)

D”F” = 0 , DF” + D”F + D F” = 0 .

(3.9)

En las integrales funcionales existe una condicioŽn de periodicidad temporal en el intervalo [0, ] para los campos gauge, que son bosoŽnicos. AdemaŽs es necesario integrar sobre todos los valores en los extremos del intervalo. Si se consideran quarks en la teorŽia, estos deberaŽn satisfacer condiciones de antiperiodicidad, por ser campos fermiŽonicos. La funciŽon de particioŽn euclŽidea de QCD sin renormalizar se escribe

ZQCD =

DA”(x0, x)

A” ( ,x)=A” (0,x)

donde la accioŽn euclŽidea es

Nf
Dq(x0, x)Dq(x0, x) exp(-SE) ,
q(,x)=-q(0,x) =1
(3.10)

SE

=

-

1 2g

2


dx0
0


d3x tr(F”2 ) + dx0 0

Nf
d3x q(D/ +m)q .
=1

(3.11)

D” = ” + A” es la derivada covariante y A” es una matriz antihermŽitica de dimensiŽon Nc, en la representacioŽn fundamental del Žalgebra de Lie del grupo gauge SU(Nc). Nf es el nuŽmero de sabores diferentes de quarks, y m es la masa desnuda de los quarks.
En el tratamiento que haremos para calcular la accioŽn efectiva a un loop, las fluctuaciones cuaŽnticas de los campos gauge no van a modificar el sector de los quarks. La contribucioŽn de este sector constituiraŽ una correcciŽon a la funciŽon de particioŽn de YangMills, de modo que podremos hacer uso de la siguiente factorizacioŽn

ZQCD = ZqZYM ,

(3.12)

donde Zq y ZYM corresponden a la funciŽon de particioŽn del sector fermiŽonico y gluoŽnico respectivamente. Esto se justificaraŽ en la secciŽon 3.3. Calcularemos cada una de estas contribuciones por separado.

3.2. Sector fermiŽonico
La contribucioŽn de los quarks es maŽs simple que la gluŽonica, de modo que la trataremos en primer lugar para asŽi conseguir una mayor claridad en el desarrollo. Los resultados de esta secciŽon serŽan vaŽlidos para cualquier grupo gauge. En la secciŽon 3.3 se particularizarŽan las fŽormulas para grupos gauge concretos. Consideraremos el caso particular de quarks sin masa (m = 0).

44

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

La funciŽon de particioŽn sin renormalizar es

Nf

Zq[A] =

Dq(x0, x)Dq(x0, x) exp(-SqE) ,

q(,x)=-q(0,x) =1

con la accioŽn euclŽidea


SqE = dx0 0

Nf
d3x q D/ q .
=1

La integral funcional de los campos de los quarks conduce a

(3.13) (3.14)

Zq[A] = Det(D/ )Nf ,

(3.15)

y la accioŽn efectiva euclŽidea es1

dqesn[A] = -Nf log Det(D/ ) = -Nf Tr log(D/ ) .

(3.16)

Esta expresiŽon es formal debido a la presencia de divergencias ultravioletas. UŽ nicamente despuŽes de regularizar y renormalizar estas divergencias se obtiene una accioŽn efectiva finita y bien definida. Existe un gran nuŽmero de mŽetodos diferentes para obtener una versioŽn renormalizada, pero un resultado estŽandar de teorŽia cuaŽntica de campos perturbativa es que diferentes definiciones de  pueden diferir a lo sumo en tŽerminos que son polinomios locales de dimensiŽon canoŽnica d + 1 (donde d + 1 es la dimensiŽon del espacio-tiempo), construidos con los campos externos y sus derivadas [18, 50]. Esto es debido a que todos los diagramas de Feynman son convergentes maŽs allŽa de d + 1 derivadas en los campos o en los momentos externos [51]. En la praŽctica vamos a tener que cualquier mŽetodo consistente con la expresiŽon formal de la accioŽn efectiva puede ser usado, puesto que todos ellos van a dar la misma contribucioŽn finita ultravioleta.

3.2.1. AcciŽon efectiva con representaciŽon de Schwinger

De acuerdo con el tratamiento usual, elevaremos al cuadrado el operador de Dirac con objeto de obtener un operador de Klein-Gordon. Haciendo uso de la representacioŽn de Schwinger de tiempo propio podemos escribir la contribucioŽn del sector fermiŽonico a la accioŽn efectiva de QCD a un loop como

q [A]

=

-

Nf 2

Tr

log(D/2)

=

Nf 2

 0

d 

Tre D/2

=:


dx0
0

d3x Lq(x) ,

(3.17)

Lq (x)

=

Nf 2

 d ”2 0  (4 )D/2

 ntr(bTn,q(x)) .
n

(3.18)

Usamos regularizacioŽn dimensional para regular las divergencias ultravioletas en  = 0, con el convenio D = 4 - 2. El factor ”2 restablece la dimensiŽon 4 en masa del lagrangiano

1Nuestro convenio para la acciŽon efectiva es Z = e-.

3.2 Sector fermiŽonico

45

efectivo. La traza de Dirac estŽa incluida en bTn,q y tr se refiere a traza en el espacio de color. Para aplicar nuestro desarrollo del heat kernel a temperatura finita al cŽalculo de la accioŽn
efectiva uŽnicamente debemos identificar el operador de Klein-Gordon correspondiente. Usa-
remos el siguiente convenio para las matrices ”:

” = ” , {”, } = 2” , trDirac(1) = 4 .

(3.19)

Se puede escribir

-

D/2=

-D”2

-

1 2

”

F”

,

(3.20)

donde se ha usado ” = ” + ”. El operador de ec. (3.20) es de tipo Klein-Gordon, y

podemos

identificar

el

tŽermino

de

masa

como

M (x)

=

-

1 2

”

F”

.

3.2.2. Traza en espacio de Dirac
El siguiente paso es hacer uso de los coeficientes de heat kernel (2.70) y calcular la traza en el espacio de Dirac. La traza en este espacio muestra que bT1 y bT5/2 no van a contribuir, lo cual es extensible a todos los tŽerminos del heat kernel con una uŽnica M. Usamos las siguientes propiedades

trDirac(”1 ”2 · · ·  ) ”2n+1 = 0 , trDirac(”) = 4” , trDirac(”) = 4(”  - ” + ” ) .

(3.21)

Existe otra propiedad que permite invertir el orden de las matrices ” dentro de la traza

trDirac(” · · · ) = trDirac(· · · ”) .

(3.22)

Hasta dimensiŽon de masa 6 tenemos

bT0,q = 40 ,

bT2,q

=

-

2 3

0F”2 + 2Ei2

,

(3.23)

bT3,q

= 0

32 45

F”

F

F”

+

1 6

F2”

-

1 15

F”2”

+ 2

1 15

Ei2i

-

1 10

F02ij

-

2 15

EiFij

Ej

+

2 5

4

-

2

E02i .

Las funciones n corresponden a su versioŽn fermiŽonica, esto es, la suma es sobre las fre-

cuencias

de

Matsubara

p0

=

2(n

+

1 2

)/

.

Los

tŽerminos

que

rompen

simetrŽia

Lorentz

se

han separado explŽicitamente.

46

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

3.2.3. Integrales en tiempo propio

Como hemos indicado, vamos a hacer uso de la regularizacioŽn dimensional en la integral sobre  , ec. (3.18). Las integrales van a ser del tipo

I±,n() :=

 0

d 

(4”2 ) ±n ()

,

|| = 1 ,

(3.24)

donde ±n se refiere a la versioŽn bosoŽnica o fermiŽonica, respectivamente. En el sector fermiŽonico  es el loop de Polyakov en la representacioŽn fundamental. A nivel praŽctico  en realidad va a indicar cada uno de los autovalores del loop de Polyakov. En el apŽendice B se calculan estas integrales y se discuten algunas de sus propiedades. Para el sector de los quarks nos va a interesar la versioŽn fermiŽonica de las integrales, y hasta dimensiŽon 6 en masa necesitamos sŽolo valores pares de n:

I-,2n(ei2) = (-1)n(4)

” 2

2



2

(

+

n

+



+

1 2

)

2

(

1 2

)

Ś

 (1

+

2

+

2,

1 2

+

)

+

 (1

+

2

+

2,

1 2

-

)

,

-

1 2

<



<

1 2

,

(3.25)

donde hemos hecho uso de la notaciŽon  = ei2. (z) es la funciŽon Gamma de Euler y
(z, q) la funciŽon de Riemann generalizada [52]. En general las integrales I±,n() van a ser funciones univaluadas en , esto es, periŽodicas en  con perŽiodo 1. La foŽrmula (3.25) se

ha de

escrito de manera este intervalo debe

que sea directamente aplicable en el considerarse una extensiŽon periŽodica

intervalo

-

1 2

de la funciŽon.

A<dem<aŽs12I.-,F2nu(era)

son funciones pares en .

Calculemos a continuaciŽon la contribucioŽn al lagrangiano efectivo. El orden cero requiere

I--2,0. Obtenemos

I--2,0

=

-

2 3

2 

4

B4(

1 2

+

)

+

O()

,

(3.26)

donde hemos hecho uso de la relacioŽn (1 - n, q) = -Bn(q)/n, n = 1, 2, . . . , y Bn(q) es el polinomio de Bernoulli de orden n. Por tanto, tenemos que el potencial efectivo va a ser

L0,q (x)

=

2Nf 4

2Nc 45

-

1 12

tr

(1 - 42)2

,

(x) = ei2 ,

-

1 2

<



<

1 2

,

(3.27)

donde Nc = tr(1) indica el nuŽmero de colores. tr es la traza en la representacioŽn fundamental del grupo gauge de color, y  es la matriz log()/(2i) en esta representacioŽn y con valores propios en la rama || < 1/2.
Notar que z = 1 es el uŽnico punto singular de la funciŽon (z, q) (se trata de un polo simple). UŽ nicamente las integrales I0-,2n tienen el polo estŽandar 1/, con lo cual Žeste sŽolo

3.3 Sector gluŽonico

47

va a aparecer en los tŽerminos con dimensiŽon de masa 4, esto es bT2,q. Para estos tŽerminos necesitamos

I0-,0

=

1 

+

log(4)

-

E

+

2

log(”/4)

-



1 2

+



-

1 2

-



+ O() ,

I0-,2 := I0-,0 + 2I0-,2 = -2 + O() .

(3.28)

Las integrales I±,2n se definen de forma anŽaloga a I±,2n pero usando 2n en lugar de 2n. (q) es la funciŽon digamma, y aquŽi hemos hecho uso de la relacioŽn

 (1

+

z,

q)

=

1 z

-

(q)

+

O(z)

.

(3.29)

Notar que las funciones 2n se definieron de manera que se anulasen en el lŽimite  /2 = 0, de modo que las integrales correspondientes van a estar libres de divergencias ultravioletas. Los tŽerminos 1/ + log(4) - E que aparecen en I0-,0 son eliminados si adoptamos el esquema de regularizacioŽn MS. DespuŽes de renormalizar, punto que explicaremos
en la secciŽon 3.4, tendremos

L2,q (x)

=

-

1 3

1 (4)2

Nf

tr

2 log(”/4) - 

1 2

+



-

1 2

-



F”2 - 2Ei2 .

(3.30)

Para los tŽerminos con dimensiŽon de masa 6 vamos a necesitar las integrales

I1-,0

=-

 4

2



1 2

+



+ 

1 2

-



+ O() ,

I1-,2 = -2I1-,0 + O() , I1-,4 = -4I1-,0 + O() ,

(3.31)

donde hemos hecho uso de la relacioŽn (n)(q) = (-1)n+1n!(n + 1, q) . Esto conduce a

L3,q(x)

=

-

2 (4)4

Nf



2tr



1 2

+



+ 

1 2

-



(3.32)

Ś

8 45

F”

F

F”

+

1 24

F2”

-

1 60

F”2”

+

1 20

F02”

-

1 30

Ei2i

+

1 15

EiFij

Ej

.

Notar que cada orden del heat kernel estŽa asociado a una potencia en temperatura, L0  T 4, L2  T 0, L3  T -2, lo cual quiere decir que el desarrollo del heat kernel a temperatura finita es esencialmente un desarrollo en potencias de k2/T 2, donde k es el momento gluŽonico tŽipico. Los tŽerminos de orden T 2 estŽan prohibidos ya que no existen
operadores invariantes gauge de dimensiŽon 2 disponibles.

3.3. Sector gluoŽnico
A continuaciŽon nos vamos a centrar en el tŽermino de Yang-Mills, para el cual consideraremos especŽificamente el grupo SU(Nc) (matrices unitarias, una uŽnica constante de acoplamiento y matrices del Žalgebra de Lie con traza cero en cualquier representacioŽn).

48

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

La funciŽon de particioŽn sin renormalizar es

Zg =

DA”(x0, x) exp(-SYEM)

A” ( ,x)=A” (0,x)

con la accioŽn euclŽidea

SYEM

=

-

1 2g2


dx0
0

d3x tr(F”2 ) .

Se trata de una integral funcional entre configuraciones periŽodicas.

(3.33) (3.34)

3.3.1. MŽetodo del Campo de Fondo

Para el cŽalculo de la accioŽn efectiva haremos uso del MŽetodo del Campo de Fondo [53, 54]
que consiste en separar el campo gluŽonico, que por claridad denotaremos aquŽi como A”, en un campo clŽasico A” maŽs una fluctuacioŽn cuaŽntica a” en la accioŽn (3.34). La fluctuacioŽn es presumiblemente pequen~a.

A”(x) = A”(x) + a”(x) .

(3.35)

Esto va a inducir una separacioŽn en el tensor F”

F” [A] = F” [A] + D”a - Da” + [a”, a] .

(3.36)

En ec. (3.36) la derivada covariante es la asociada al campo clŽasico, esto es D” = ” + A”.
En nuestra notaciŽon D” = [D”, ]. Notar que los campos de los quarks se eligen como una fluctuacioŽn pura, de modo que a” no modifica el sector fermiŽonico a un loop. Esto justifica la factorizacioŽn de ec. (3.12)
Una transformaciŽon gauge infinitesimal de A” con paraŽmetro  puede ser distribuida de muchas maneras sobre los campos A” y a”, pero las elecciones maŽs convenientes van a ser la transformaciŽon cuŽantica

A” = 0 , a” = D” + [a”, ] y la transformaciŽon del campo de fondo

(3.37)

A” = D” , a” = [a”, ] .

(3.38)

La clave consiste ahora en an~adir a la accioŽn clŽasica un tŽermino que fije el gauge (gaugefixing term) el cual va a romper la invariancia gauge cuaŽntica, pero respetarŽa la invariancia gauge del campo clŽasico de fondo

Sfix

=

1 


dx0
0

d3x tr(G2) ,

(3.39)

donde la funciŽon G transforma de modo covariante bajo (3.38). El tŽermino de Faddeev-

Popov asociado es


SFP = 2 dx0
0

d3x tr

C



G 

C

,

(3.40)

3.3 Sector gluŽonico

49

donde G/ indica la variaciŽon de G bajo una transformaciŽon gauge cuaŽntica. C y C
son los campos ghost y antighost respectivamente, que son objetos que anticonmutan (si
bien son periŽodicos en tiempo euclŽideo) y son matrices en la representacioŽn fundamental de su(Nc). La accioŽn total Stot = SYEM + Sfix + SFP aparece en el funcional generador de todas las funciones de Green

Zg[A, J, , ] = N DaDCDC exp (-Stot + J · a +  · C + C · ) ,

(3.41)

donde J,  y  son fuentes y el factor de normalizacioŽn N se elige de modo que se verifique Zg[A, 0, 0, 0] = 1. Notar que el campo clŽasico de fondo no estŽa acoplado con la fuente J. El funcional generador para los diagramas conexos viene dado por

Wg[A, J, , ] = log Zg[A, J, , ] .

(3.42)

Los valores esperados de todos los campos se definen como

a~

=

Wg J

,

C~

=

Wg 

,

C~ 

=

Wg 

,

(3.43)

y a partir de ellos, la accioŽn efectiva se define

g[A, a~, C~, C~] = J · a~ +  · C~ + C~ ·  - Wg[A, J, , ] .

(3.44)

Los funcionales Zg y Wg serŽan invariantes bajo transformaciones gauge del campo de fondo, ec. (3.38), si todas las fuentes y campos ghost transforman igual que a. Lo mismo se puede decir de la accioŽn efectiva g si uno exige que a~, C~ y C~ transformen igual que a. Una buena eleccioŽn es el gauge de Gervais-Neveu generalizado

G = D”a” + a2” ,

(3.45)

pero aquŽi nos vamos a restringir al gauge de Feynman covariante  = 1,  = 0, con un tŽermino de Faddeev-Popov asociado


SFP = 2 dx0
0

d3x tr CD”(D”C + [a”, C]) .

Descompongamos la corriente J” en

(3.46)

J” = J” + j”

(3.47)

donde definimos

j”

=

Stot[A, a] a”

.
a=0

Podemos escribir la accioŽn total como

Stot[A, a] - J · a

=

SYEM[A]

+

1 2


dx0
0

d3x tr (a”” [A]a)



- dx0 d3x tr (C[A]C) - Sint[A, a] - J · a ,

0

(3.48) (3.49)

50

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

con las siguientes definiciones

” [A] = - ” D2 + 2F” , [A] = -D”2 ,


Sint[A, a] = dx0
0

d3x tr

(D”a )[a”,

a ]

+

1 4

[a”

,

a ]2

+

C  D”[a” ,

C]

,(3.50)

donde D” = [D”, ] y F” = [F”, ]. Notar que la constante de acoplamiento g puede ser absorbida en la normalizacioŽn de los campos. De este modo obtenemos el nuevo funcional generador

Zg[A, J , , ]

=

DaDCDC exp

-

SYEM[A]

-

1 2


dx0
0


d3x a”” a + dx0
0

d3x CC

-Sint[A, a] + J · a +  · C + C ·  ,

(3.51)

que depende de la nueva corriente J . Notar que el uŽnico tŽermino lineal en el campo gauge a” que aparece en el exponente es el que estŽa acoplado con la corriente J .
Si imponemos ahora las condiciones a~ = C~ = C~ = 0, la accioŽn efectiva se puede escribir como

g[A, 0, 0, 0] = -Wg[A, J , , ] Wg/J =Wg/=Wg/=0

(3.52)

y es todavŽia invariante respecto a la transformaciŽon gauge del campo de fondo dada en (3.38). El desarrollo perturbativo de esta accioŽn efectiva solamente contiene diagramas de vacŽio, que son 1PI.
El desarrollo de la accioŽn efectiva de Yang-Mills en tŽerminos de viene dado por

g[A,

0,

0,

0]

=

SYEM[A]

+

1 2

Tr

log(-” D2

-

2F” )

-

Tr

log(-D”2 )

+

O(

2) .

(3.53)

El tŽermino SYEM[A] es la contribucioŽn clŽasica, y los tŽerminos segundo y tercero son las contribuciones cuaŽnticas a O( ). En (3.53) se puede ver que el operador de Klein-Gordon sobre los campos cuaŽnticos a” (segundo tŽermino del miembro derecho de la igualdad)
actuŽa sobre un espacio interno de dimensiŽon D Ś Nc, donde en regularizacioŽn dimensional D = 4 - 2, que es el nuŽmero de polarizaciones del gluŽon (fŽisicas o no).2 D se corresponde
con el Žindice de Lorentz ”. Los operadores D” y F” actuŽan en la representacioŽn adjunta. Notar que la derivada covariante en este operador de Klein-Gordon es la identidad en el espacio de Lorentz, mientras que el tŽermino de masa es una matriz en dicho espacio, esto es (M)” = -2F”. Por otra parte, el operador de Klein-Gordon de los campos ghost (tercer tŽermino del miembro derecho de la igualdad) actuŽa sobre un espacio interno de dimensiŽon
Nc. La derivada covariante es D” en la representacioŽn adjunta y el tŽermino de masa es cero.

2Nc es el nuŽmero de generadores del grupo gauge (Nc2 - 1 en SU(Nc)) y se corresponde con la dimensioŽn de la representaciŽon adjunta del grupo.

3.3 Sector gluŽonico

51

3.3.2. AcciŽon efectiva a un loop

La accioŽn efectiva total de QCD quiral hasta nivel de un loop queda

[A]

=

-

”-2 2g02

d4x tr(F”2 ) + q[A] + g[A] ,

(3.54)

donde el primer tŽermino es la accioŽn de la teorŽia de Yang-Mills a nivel aŽrbol teniendo en cuenta la renormalizaciŽon (g0 es una constante adimensional). El segundo tŽermino es la contribucioŽn de los quarks, que ha sido calculada en la secciŽon 3.2. El tercer tŽermino corresponde a las contribuciones que surgen despuŽes de integrar los ghosts y las fluctuaciones cuaŽnticas de los campos gauge

g[A]

=

1 2

Tr

log(-”

D2

-

2F” )

-

Tr log(-D”2)

=:


dx0
0

Haciendo uso del desarrollo del heat kernel podemos escribir

d3x Lg(x) .

(3.55)

Lg(x)

=

-

1 2

 d ”2 0  (4 )D/2

n

 n tr(bTn,g(x)) .

(3.56)

La traza sobre el espacio de Lorentz para los gluones estŽa incluida en los coeficientes bTn,g. En esta fŽormula tr se refiere a traza en el espacio de color en la representacioŽn adjunta. Se puede comprobar explŽicitamente en el cŽalculo que el efecto de los ghosts es quitar dos grados de polarizacioŽn del gluŽon, esto es D  D -2. Debido a la traza de Lorentz todos los tŽerminos con una uŽnica M se van a anular, en particular bT1,g y bT5/2,g no van a contribuir. Hasta dimensiŽon de masa 6 tenemos

bT0,g = (D - 2)0() ,

bT2,g =

-2

+

D- 12

2

0()F”2

-

D

- 6

2 2()Ei2

,

bT3,g = 0()

4 3

+

D- 90

2

F” FF”

+

1 3

F2”

-

D- 60

2 F”2”

+

1 6

2()

-2F02”

+

D- 10

2

Ei2i + F02ij - 2EiFij Ej

+ (D - 2)

1 10

4()

-

1 6

2

()

E02i .

(3.57)

En estas fŽormulas las funciones n corresponden a su versioŽn bosoŽnica, esto es, la suma es sobre las frecuencias de Matsubara p0 = 2n/. A diferencia del sector fermiŽonico, el argumento de estas funciones, , y las derivadas covariantes estŽan en la representacioŽn adjunta. Notar que los tŽerminos con D - 2 proceden de tŽerminos del heat kernel que no tienen masa. Los tŽerminos que rompen simetrŽia Lorentz se han separado explŽicitamente.
Para calcular el lagrangiano efectivo deberemos introducir los coeficientes (3.57) en (3.56). Las integrales en  que aparecen son del tipo (3.24). Como sabemos, las versiones

52

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

bosoŽnica y fermiŽonica de las funciones n estŽan relacionadas por el cambio   - , esto

es +n () = -n (-) . De aquŽi tenemos que las integrales I+,2n van a ser las mismas que

I-,2n

de

(3.25)

excepto

por

el

cambio







-

1 2

I+,2n(ei2) = (-1)n(4)

” 2

2

 2

2

(

+

n

+



+

1 2

)

(

1 2

)

Ś (1 + 2 + 2, ) + (1 + 2 + 2, 1 - ) ,

0 < < 1,

(3.58)

donde hemos hecho uso de la notaciŽon  = ei2. Esta fŽormula se ha escrito para que sea
vaŽlida en el intervalo 0 <  < 1. Fuera de este intervalo debe considerarse la extensiŽon periŽodica de la funciŽon. Las integrales I+,2n(ei2) son pares bajo el cambio   1 -  .
El orden cero requiere

I-+2,0

=

-

1 3

2 

4
(B4() + B4(1 - )) + O() .

(3.59)

El potencial efectivo va a ser

L0,g (x)

=

2 34

tr(B4(

)

+

B4

(1

-



))

=

-

2 45

4

Nc

+

22 34

tr

[2(1

-

 )2 ]

,

(x) = ei2 ,

0 <  <1,

(3.60)

donde Nc := tr(1) = Nc2 - 1 es el nuŽmero de generadores del grupo gauge.  es la matriz log()/(2i) con valores propios en la rama 0 <  < 1. Si se considera  = 0 en ec. (3.60) se obtiene la presiŽon de un gas ideal de gluones.
Para los tŽerminos con dimensiŽon de masa 4 vamos a necesitar

I0+,0

=

1 

+

log(4)

-

E

+

2

log(”/4)

-

()

-

(1

-

)

+

O()

,

I0+,2 := I0+,0 + 2I0+,2 = -2 + O() .

(3.61)

I0+,0 es divergente ultravioleta e I0+,2 es finito. Notar que en las D's que aparecen en nuestras expresiones tras hacer la traza de Lorentz tambiŽen existen 's que hay que tener en cuenta. La parte finita del lagrangiano efectivo, en el esquema MS, es

L2,g(x)

=

1 (4

)2

tr

11 12

2

log(”/4)

+

1 11

-

()

-

(1

-

)

F”2

-

1 3

Ei2

.

(3.62)

En esta fŽormula no hemos considerado las contribuciones divergentes. EŽstas serŽan tratadas en la secciŽon 3.4, donde abordaremos el problema de la renormalizaciŽon.

3.4 RenormalizacioŽn

53

Para los tŽerminos con dimensiŽon de masa 6 necesitamos las integrales

I1+,0

=

-

 4

2
 () +  (1 - )

+ O() ,

I1+,2 = -2I1+,0 + O() , I1+,4 = -4I1+,0 + O() .

(3.63) (3.64)

Esto conduce a

L3,g(x) =

1 2

2 (4)4

tr

() + (1 - )

(3.65)

Ś

61 45

F”

FF”

+

1 3

F2”

-

1 30

F”2”

+

3 5

F02”

-

1 15

Ei2i

+

2 15

Ei

Fij

Ej

.

3.4. RenormalizaciŽon

Para la renormalizaciŽon deberemos considerar todas las contribuciones divergentes que hemos obtenido, tanto del sector de quarks como del sector gluoŽnico. El lagrangiano a nivel Žarbol junto con estas divergencias conduce a

LŽarbol(x) + Ldqiv(x) + Ldgiv(x) =

=

-

1 2g02

tr(F”2

)

+

1 (4)2

=

-

2g

1 2(”)

tr(F”2

)

.

1 

+

log(4)

-

E

Hacemos uso de la siguiente identidad

11 12

tr(F”2

)

-

Nf 3

tr(F”2 )

(3.66)

tr F”2 = 2tr(1)tr F”2 - 2 (tr (F”))2 = 2Nctr F”2 ,

(3.67)

donde se ha considerado que el grupo gauge es SU(Nc). De aquŽi obtenemos en el esquema MS

1 g2(”)

=

1 g02

-

0

1 

+

log(4)

-

E

,

0

=

1 (4)2

11 3

Nc

-

2 3

Nf

,

(3.68)

lo cual garantiza la independencia en escala de ec. (3.66). Notar que nos hemos limitado
a renormalizar la constante de acoplamiento. Por invariancia gauge, los campos claŽsicos
A” no necesitan ser renormalizados, si bien para el problema de la reduccioŽn dimensional, en general Žesta funciona mejor si los campos se renormalizan de tal modo que todas las contribuciones a Ei2 y Bi2, que proceden de loops no estŽaticos, son canceladas mediante contratŽerminos [55].

54

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

Si consideramos todos los tŽerminos con dimensiŽon de masa 4, (ecs. (3.30), (3.62) y (3.66)), para ellos el lagrangiano renormalizado de QCD quiral hasta un loop es

L2,QCD(x) =

-

1 2g2(”)

+

0

log(”/4)

+

1 6

1 (4

)2

Nc

tr(F”2 )

-

11 12

1 (4)2

tr

() + (1 - ) F”2

+

1 3

1 (4)2

Nf

tr

(

1 2

+

)

+

(

1 2

-

)

F”2

-

2 3

(Nc

-

Nf

)

1 (4)2

tr

Ei2

,

-

1 2

<



<

1 2

,

0 <  < 1 . (3.69)

Otra posibilidad es usar el mŽetodo de Pauli-Villars para regular las divergencias ultra-
violetas [56]. La regularizacioŽn de Pauli-Villars consiste bŽasicamente en la introduccioŽn, en el funcional generador, de nuevos campos a” y C que transforman como a” y C, pero tienen una masa M que posteriormente se considerarŽa en el lŽimite M  . Por con-
veniencia consideramos que los dos campos tienen la misma masa. La aplicaciŽon de este
procedimiento conduce a la siguiente funciŽon de particioŽn regulada

Z [A]|reg

=

Z [A] Z[A, M 2]

.

(3.70)

Z[A, M2] tiene la misma forma que Z[A] excepto que los tŽerminos de masa estŽan incluidos.

Para un operador genŽerico K, la expresiŽon regulada para el determinante funcional es

Det(K)|reg

=

Det(K) Det(K + M 2)

=

exp

-

 d 0

1 - e-M2

Tr e-K

,

(3.71)

donde hemos hecho uso de la representacioŽn de tiempo propio de Schwinger. Por tanto la regularizacioŽn de Pauli-Villars corresponde a insertar el factor (1-e-M2) en la integracioŽn
en  . Todas las integrales convergentes (incluidas I0±,2 ) quedan igual que en regularizacioŽn dimensional (en el lŽimite M  ), y las integrales que divergen son

I0+,0,PV = 2 log(M/”) + 2 log(”/4) - () - (1 - ) + O(M -1) , 0 <  < 1 , (3.72)

I0-,0,PV

=

2

log(M/”)

+

2

log(”/4)

-

(

1 2

+

)

-

(

1 2

-

)

+

O(M -1)

,

-

1 2

<



<

1 2

.

El lagrangiano a nivel Žarbol tiene la siguiente constante de acoplamiento desnuda (para

cutoff M),

1 g02(M )

=

2 (4)2

11 3

Nc

-

2 3

Nf

log

M ”

.

(3.73)

El lagrangiano a nivel Žarbol junto con todas las contribuciones divergentes del sector

gluŽonico y del sector fermiŽonico conduce a (en este esquema de regularizacioŽn)

LŽarbol(x) + Ldqiv(x) + Ldgiv(x)

=

-

1 2g02(M

)

tr(F”2

)

+

1 (4)2

log(M )

11 3

Nc

-

2 3

Nf

tr(F”2 )

=

-

1 2g2(”)

tr(F”2

)

,

(3.74)

3.5 Divergencias infrarrojas

55

donde hemos hecho uso de la identidad (3.67), vaŽlida en SU(Nc). Notar que el tŽermino divergente ultravioleta log(M) es cancelado por la constante de acoplamiento desnuda, de
modo que al final el cutoff M es reemplazado por el paraŽmetro finito ”. Si, como es usual, el paraŽmetro  en cada esquema es definido como la escala ” =  para la cual 1/g2(”) se
anula, encontramos que los dos esquemas MS y PV dan idŽenticos resultados cuando

log

2PV/M2 S

=

1

11

-

2Nf Nc

.

(3.75)

Si se hace uso de otro esquema de regularizacioŽn, la escala deberŽa modificarse en consecuencia [57, 58].

3.5. Divergencias infrarrojas

En el cŽalculo del sector gluŽonico de la accioŽn efectiva existe un problema de divergencias
infrarrojas relacionadas con el modo estŽatico de Matsubara. En la representacioŽn adjunta,
Nc - 1 valores propios de  son necesariamente la unidad, de modo que el valor  = 0 va a aparecer siempre al tomar la traza adjunta. Notar que para integrales I+,n con n = 0, el modo estŽatico no va a contribuir. Sin embargo en I+,0 este modo puede producir divergencias infrarrojas y ultravioletas. En concreto la singularidad de I+,n(ei2) para valores de  enteros procede de la divergencia infrarroja del modo estŽatico. En regularizacioŽn dimensional la integral I+,0(1)|p0=0 se define como cero ya que no tiene una escala natural [59]. Tal y como se explica en el apŽendice B, las integrales I+,2n sin el modo estŽatico vienen dadas por las mismas expresiones que (3.58) despuŽes de la sustitucioŽn   1 +  en la
primera . En consecuencia, la prescripciŽon va a ser usar las fŽormulas de L2,g y L3,g con las sustituciones

() + (1 - ) =0  (1 + ) + (1 - ) =0 = -2E , () + (1 - ) =0  (1 + ) + (1 - ) =0 = -4(3) ,

(3.76)

realizadas uŽnicamente en el subespacio  = 1. Esta prescripciŽon preserva la periodicidad

de la accioŽn efectiva como funciŽon de log(), de modo que es consistente con la invariancia

gauge.

Un modo alternativo de tratar las divergencias infrarrojas es regulaŽndolas an~adiendo en las integrales en  una funciŽon cutoff e-m2 . Los modos que son finitos en el rŽegimen

infrarrojo no se ven afectados en el lŽimite m  0. El modo estŽatico en 0 da lugar a divergencias que deberaŽn ser an~adidas al resultado obtenido previamente en regularizacioŽn

dimensional. Esto produce la contribucioŽn



I+,0(1)|p0=0 =

4(

1 2

+

 m2+1

)

.

(3.77)

Puesto que las divergencias infrarrojas proceden exclusivamente del modo estŽatico de 0, las relaciones de escala del tipo (3.64) para I+,2n no serŽan vaŽlidas. Los tŽerminos divergentes

56

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

infrarrojos que obtenemos son:

L2,IR

=

1 48

T m

tr

11F”2 + 2Ei2

,

L3,IR

=

1 240

T m3

tr

-

61 3

F”



F



F”

+

EiFij Ej

+

EiFij

Ej

-5F”2

+

1 2

F”2”



+

9 2

F02”



+

3E02i

-

1 2

Ei2i

.

(3.78)

En nuestra notaciŽon, F” indica la parte de F” que conmuta con , y F” el resto. Si bien son contribuciones gluŽonicas, se han expresado en la representacioŽn fundamental,
que suele ser preferible. En concreto, en el gauge en que  es diagonal, F” es la parte diagonal de F”. UŽ nicamente tŽerminos con al menos una componente perpendicular pueden ser divergentes infrarrojos.

3.6. TeorŽia efectiva dimensionalmente reducida

Desde mediados de la dŽecada de los noventa la mayor parte del esfuerzo que se ha dedicado en QCD perturbativa a temperatura alta ha sido en calcular la presioŽn, y sŽolo recientemente se ha obtenido el orden perturbativo maŽs alto posible [60], mediante el uso de ideas de reduccioŽn dimensional [61, 62, 63, 64, 65]. Estas ideas se basan en el hecho de que a temperatura suficientemente alta el comportamiento de la teorŽia puede ser descrito, en principio, por una teorŽia efectiva en tres dimensiones.
Como sabemos, a temperatura finita los campos periŽodicos se pueden descomponer en modos de Fourier



A”(x0, x) =

A”(n, x)einx0 ,

n=-

n

=

2n 

.

(3.79)

Cada modo lleva asociado un propagador de la forma [p 2 + n2]-1. Para valores de n diferentes de cero, n juega el papel de una masa. En el lŽimite T   todas las frecuencias de Matsubara no nulas son infinitamente grandes. Puesto que las partŽiculas infinitamente pesadas se desacoplan en una teorŽia de campos a temperatura cero, se puede esperar que ocurra lo mismo para los modos no estŽaticos n = 0 en teorŽias de campos a temperatura alta, de modo que una teorŽia efectiva en tres dimensiones serŽia suficiente para explicar el comportamiento.
En la secciŽon 3.3 hemos obtenido la accioŽn efectiva haciendo una separacioŽn del campo gluŽonico en un background clŽasico maŽs una fluctuacioŽn cuaŽntica, e integrando Žesta uŽltima a un loop. Se puede adaptar esta tŽecnica para calcular la accioŽn de la teorŽia dimensionalmente reducida (que denotaremos en lo sucesivo como L(x)), haciendo lo siguiente:

considerar un background estacionario;

considerar fluctuaciones puramente no estacionarias.

3.6 TeorŽia efectiva dimensionalmente reducida

57

La integracioŽn de los modos fermiŽonicos y los modos gluŽonicos no estacionarios va a dar lugar a una teorŽia efectiva para los restantes modos estacionarios (independientes del tiempo), que consiste en una teorŽia gauge SU(Nc) en tres dimensiones acoplada con un campo escalar A0. A esto se le llama reducciŽon dimensional

d4x LQCD(x) - d3x L(x) .

(3.80)

La segunda condicioŽn implica eliminar los modos estŽaticos n = 0 en todas las sumas de Matsubara. Hay que mencionar que L(x) no es la accioŽn efectiva de la teorŽia dimen-
sionalmente reducida, sino que es la accioŽn verdadera (en la aproximaciŽon de un loop), en el sentido de que la integral funcional sobre las configuraciones estacionarias con L(x) da
lugar a la funciŽon de particioŽn.

3.6.1. EliminaciŽon de los modos estŽaticos

La eliminaciŽon del modo estŽatico sŽolo afecta al sector gluŽonico, y resulta irrelevante
en el sector de quarks, de modo que Lq(x) = Lq(x).3 El sector gluoŽnico a nivel aŽrbol tampoco se ve afectado, de modo que para el nivel Žarbol renormalizado se tiene

LŽarbol(x) = LŽarbol(x) .

(3.81)

La eliminaciŽon del modo estŽatico en el sector gluŽonico (para || < 1) corresponde a la

sustitucioŽn    + 1 en la primera  de (3.58). Esto conduce trivialmente a las siguientes

fŽormulas:

L0,g(x)

=

22 3

T

3

tr

2(1 + 2)

,

 = log()/(2i) ,

-1    1 .

L2,g(x)

=

1 (4)2T

tr

11 12

2

log(”/4T )

+

1 11

-

()

-

(-)

F”2

-

1 3

Ei2

,

(3.82) (3.83)

L3,g(x)

=

1 2

1 (4

)4

1 T3

tr

() + (-)

(3.84)

Ś

61 45

F”

FF”

+

1 3

F2”

-

1 30

F”2”

+

3 5

F02”

-

1 15

Ei2i

+

2 15

Ei

Fij

Ej

.

En el potencial efectivo se ha desechado un tŽermino que es independiente de A0. Para los tŽerminos con dimensiŽon de masa cuatro y seis se ha hecho uso de la identidad (1 + ) +
(1-) = ()+(-). En estas fŽormulas, F0” indica [A0, F”]. Notar que la eliminaciŽon del modo estŽatico permite que L(x) estŽe libre de divergencias infrarrojas.

3.6.2. Desarrollo en A0 pequen~o
AdemaŽs de tomar A” estacionario, consideraremos que A0 es pequen~o (en particular || < 1). Esto es vaŽlido a temperatura alta, pues en este rŽegimen el potencial efectivo produce una supresioŽn en las configuraciones de (x) que estŽan lejos de la unidad. En ausencia
3Notar que existe un factor  extra en L(x).

58

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

de quarks, esto se puede ver como que (x) vive cerca de un elemento del centro del grupo gauge (la rotura espontŽanea de la simetrŽia del centro indica la fase de desconfinamiento).
Siempre va a ser posible hacer una transformaciŽon gauge para llevar una configuracioŽn a la regioŽn || < 1. El considerar esta configuraciŽon es importante, pues uŽnicamente cuando A0 es pequen~o (|| < 1) las fluctuaciones no estŽaticas son las maŽs pesadas. Si A0 es pequen~o, podremos desarrollar L(x) en potencias de A0. Notar que en el contaje en dimensiones de masa, el A0 procedente de  tiene dimensiŽon 1 ( no tiene dimensiones de masa). Este nuevo contaje no es compatible con invariancia gauge explŽicita bajo transformaciones grandes, aunque sŽi bajo transformaciones estacionarias topoloŽgicamente pequen~as (proŽximas a la identidad).
El potencial efectivo es un polinomio en A0. De ec. (3.27) y (3.82), se obtiene

L0(x) = -

Nc 3

+

Nf 6

T

A20

+

1 42T

A20

2+

1 122T

(Nc

- Nf )

A40

.

(3.85)

En el resto de esta secciŽon usaremos la notaciŽon X := tr(X), para la traza en la repre-

sentacioŽn fundamental.

El resultado que se obtiene para los tŽerminos con dimensiŽon de masa cuatro se puede

escribir como4

L(4)(x)

=

-

T

1 gE2 (T

)

Ei2

-

1 T gM2 (T )

Bi2

,

(3.88)

con las siguientes constantes de acoplamiento cromoelŽectricas y cromomagnŽeticas

1 gE2 (T )

=

1 g2(”)

-

20(log(”/4T

)

+

E )

+

1 3(4)2

Nc + 8Nf

log

2

-

1 4

1 gM2 (T )

=

1 g2(”)

-

20(log(”/4T

)

+

E )

+

1 3(4)2

(-Nc

+

8Nf

log

2)

.

, (3.89)

El valor de gM2 (T ) coincide con [65] para Nc = 3. TambiŽen coincide con [55] (con Nf = 0) si se considera un factor adecuado dependiente de Nc entre la escala  usada en este artŽiculo y nuestra ”.
Podemos introducir los paraŽmetros tŽermicos  elŽectricos y magnŽeticos como [66]

1 gE2 ,M (T )

=

20

log(T /TE,M ) .

(3.90)

4Mediante un reescalamiento de la constante de acoplamiento g y de los campos gauge con factores de renormalizacioŽn convenientemente elegidos, se puede conseguir que L(4)(x) presente el mismo aspecto que el nivel Žarbol renormalizado a temperatura cero (ec. (3.66)). Es necesario considerar factores diferentes para la componente espacial y temporal de los campos: g  Zg-1/2g, Ai  ZM1/2Ai y A0  ZE1/2A0.

ZM

=

Zg

=

1

+

2g20(log(”/4T )

+

E )

-

g2 3(4)2

(-Nc

+

8Nf

log 2)

,

ZE

=

ZM

-

2g2 3(4)2

(Nc

-

Nf )

.

(3.86) (3.87)

3.7 Resultados en SU(2)

59

Estos paraŽmetros fijan la escala de ambas constantes de acoplamiento a temperatura alta. De ec. (3.89) se tiene

log(TE /MS)

=

E

-

log(4)

-

Nc

+ 8Nf (log 2 - 22Nc - 4Nf

1/4)

,

log(TM /MS)

=

E

-

log(4)

+

Nc - 8Nf log 22Nc - 4Nf

2

.

(3.91)

Los tŽerminos con dimensiŽon de masa seis proceden de L2(x) (desarrollando la funciŽon digamma hasta orden dos en ) y de L3(x) (a orden cero). Se obtiene5

L(6)(x)

=

-

2 15

 (3) (4)4T

3

2 3

Nc

-

14 3

Nf

F” FF” + (19Nc - 28Nf ) F”2”

+(18Nc - 21Nf ) F02” + (110Nc - 140Nf ) A20F”2 - (2Nc - 14Nf ) Ei2i

+(4Nc - 28Nf ) EiFijEj + 110 A20 F”2 + 220 A0F” 2 .

(3.94)

Este resultado coincide con el obtenido en [55], calculado en el sector gluoŽnico y con Nc arbitrario. El lagrangiano de dimensiŽon seis ha sido calculado asimismo en [49] para el
sector de quarks y en SU(3), en ausencia de campo cromomagnŽetico (Ai = 0) y eliminando tŽerminos con maŽs de dos derivadas espaciales (por ejemplo Ei2i). Nuestro cŽalculo reproduce tambiŽen este resultado. En esta misma referencia se hace el cŽalculo para el sector gluoŽnico,
y tanto nuestro resultado como el de [55] se muestran en desacuerdo con Žel.

3.7. Resultados en SU(2)

En las secciones precedentes hemos encontrado resultados generales, vaŽlidos para cualquier grupo gauge en el sector fermiŽonico (seccioŽn 3.2), y para SU(Nc) en el sector gluoŽnico (seccioŽn 3.3). Para el cŽalculo de las trazas en espacio de color es necesario particularizar nuestras fŽormulas a un grupo gauge concreto. Consideraremos aquŽi especŽificamente el grupo SU(2).
En esta secciŽon sŽolo mostraremos los Žordenes L0(x) y L2(x). Los resultados completos L0,2,3(x) en ambos sectores aparecen en el apŽendice C.

5Se ha hecho uso de las identidades siguientes:

tr X2 = 2Nc X2 , X  su(Nc) ,

(3.92)

tr X2Y 2 = 2Nc X2Y 2 + 2 X2 Y 2 + 4 XY 2 , X, Y  su(Nc) .

(3.93)

60

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

3.7.1. Traza en espacio de color

Usaremos como base de su(2) las matrices t = /2i, donde  son las matrices de Pauli.

A0

=

Aa0 ta

=

-

i 2



·

A0

,

F”

=

F”a ta

=

-

i 2



·

F”

,

...

(3.95)

En esta base

[ta, tb] = abctc ,

tr(tatb)

=

-

1 2

ab

.

(3.96)

En el gauge de Polyakov A0 es independiente del tiempo y diagonal en la representacioŽn

fundamental, de modo que resulta especialmente conveniente para nuestro cŽalculo. Para

SU(2), en este gauge tenemos

A0

=

-

i 2

3

,

=

Aa0Aa0 ,

(3.97)

de modo que los valores propios del loop de Polyakov en la representacioŽn fundamental  = exp(-A0) , son exp(±i/2) . En la representacioŽn adjunta

A0 = Aa0 Ta , (T a)bc = fbac = -abc

(3.98)

y de aquŽi se tiene que los valores propios del loop de Polyakov en la representacioŽn adjunta  = exp(-A0), son exp(±i) y 1.
Para el sector fermiŽonico, tras calcular la traza en el espacio de color, obtenemos

L0,q(x) =

22 3

T

4Nf

2 - 1 (1 - 42)2 15 4

,

L2,q(x) =

Nf 482

2 log

” 4T

-



(

1 2

+

)

-

(

1 2

-

)

-

1

Ei2

+

Nf 482

2 log

” 4T

-

(

1 2

+

)

-

(

1 2

-

)

Bi2 ,

donde

=

 4

+

1 2

(mod

1)

-

1 2

.

En el sector gluŽonico se obtiene

(3.99) (3.100) (3.101)

L0,g(x) =

2 3

T

4

-

1 5

+

42(1

-

 )2

,

(3.102)

L2,g(x)

=

-

11 482

2 log

” 4T

-

1 11

-

()

-

(1

-

)

Ei2

-

11 482

12 T 11 m

+

2 log

” 4T

-

1 11

+

E

-

1 2

(

)

-

1 2

(1

-

)

Ei2

-

11 482

2 log

” 4T

+

1 11

-

()

-

(1

-

)

Bi2

(3.103)

-

11 482

T m

+ 2 log

” 4T

+

1 11

+

E

-

1 2

(

)

-

1 2

(1

-

)

Bi2 ,

3.7 Resultados en SU(2)

61

4

3

2

1

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 3.1: Potencial efectivo a un loop para SU(2) como funciŽon de /2, en ausencia de
fermiones (lŽinea continua), con un fermiŽon sin masa (rayada) y con dos fermiones (puntos y rayas). Se ha graficado 124L0/2 y se ha eliminado el tŽermino constante.

donde



=

 2

(mod

1) .

(3.104)

Hemos hecho uso del esquema MS, y hemos considerado explŽicitamente un cutoff in-

frarrojo (ver sec. 3.5). Nuestros resultados son periŽodicos en . En estas expresiones se

ha hecho

la separacioŽn de los sectores

elŽectrico

y magnŽetico. Bi

=

1 2

ijk

Fj

k

es el campo

magnŽetico, y

Ei = Ei + Ei , Bi = Bi + Bi ,

(3.105)

es la descomposiciŽon de los campos elŽectrico y magnŽetico en la direccioŽn paralela y perpendicular a A0. Esta descomposiciŽon es invariante gauge, siempre y cuando se considere que, en un gauge general, la direcciŽon paralela es aquella que venga indicada por el loop de Polyakov (esto es, aquella que conmuta con el loop de Polyakov), y la perpendicular el resto. En la expresiŽon de L2,g(x) vemos que las componentes paralelas de los campos estŽan libres de divergencias infrarrojas. Solamente las componentes perpendiculares pueden presentar este tipo de divergencias.
En la figura 3.1 se muestra el comportamiento del potencial efectivo (orden cero del lagrangiano). Observamos que las periodicidades del sector fermiŽonico y del sector gluoŽnico se diferencian en un factor 2.
Los lagrangianos efectivos L2,q(x) y L2,g(x) presentan la siguiente estructura

L2,q(x) = -f1,q()Ei2 - f2,q()Ei2 - h1,q()Bi2 - h2,q()Bi2 , L2,g(x) = -f1,g()Ei2 - f2,g()Ei2 - h1,g()Bi2 - h2,g()Bi2 .

(3.106) (3.107)

Para el sector de quarks se tiene f1,q = f2,q  fq, h1,q = h2,q  hq.

62

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

500 400 300 200 100

-1

-0.5

-100

-200

0.5

1

Figura 3.2: GrŽafico de 962(f1,q + f1,g) como funciŽon de /2, en ausencia de fermiones (lŽinea continua), con dos fermiones sin masa (rayada) y con cuatro y ocho fermiones en orden sucesivo (puntos y rayas). Se han eliminado los tŽerminos constantes.

En la figura 3.2 aparece graficada la funciŽon f1,q() + f1,g(). Notar que f1,g() es singular en  = 0 lo cual es debido a la contribucioŽn del modo cero. El resto de funciones: f2,q() + f2,g() , h1,q() + h1,g() y h2,q() + h2,g(); presentan un comportamiento similar.

3.7.2. Invariancia gauge del resultado

DespuŽes de fijar el gauge de Polyakov (A0 diagonal e independiente del tiempo), auŽn queda una simetrŽia abeliana residual que consiste en rotaciones gauge arbitrarias independientes del tiempo sobre los generadores de Cartan (3 en el caso de SU(2)), y de una rotaciŽon gauge dependiente del tiempo (tambiŽen sobre los ejes de Cartan) que va a ser discreta para ser compatible con la periodicidad de Ai(x0, x) (ver apŽendice A). Para una teorŽia gauge pura SU(2) esta simetrŽia residual corresponde a la siguiente transformaciŽon

A”  U -1”U + U -1A”U ,

U (x0, x) = exp

-i

3 2

((x)

+

x02n/)

,

(3.108)

donde n es un entero. Notar que no podemos hacer rotaciones sobre un eje que no sea
el eje diagonal, ya que esto harŽia que A0 fuera no diagonal. La dependencia en el tiempo debe ser lineal, ya que en caso contrario se generarŽia una dependencia temporal en A0. La transformaciŽon gauge (3.108) verifica U(x0 + , x) = (-1)nU(x0, x). La fase (-1)n se debe a la simetrŽia del centro del grupo gauge, que es Z(2). En componentes esta transformaciŽon
es

A03(x) = A30(x) + 2n/ , Ai1(x0, x) = A1i cos  + A2i sin  , Ai2(x0, x) = -A1i sin  + A2i cos  , Ai3(x0, x) = A3i + i(x) ,

(3.109)

3.7 Resultados en SU(2)

63

donde (x0, x) = (x)+x02n/. Notar que la primera ecuaciŽon es equivalente a  = +n. En la figura 3.1 vemos que cuando no hay fermiones los mŽinimos absolutos del potencial
efectivo ocurren para valores enteros de /2, y todos ellos son transformaciones gauge de A0 = 0.
Se puede comprobar que las combinaciones de campos Ei2 , Ei2, Bi2 , y Bi2 quedan invariantes bajo la transformaciŽon (3.109). Por tanto el sector gluŽonico de la accioŽn efectiva es invariante gauge.
Al introducir fermiones en la teorŽia la situacioŽn se modifica ligeramente. En general hay maŽs transformaciones residuales permitidas en una teorŽia gauge pura SU(Nc) que en una teorŽia SU(Nc) con fermiones. Los fermiones rompen la simetrŽia del centro del grupo gauge, y la forma maŽs general de la transformaciŽon U en este caso es

U (x0, x) = exp

-i

3 2

((x)

+

x04

n/

)

,

(3.110)

que es un subgrupo de la anterior. Esta transformaciŽon produce  =  + n, lo cual respeta la periodicidad de todas las funciones (notar que (3.108) no respeta la periodicidad de las funciones L0,q(), fq() y hq()). Como funciŽon de x0, la transformaciŽon gauge (3.110) es estrictamente periŽodica en [0, ].
En la figura 3.1 se observa cŽomo la inclusiŽon de fermiones da lugar a la rotura de la simetrŽia Z(2). Esta rotura se manifiesta en que los puntos /2 = 2n + 1 dejan de ser mŽinimos absolutos del potencial efectivo y pasan a ser puntos estacionarios. Los mŽinimos absolutos /2 = 2n son transformaciones gauge (3.110) de A0 = 0.

3.7.3. ComparaciŽon con otros resultados
Podemos comparar nuestros resultados en SU(2) en el sector gluoŽnico con los que aparecen en [67], donde se calcula la accioŽn efectiva de una teorŽia de Yang-Mills SU(2) a altas temperaturas haciendo un desarrollo en derivadas covariantes. Este desarrollo es para configuraciones gauge estacionarias, es a todos los Žordenes en A0 y se calculan algunos tŽerminos con hasta cuatro derivadas espaciales. AquŽi hemos calculado uŽnicamente los oŽrdenes maŽs bajos en D0, pues asŽi es como estŽa construido el desarrollo del heat kernel, y nuestras configuraciones son generales (no necesariamente estŽaticas).
El resultado de ref. [67] presenta la estructura de L2,g en (3.107). Puesto que el nuestro no es estrictamente un desarrollo en A0 (el loop de Polyakov no se ha desarrollado, con objeto de preservar invariancia gauge), no es posible hacer una comparaciŽon directa con [67]. Sin embargo en nuestro tratamiento vemos que si la teorŽia fuera estacionaria, todos los tŽerminos de la forma (D0nF”) , n  1, serŽian cero, pues A0 es diagonal. Esto quiere decir que nuestras funciones f2,g y h2,g no reciben ninguna contribucioŽn adicional maŽs allŽa de L2,g. Estas funciones coinciden con las correspondientes de [67]. Por supuesto, el potencial efectivo es correcto a todos los Žordenes en A0.
Por otra parte nuestras funciones f1,g y h1,g contienen divergencias infrarrojas, mientras que en el cŽalculo de [67] sŽolo h1,g es divergente.

64

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

3.8. Resultados en SU(3)
En esta secciŽon consideraremos especŽificamente el grupo gauge SU(3). Calcularemos el lagrangiano efectivo hasta tŽerminos con dimensiŽon de masa 4.

3.8.1. Traza en espacio de color

Usaremos como base de su(3) las matrices ta = a/2i, donde a, a = 1, · · · , 8, son las matrices de Gell-Mann

A0

=

Aa0 ta

=

-

i 2

aAa0

,

F”

=

F”a ta

=

-

i 2

a

F”a

,

...

(3.111)

En esta base

[ta, tb] = fabctc ,

tr(tatb)

=

-

1 2

ab

.

(3.112)

Al igual que en la secciŽon 3.7, elegimos el gauge de Polyakov, de modo que A0 va a ser

diagonal en la representacioŽn fundamental,



A0

=

-i

3 2

3

-

i

3 2

88

.

(3.113)

Los valores propios del loop de Polyakov en esta representacioŽn son

1 = exp

i

 2

(3

+

8)

,

2 = exp

i

 2

(-3

+

8)

,

3 = exp (-i8) ,

(3.114)

y si definimos las magnitudes A mediante A = exp(i2A), A = 1, 2, 3, vamos a poder expresar el sector fermiŽonico del lagrangiano efectivo en tŽerminos de

1

=

 4

(3

+

8) ,

2

=

 4

(-3

+

8) ,

3

=

-

 2

8

.

Tras calcular la traza en el espacio de color, obtenemos

(3.115)

L0,q(x)

=

-

2T 4Nf 12

-

8 5

+

(1

-

4 21 )2

+

(1

-

4 22 )2

+

(1

-

4 23 )2

,

(3.116)

L2,q (x)

=

Nf 242

log

” 4T

-

1 2

Ei2

+

Nf 242

log

” 4T

Bi2

-

Nf 12(4)2

f -(1) + f -(2)

(F”1 )2 + (F”2 )2 + (F”3 )2

-

Nf 12(4)2

f -(1) + f -(3)

(F”4 )2 + (F”5 )2

-

Nf 12(4)2

f -(2) + f -(3)

(F”6 )2 + (F”7 )2

-

Nf 36(4)2

f -(1) + f -(2) + 4f -(3)

(F”8 )2

- Nf 6 3(4)2

f -(1) - f -(2)

F”3 F”8 ,

(3.117)

3.8 Resultados en SU(3)

65

donde

f -()

=

(

1 2

+

)

+

(

1 2

-

)

,

=



+

1 2

(mod

1)

-

1 2

.

(3.118)

Para el sector gluŽonico debemos calcular la traza en la representacioŽn adjunta. En esta

representacioŽn

 (A0)ab = (Ac0Tc)ab = -fabcAc0 = -fab33 - fab8 38 ,

(3.119)

donde hemos hecho uso de (T c)ab = facb = -fabc. De aquŽi se tiene que los valores propios del loop de Polyakov en la representacioŽn adjunta  = exp(-A0) son

1,

1,

exp (±i3) ,

exp

±i

 2

(3

+

38)

,

exp

±i

 2

(3

-

38)

.

(3.120)

El sector gluŽonico del lagrangiano efectivo se va a poder expresar en tŽerminos de los inva-

riantes

12

=

 2

3

,

31

=

 4

(3

+

38) ,

23

=

 4

(3

-

38) .

(3.121)

Una vez que se calcula la traza en el espacio de color, se obtiene

L0,g(x) =

4 3

2T

4

-

2 15

+

122(1

-

12)2

+

321(1

-

31)2

+

223(1

-

23)2

, (3.122)

L2,g (x)

=

-

1 (4)2

11 log

” 4T

-

1 2

Ei2

-

1 (4)2

11 log

” 4T

+

1 2

Bi2

-

T 4m

Ei2

+

11 12

Bi2

+

1 (4)2

11 12

f +(0)

+

f +(12)

+

1 2

f

+(31

)

+

1 2

f

+(23

)

(F”1 )2 + (F”2 )2

+

1 (4)2

11 12

f +(0)

+

1 2

f

+

(12)

+

f +(31)

+

1 2

f

+(23

)

(F”4 )2 + (F”5 )2

+

1 (4)2

11 12

f +(0)

+

1 2

f

+

(12)

+

1 2

f

+(31)

+

f +(23)

(F”6 )2 + (F”7 )2

+

1 (4)2

11 12

2f +(12)

+

1 2

f

+

(31)

+

1 2

f

+(23)

(F”3 )2

+

1 (4)2

11 8

f +(31) + f +(23)

(F”8 )2

+

1 (4)2

11 43

f +(31) - f +(23)

F”3 F”8 ,

(3.123)

donde

f +() = () + (1 - ) (  Z) ,  =  (mod 1) , f +(0) = -2E .

(3.124)

66

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

6 5 4 3 2 1

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 3.3: Potencial efectivo a un loop para SU(3) como funciŽon de . Se considera  = 0 y
se muestra el caso en que no hay fermiones (lŽinea continua), dos fermiones sin masa (puntos y rayas), y fermiones solamente (rayada). Se ha graficado 124L0/2 y se ha eliminado el tŽermino constante.

Al igual que hicimos en SU(2), podemos considerar la descomposicoŽn de los campos en la direcciŽon paralela y perpendicular a A0. La direcciŽon paralela F” da cuenta de las componentes 3 y 8. La direcciŽon perpendiculal F” da cuenta de las componentes 1, 2, 4, 5, 6 y 7. Notar que el subespacio paralelo estŽa libre de divergencias infrarrojas.
El nivel Žarbol renormalizado es

LŽarbol(x)

=

1 4g2(”)

F”2

.

(3.125)

En las fŽormulas hasta orden 4 en masa las componentes 1 y 2 juegan el mismo papel. Lo mismo ocurre con las componentes 4 y 5, y con las componentes 6 y 7. Hasta este orden, la estructura que encontramos es de cuatro planos bien definidos: el plano paralelo a A0, y tres planos transversales; esto es

L2,q(x) + L2,g(x) =

f12(3, 8)((Ei1)2 + (Ei2)2) + f45(3, 8)((Ei4)2 + (Ei5)2)

+ f67(3, 8)((Ei6)2 + (Ei7)2) + f33(3, 8)(Ei3)2 + f88(3, 8)(Ei8)2

+ f38(3, 8)(Ei3Ei8)

+ (misma estructura para BiBi) .

(3.126)

Se puede comprobar que, eligiendo los generadores del Žalgebra del grupo de manera conveniente, la estructura general que se obtiene para SU(Nc) en nuestro desarrollo hasta orden 4 es de un plano paralelo con Nc-1 componentes, y Nc(Nc-1)/2 planos transversales, cada uno de ellos formado por dos componentes. Las divergencias infrarrojas solamente van a afectar a estos uŽltimos.

3.8 Resultados en SU(3)

67

6 5 4 3 2 1

1

2

3

4

Figura 3.4: Potencial efectivo a un loop para SU(3) como en fig. 3.3, pero en la direccioŽn de 3. Se ha graficado como funciŽon de  y se considera  = 0.

3.8.2. Invariancia gauge del resultado

Con el fin de graficar las funciones definimos las magnitudes  y  como



=

 2

3

,



=

 2

8

.

(3.127)

En la figura 3.3 se muestra el potencial efectivo en la direcciŽon de 8. Cuando no hay fermiones los uŽnicos mŽinimos del potencial en esta direcciŽon ocurren en los puntos  = 2n/3 que son justamente transformaciones gauge de  = 0. En la figura 3.4 aparece el potencial efectivo en la direcciŽon de 3. Los mŽinimos absolutos son nuevamente transformaciones gauge de  = 0, pero aparecen ademaŽs mŽinimos locales en  = 2n + 1. En una graŽfica del potencial efectivo en dos dimensiones (figura 3.5) se puede observar que estos mŽinimos locales en realidad son craŽteres que caen hacia mŽinimos absolutos en (, ) = (2n + 1, 1/3). En todos estos mŽinimos la matriz  = exp(-A0) tiene los mismos valores propios, de modo que todos ellos son transformaciones gauge de  = 1.
Como se comenta en el apŽendice A la introduccioŽn de fermiones rompe la simetrŽia del centro del grupo gauge. La rotura de esta simetrŽia se manifiesta en la aparicioŽn de mŽinimos locales. En la figura 3.3 podemos observar que el mŽinimo absoluto en  = 2/3 para la teorŽia sin fermiones se transforma, con la inclusiŽon de Žestos, en un mŽinimo local. Esto es asŽi ya que el mŽinimo absoluto de la parte gauge del potencial efectivo coincide con el maŽximo de la parte fermiŽonica. En general, como podemos observar en las figuras 3.5 y 3.6, cada mŽinimo local de la teorŽia gauge con fermiones se corresponde exactamente con un mŽinimo absoluto de la teorŽia gauge pura. Con el fin de ilustrar el comportamiento de las funciones que aparecen en L2, en la figura 3.7 se muestra la funciŽon f45 en la direccioŽn de 8. La parte bosoŽnica de la funciŽon presenta singularidades en  = 2n/3 lo cual es debido a la contribucioŽn del modo cero. El comportamiento en la direcciŽon de 3 es parecido al de la figura 3.2.

68

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

Figura 3.5: GrŽafico de contorno del potencial efectivo a un loop para SU(3) como funciŽon de  (eje horizontal) y  (eje vertical) para una teorŽia gauge pura.
3.8.3. ComparaciŽon con otros resultados
En [68], al igual que en [55], se calcula la accioŽn efectiva a un loop de una teorŽia de YangMills SU(Nc) haciendo un desarrollo en derivadas covariantes. El resultado no es covariante gauge pues se considera un desarrollo en potencias de A0(x). Como consecuencia de ello el potencial efectivo que se obtiene no es periŽodico y sŽolo se aproxima al exacto cuando A0  0. De todas formas en [68] se considera el potencial efectivo exacto, que es conocido y ha sido calculado por nosotros, y se hace un estudio en el caso especŽifico de una teorŽia gauge SU(3) incluyendo fermiones. Hemos comprobado que sus resultados coinciden con los nuestros.

3.9. Conclusiones
En este capŽitulo se ha hecho un estudio de la accioŽn efectiva de QCD a un loop a temperatura finita en la regioŽn de interŽes fenomenolŽogico correspondiente a la fase de plasma de quarks y gluones. Para tal fin hemos usado la tŽecnica del heat kernel del capŽitulo 2, que nos ha permitido calcular el determinante fermiŽonico y el determinante bosoŽnico correspondiente a fluctuaciones gluoŽnicas cuaŽnticas en torno a un background claŽsico (es el conocido como MŽetodo del Campo de Fondo).
El desarrollo del heat kernel se corresponde en este caso con un desarrollo en derivadas, organizado de un modo muy eficiente. Hemos conseguido reproducir resultados parciales

3.9 Conclusiones

69

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

Figura 3.6: Igual que fig. 3.5, pero con dos fermiones sin masa.

1000 750 500 250

-1

-0.5

-250

-500

-750

-1000

0.5

1

Figura 3.7: GrŽafico de -962f45 como funciŽon de . Se considera  = 0 y se muestra el caso en que no hay fermiones (lŽinea continua), un fermiŽon sin masa (rayada), y ocho fermiones (puntos y rayas). Se han eliminado los tŽerminos constantes y ciertas divergencias que surgen al tomar  = 0.

70

CapŽitulo 3: AccioŽn efectiva de QCD a temperatura alta

previos, y extenderlos hasta orden T -2 incluyendo los efectos del loop de Polyakov, para un grupo gauge general SU(Nc). Se ha calculado la accioŽn de la teorŽia efectiva dimensionalmente reducida hasta ese mismo orden. Finalmente se han particularizado las foŽrmulas para los grupos gauge SU(2) y SU(3), lo cual ha permitido comparar con trabajos previos.
Un punto de especial relevancia es la invariancia gauge de nuestros resultados. Hemos estudiado la invariancia frente a la simetrŽia del centro Z(Nc) del grupo gauge SU(Nc) en la teorŽia sin fermiones, y se ha estudiado explŽicitamente el mecanismo por el cual los fermiones rompen esta simetrŽia del centro.

CapŽitulo 4
Efectos no perturbativos por encima de la transicioŽn de fase
4.1. IntroducciŽon
El loop de Polyakov juega un papel teoŽrico muy importante en QCD a temperatura finita. Representa el propagador de un quark estŽatico test y por tanto es crucial para entender el mecanismo de la transiciŽon confinamiento-desconfinamiento. En [69, 70] se encuentra su relacioŽn con la energŽia libre de un quark pesado, de tal modo que un valor esperado nulo del loop de Polyakov en quenched QCD indica la fase de confinamiento. La simetrŽia global Z(Nc) se encuentra espontŽaneamente rota en la fase de desconfinamiento [71]. El loop de Polyakov constituye un paraŽmetro de orden natural para esa transiciŽon de fase; bajo transformaciones de gauge periŽodicas L es un objeto invariante, pero bajo una transformaciŽon de 't Hooft adquiere un factor, que es un elemento del centro del grupo gauge. Diversas teorŽias efectivas para el loop de Polyakov han sido propuestas en [72]. (Para un anŽalisis detallado ver, por ejemplo, [20]).
Al comienzo de los an~os ochenta, el cŽalculo perturbativo del loop de Polyakov hasta segundo orden (NLO) fue hecho por Gava y Jengo [23]. Estos resultados muestran que a temperaturas suficientemente grandes el loop de Polyakov renormalizado se aproxima a uno por encima.1 No se han hecho muchos progresos desde este primer resultado. Actualmente no existen cŽalculos perturbativos del loop de Polyakov maŽs allŽa de NLO. Tal y como se menciona en [23], un cŽalculo directo conducirŽia a la aparicioŽn de un gran nuŽmero de diagramas de Feynman debido a las divergencias infrarrojas [73]. En este capŽitulo discutiremos una aproximaciŽon diferente, relacionada con la tŽecnica de reduccioŽn dimensional.
Desde el punto de vista no perturbativo, el loop de Polyakov desnudo ha sido frecuentemente estudiado en cŽalculos numŽericos de teorŽias gauge en el retŽiculo. No obstante, sŽolo recientemente se ha conseguido una definicioŽn conveniente del loop de Polyakov renormalizado. El mŽetodo introducido en ref. [21] para QCD quenched permite calcular el loop de Polyakov a partir del potencial quark-antiquark a temperatura finita, obtenido de la fun-
1El valor esperado del loop de Polyakov desnudo se anula en el lŽimite al continuo en cualquier fase.
71

72

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

ciŽon de correlacioŽn de dos loops de Polyakov separados. La comparaciŽon con el potencial a temperatura cero para separaciones pequen~as permite una determinacioŽn muy precisa de la autoenergŽia del quark, que debe ser extraŽida.
Las temperaturas grandes estŽan relacionadas con regiones cinemŽaticas donde se manifiesta la rotura de la simetrŽia Lorentz, y se corresponden con momentos euclŽideos grandes para una teorŽia cuaŽntica de campos a temperatura cero. En regularizacioŽn dimensional en el esquema MS se encuentra que a una temperatura dada T le corresponde una escala euclŽidea ”  4T [66], de modo que para Tc = 270 MeV se tiene ” = 3 GeV. En este rŽegimen es de esperar que las ideas del desarrollo en producto de operadores (en inglŽes Operator Product Expansion, OPE) se puedan aplicar, y maŽs especŽificamente a temperaturas no tan grandes los condensados y las correcciones en potencias de la temperatura deberŽian de jugar un papel importante. En realidad, siguiendo algunas sugerencias antiguas [74], requisitos fenomenolŽogicos [75], estudios teoŽricos [76] y anŽalisis en el retŽiculo [77, 78, 79] hay actualmente una evidencia creciente de que el condensado invariante BRST de orden maŽs bajo es de dimensiŽon 2. Este condensado es en general no local, pero en el gauge de Landau se convierte en un operador local A2”,a , donde A”,a es el campo del gluoŽn. El condensado A20,a tambiŽen aparece como un paraŽmetro en el cŽalculo de la presioŽn a temperatura finita [80].
El loop de Polyakov estŽa estrechamente relacionado con el valor esperado de A20,a (como veremos, el resultado perturbativo a NLO se puede obtener de esta manera), de modo que las contribuciones del condensado a esta magnitud tendraŽn un impacto inmediato sobre el loop de Polyakov. En este capŽitulo estudiaremos la existencia de contribuciones no perturbativas a este condensado gluŽonico. La situacioŽn es similar a lo que ocurre con el potencial quark-antiquark en QCD a temperatura cero, como funciŽon de la separacioŽn del quark y el antiquark. En esta caso, la teorŽia de perturbaciones describe bien la regioŽn de cortas distancias, donde la teorŽia es dŽebilmente interactuante y el intercambio de un gluŽon produce un potencial tipo Coulomb. A distancias grandes surge el confinamiento y los datos del retŽiculo sugieren un potencial de tipo lineal [81].
En la secciŽon 4.4 se analizaraŽn los datos en el retŽiculo del loop de Polyakov en base a estas ideas.
Este capŽitulo estŽa basado en las referencias [82, 83].

4.2. Loop de Polyakov perturbativo
Con objeto de incluir posteriormente posibles contribuciones provenientes de condensados, trataremos de reproducir en esta secciŽon el resultado perturbativo a orden maŽs bajo para el loop de Polyakov mendiante la tŽecnica de reduccioŽn dimensional. AdemaŽs, esto nos permitiraŽ discutir algunas propiedades de las contribuciones perturbativas de orden superior.

4.2 Loop de Polyakov perturbativo

73

4.2.1. Resultados perturbativos

El (valor esperado del) loop de Polyakov se define como

L(T ) =

1 Nc

trc

T

eig

1/T 0

dx0 A0 (x,x0 )

,

(4.1)

donde indica valor esperado en el vacŽio, trc es la traza de color (en representacioŽn fundamental), y T indica ordenacioŽn a lo largo del camino de integracioŽn. A0 es la componente temporal del campo gluŽonico (en tiempo euclŽideo). El campo gauge A0(x) es un elemento del Žalgebra de Lie de SU(Nc), y puede ser representado como A0 = a TaA0,a, donde Ta son los generadores hermŽiticos del Žalgebra de Lie de SU(Nc) en la representacioŽn fundamental. En lo sucesivo consideraremos la normalizacioŽn estŽandar tr(TaTb) = ab/2.
Al ser un operador compuesto, el loop de Polyakov es subceptible de ser renormalizado.
En refs. [84, 85, 86, 87] se estudia la renormalizabilidad del loop de Polyakov en el contexto
de teorŽia de perturbaciones, donde se muestra el hecho de que se puede renormalizar
perturbativamente, sin mezcla con otros operadores. El cŽalculo perturbativo de L(T ) en
gluodinŽamica pura a temperaturas altas fue realizado a comienzos de los an~os ochenta
por Gava y Jengo [23]. Tras incluir efectos de polarizacioŽn de vacŽio a temperatura finita
a travŽes de la inserciŽon de la masa de Debye, el tŽermino de orden maŽs bajo resulta ser el O(g3), en lugar del que en un principio cabrŽia esperar O(g2). Este cŽalculo se hizo en el gauge de Landau hasta NLO (O(g4)). El resulado es

L(T )

=

1

+

1 16

Nc2 - Nc

1

g

2

mD T

+

Nc2 - 322

1

g4

log

mD 2T

+

3 4

+ O(g5) .

(4.2)

Este resultado es muy antiguo, y hoy en dŽia no se dispone de cŽalculos a oŽrdenes superiores. La masa de Debye mD controla el apantallamiento de los modos cromoelŽectricos en el plasma, y a un loop se escribe [63]

mD = gT (Nc/3 + Nf /6)1/2 .

(4.3)

La dependencia en temperatura de la constante de acoplamiento g se obtiene del anŽalisis estŽandar del grupo de renormalizaciŽon, y es de esperar que (4.2) constituya una buena aproximaciŽon a temperatura suficientemente alta. Notemos que L(T ) se hace mayor que 1, lo cual implica que el loop de Polyakov renormalizado no es una matriz unimodular.

4.2.2. ReducciŽon dimensional

En la secciŽon 3.6 se obtuvo la accioŽn de la teorŽia efectiva dimensionalmente reducida
de QCD a un loop y en el gauge de Landau. Esta teorŽia queda descrita por la accioŽn tridimensional d3xL3(x) [44, 55, 65, 66], donde

T L3(x)

=

m2D tr(A20 )

+

g4(”) 42

(tr(A20

))2

+

g4(”) 122

(Nc

-

Nf )tr(A40)

+

g2(”) gE2 (T )

tr([Di,

A0]2)

+

g2(”) gM2 (T )

1 2

tr(Fi2j

)

+

T L3

.

(4.4)

74

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

g(”) es la constante de acoplamiento de QCD en el esquema MS (usada tambiŽen en la fŽormula del loop de Polyakov (4.2) y en la masa de Debye (4.3))

1 g2(”)

=

20 log(”/MS) ,

0 = (11Nc/3 - 2Nf /3)/(4)2

(4.5)

y las constantes de acoplamiento cromoelŽectricas y cromomagnŽeticas vienen dadas por

ec. (3.89). El tŽermino restante L3 es no renormalizable y contiene operadores de dimensiŽon 6 o mayores (ver ec. (3.94)). AdemaŽs existen tŽerminos que contribuyen maŽs allŽa de

un loop y tŽerminos constantes (indenpendientes de los campos) que son relevantes para el

cŽalculo de la presiŽon.

Para obtener el loop de Polyakov a orden maŽs bajo necesitaremos uŽnicamente los tŽermi-

nos de masa y de energŽia cinŽetica del campo A0 (tŽerminos primero y cuarto respectivamente en ec. (4.4)). Para simplificar la notaciŽon, en el resto del capŽitulo trabajaremos con un cam-

po A0 reescalado

A0(x)

=

g(”) gE(T )

AM0 S

(x)

,

(4.6)

donde AM0 S es el campo gluŽonico que aparece en fŽormulas previas. A todos los efectos, el uso de la masa de Debye y la fŽormula del loop de Polyakov ec. (4.1) que depende del producto
de gA0, es equivalente al uso del nuevo campo A0 junto con gE(T ) como constante de acoplamiento. A partir de ahora denotaremos esta constante como g(T ) o simplemente g,

L3(x)

=

m2D T

tr(A20)

+

1 T

tr([Di,

A0]2)

+

·

·

·

,

1 g2(T )

=

20 log(T /E) ,

(4.7)

con

E

=

MS 4

exp

E

-

Nc

+ 8Nf (log 2 - 22Nc - 4Nf

1/4)

.

(4.8)

En el cŽalculo de la presiŽon de QCD se puede fijar el gauge de cualquier forma para integrar los modos no estacionarios. Por esta razŽon se suelen utilizar los gauges covariantes, pues los cŽalculos resultan maŽs fŽaciles en estos gauges. Para el loop de Polyakov la situacioŽn es diferente, pues los gauges estŽaticos resultan maŽs convenientes [63]. Tal y como se muestra en el apŽendice A, un gauge estŽatico es aquel en el que 0A0 = 0, y no implica pŽerdida de generalidad ya que este gauge siempre existe. En el gauge estŽatico la ec. (4.1) se escribe

L(T ) = 1 tr eigA0(x)/T . Nc

(4.9)

Notar que L uŽnicamente depende de los modos estacionarios de A0, de modo que si integramos los modos no estacionarios no existiraŽ pŽerdida de informaciŽon en el loop de Polyakov.
El modo estacionario A0(x) coincide con el logaritmo de loop de Polyakov uŽnicamente en el gauge estŽatico. Por desgracia, el resultado perturbativo de L3(x), ec. (4.7), sŽolo se conoce

4.2 Loop de Polyakov perturbativo

75

en los gauges covariantes. Por tanto, en un gauge covariante la accioŽn efectiva de los modos estacionarios resulta insuficiente para obtener los valores esperados del loop de Polyakov. El uso del modo estacionario en (4.9) equivale a eliminar el operador de ordenacioŽn a lo largo del camino de integracioŽn T en la definicioŽn del loop de Polyakov (4.1), dando lugar a una dependencia en el gauge. No obstante, como mostraremos en la subseccioŽn siguiente, la dependencia en el gauge uŽnicamente afectarŽa maŽs allŽa de NLO, y seremos capaces de reproducir los dos tŽerminos de (4.2) mediante el uso de las fŽormulas de [60] para la densidad de energŽia de vacŽio.
Si hacemos un desarrollo en serie de L(T ) en ec. (4.9), se obtiene

L(T )

=

1

-

g2 2T 2

1 Nc

tr(A20)

+

g4 24T 4

1 Nc

tr(A40)

+··· .

(4.10)

En esta fŽormula hemos usado que tr(A0) es cero. Es de esperar que el resto de oŽrdenes impares en el campo gluŽonico se anulen debido a la simetrŽia de conjugaciŽon de QCD, A”(x)  -AT” (x). La contribucioŽn de orden maŽs bajo tr(A20) tiene dimensiones de masa al cuadrado, de modo que esta contribucioŽn no existirŽia en un cŽalculo a temperatura cero. A temperatura finita debe de escalar como T 2 (mŽodulo correcciones radiativas con una dŽebil
dependencia en T , que incluyen el running de la constante de acoplamiento y dimensiones
anŽomalas).
Sea D00(k)ab la componente temporal del propagador en espacio de momentos para los campos gauge normalizados canoŽnicamente T -1/2A0,a(x). Integrando el propagador obtenemos el valor esperado de los campos

A20,a = (Nc2 - 1)T

d3k (2)3

D00

(k)

.

(4.11)

A orden maŽs bajo en teorŽia de perturbaciones, el propagador se escribe

D0P0ert(k)

=

k2

1 + m2D

.

(4.12)

Si introducimos (4.12) en (4.11) obtenemos la contribucioŽn perturbativa de orden maŽs bajo

para el condensado gluŽonico de dimensiŽon dos (hacemos uso de las reglas de regularizacioŽn

dimensional)

A20,a

Pert

=

-(Nc2

-

1)

T mD 4

.

(4.13)

Este resultado introducido en ec. (4.10) (y usando que tr(A20) = A20,a/2) reproduce el valor perturbativo de L(T ) hasta orden O(g3).

En la figura 4.1 se compara el valor perturbativo de L(T ) en ec. (4.2) con datos del

retŽiculo obtenidos recientemente en gluodinŽamica pura y Nc = 3 [21]. Podemos observar

que en la regioŽn de temperatura alta, T proŽximo a 6Tc, los valores del retŽiculo para L(T ) son mayores que 1, tal y como predice el cŽalculo perturbativo. AdemaŽs el valor numŽerico

en esta regioŽn es consistente con teorŽia de perturbaciones. Este acuerdo desaparece rŽapi-

damente a medida que nos aproximamos a la temperatura crŽitica: los datos del retŽiculo

76

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

L(T)

1.4

LO

NLO

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

NNff==00,,NN==48,,

Ref.[21] Ref.[21]

0

1

2

3

4

5

6

7

T/Tc

Figura 4.1: Dependencia en temperatura del loop de Polyakov renormalizado en gluodinŽamica (Nc = 3). Los datos en el retŽiculo son de ref. [21]. Para comparar, se muestran los resultados perturbativos LO y NLO de ec. (4.2). La curva es un ajuste del paraŽmetro b en ec. (4.32) con los datos del retŽiculo.

decrecen hasta producir una transiciŽon de fase (en este caso de primer orden), mientras que la curva perturbativa crece ligeramente. Como es de esperar, el resultado perturbativo es lentamente variable con la temperatura, pues esta variaciŽon procede de correcciones radiativas logarŽitmicas.

4.2.3. Resultados perturbativos a Žordenes superiores

En la secciŽon (4.2.2) discutimos la tŽecnica de reduccioŽn dimensional y llegamos a obtener el valor perturbativo de L(T ) a orden maŽs bajo en teorŽia de perturbaciones O(g3). En este apartado vamos a hacer una discusioŽn de las contribuciones de Žordenes superiores al loop de Polyakov.
El lagrangiano renormalizable tridimensional tiene la siguiente estructura

Lr3en(x)

=

1 2

tr(Fi2j

)

+

tr([Di,

A0]2)

+

m23tr(A20)

+

1(tr(A20))2

+

2tr(A40)

,

Di = i - ig3Ai .

(4.14)

con A”  T -1/2A”, m3  gT , g3  T 1/2g, y 1  2  g4T . Para Nc = 2 y Nc = 3 el tŽermino 2 es redundante y podemos considerar 2 = 0.
La densidad de energŽia de vacŽio de esta teorŽia, (g3, m3, 1), ha sido calculada hasta cuatro loops en [60], con g3, m3 y 1 como paraŽmetros independientes. Esto permite calcular los condensados A20 y A40 tomando derivadas de  con respecto a m23 y 1 respectivamente, lo cual va a permitir obtener sucesivos Žordenes perturbativos del loop de Polyakov mediante
ec. (4.10).

4.2 Loop de Polyakov perturbativo

77

La estructura general de la densidad de energŽia de vacŽio es [60]

-1

(g3, m3, 1) =

fk m43-g32k1-k-1 ,

1 k=0

(4.15)

donde  indica el nuŽmero de loops y los coeficientes fk dependen logarŽitmicamente de m3. Para las magnitudes que aparecen en (4.10) se tiene

g2 T2

tr(A20)

g4 T4

tr(A40)



g2 (g3, m3, 1)

T

m23



1

3
gn ,
n=+2



g4 T2

(g3, m3, 1) 1



2

3
gn .
n=+4

(4.16)

Teniendo en cuenta que en ref. [60] se calcula la densidad de energŽia de vacŽio hasta 4 loops, la primera contribucioŽn a L(T ) que no se tendrŽia en cuenta serŽia O(g7), correspondiente a  = 5 en el tŽermino tr(A20) . La contribucioŽn de orden maŽs bajo de tr(A40) a 5 loops es O(g9), y la primera contribucioŽn de tr(A60) , no disponible en el cŽalculo, comenzarŽia en O(g9) a 3 loops. Esto quiere decir que en principio, con el resultado de [60] se podrŽia extender el resultado perturbativo de L(T ) hasta O(g6). Desafortunadamente las relaciones
que conectan los paraŽmetros de la teorŽia dimensionalmente reducida m3, g3 y 1 con los correspondientes de QCD en cuatro dimensiones solamente se conocen en gauges covarian-
tes, para los cuales la relacioŽn (4.9) no se cumple. En particular, la razoŽn g(”)/gE(T ) tiene una dependencia en el gauge que comienza en O(g2) para las contribuciones de dos loops, lo cual darŽia lugar a una dependencia en el gauge a O(g5) en L(T ).
DeberŽiamos estudiar asimismo la contribucioŽn de los tŽerminos no renormalizables L3. Los tŽerminos de orden maŽs bajo de ese tipo son [44, 55]

L3

=

g T

2 2

tr([Di

,

F”

]2)

+

g3 T 3/2

tr(F”3

)

+

g4 T

tr(A20

F”2

)

.

(4.17)

Si tenemos en cuenta la relacioŽn efectiva Di  gT , el primer tŽermino corresponde a una correcciŽon O(g4) en la energŽia cinŽetica, de modo que comenzarŽa a contribuir a O(g7) como

una correcciŽon del LO en L(T ). Los otros tŽerminos son de orden superior.

Teniendo en cuenta las relaciones (4.16) y la ecuaciŽon (4.10), reproducimos el tŽermino de orden O(g4) que aparece en el resultado de Gava y Jengo, ec. (4.2). Encontramos asimismo la siguiente contribucioŽn de orden O(g5) en L(T )

O(g5)

=

(Nc2 - 1)g4T mD 3843

-

m2D (gT )2

(9Q

+

3cm

+

4Nf

+

2Nc(6

-

7))

+ Nc2 (89 + 42 - 44 log 2) , 4

(4.18)

donde

Q

=

22 3

Nc

log

” ”T

-

4 3

Nf

log

4” ”T

,

cm

=

10Nc2

+ 2Nf2 6Nc +

+ 9Nf /Nc 3Nf

,

(4.19)

78

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

y ”T = 4e-E T es la escala tŽermica estŽandar que surge en la reduccioŽn dimensional perturbativa en el esquema MS. mD viene dada por ec. (4.3).  es un paraŽmetro que depende del gauge.
Si bien los tŽerminos O(g5) + O(g6) tienen una dependencia en el gauge, numŽericamente se observa que no producen una contribucioŽn sustancial a L(T ), pues son cualitativamente y cuantitativamente similares a los obtenidos en [23]. Nuevamente la naturaleza radiativa de estos tŽerminos perturbativos produce una dependencia logarŽitmica en temperatura que es muy plana.
Encontramos que teorŽia de perturbaciones resulta ser incapaz de explicar el comportamiento que se observa en el retŽiculo del loop de Polyakov en el rŽegimen Tc < T < 6Tc (ver figura 4.1), y este hecho refuerza la necesidad de incluir en el cŽalculo efectos no perturbativos.

4.2.4. Ansatz gaussiano

Con objeto de simplificar el tratamiento, consideraremos que en la fase de desconfi-
namiento el campo A0(x) se encuentra suficientemente bien descrito por una distribucioŽn gaussiana. En este caso, todos los valores esperados conexos de A0 maŽs allŽa de A20 se anulan, y haciendo uso del desarrollo estŽandar en cumulantes, se encuentra

L = exp

-

g2 A20,a 4NcT 2

(4.20)

de modo que2

A20,a

Pert

=

-

Nc2 - 4

1

mD

T

-

Nc

(Nc2 8

-
2

1)

g

2

T

2

log

mD 2T

+

3 4

+ O(g3) .

(4.21)

De (4.16) se observa que la contribucioŽn a L(T ) proveniente de A40 comienza en O(g6), de modo que el ansatz gaussiano serŽa vaŽlido hasta orden O(g5) a temperatura suficientemente alta, donde la teorŽia se convierte en dŽebilmente interactuante debido a la propiedad de libertad asintŽotica. Es exacto en el lŽimite de Nc grande ya que los valores esperados conexos de Žordenes mayores se encuentran suprimidos por potencias de 1/Nc. A20,a escala como Nc2 - 1, de modo que L tiene un lŽimite bien definido para Nc  , con la prescripcioŽn estŽandar de mantener fijo g2Nc.
Los cŽalculos en el retŽiculo muestran una distribuciŽon gaussiana para el loop de Polyakov [88]. El ansatz gaussiano es equivalente a desarrollar la exponencial en ec. (4.9), promediar sobre grados de libertad de color y finalmente hacer uso de la hipoŽtesis de saturacioŽn de vacŽio ( A20k = (2k - 1)!! A20 k), usada habitualmente en las reglas de suma de QCD a temperatura cero. En este contexto el loop de Wilson fue discutido en ref. [89] mediante el uso del condensado gluŽonico estŽandar de dimensiŽon 4, dando como resultado un tŽermino
2Esta fŽormula es vŽalida tambiŽen para la teorŽia unquenched, puesto que hasta este orden Nf uŽnicamente aparece a travŽes de la masa de Debye.

4.3 Contribuciones no perturbativas en el loop de Polyakov

79

proporcional al cuadrado del Žarea del contorno para contornos pequen~os. El problema fue discutido nuevamente en ref. [90] en el contexto de condensados de dimensiŽon 2, dando lugar a una ley proporcional al Žarea. Esto se muestra de acuerdo con la observaciŽon de ref. [75] de que los condensados de dimensiŽon 2 podrŽian considerarse de manera efectiva como masas gluŽonicas taquiŽonicas, lo cual proporciona el comportamiento a cortas distancias de las fuerzas que son confinantes a distancias grandes.

4.3. Contribuciones no perturbativas en el loop de Polyakov

En la secciŽon 4.2 de este capŽitulo hemos hecho un estudio de las contribuciones pertur-
bativas para el loop de Polyakov, y encontramos que teorŽia de perturbaciones reproduce
uŽnicamente los datos del retŽiculo a temperaturas suficientemente altas (T  6Tc). Este hecho aparece ilustrado en la figura 4.1.
Nuestra motivaciŽon para dar cuenta de las contribuciones no perturbativas puede en-
tenderse bien si se muestra la analogŽia que existe con el potencial quark-antiquark a tem-
peratura cero en QCD quenched. Este potencial se puede obtener a partir de la funciŽon
de correlacioŽn de dos lŽineas de Wilson. El rŽegimen perturbativo del potencial VqŻq(r) es el correspondiente a separaciones pequen~as, donde el potencial es aproximadamente coulom-
biano. Para separaciones del orden de 1/QCD (no existe otra escala en gluodinaŽmica) surge un tŽermino lineal confinante que comienza a ser dominante [81]. Estas dos contribuciones
del potencial evolucionan bajo el grupo de renormalizaciŽon siguiendo una ley logarŽitmica.
Por tanto, moŽdulo correcciones radiativas, rVqŻq(r) estŽa formado por una parte perturbativa que es constante y por un tŽermino del tipo QCD r2 que es no perturbativo. De manera anŽaloga, a temperaturas grandes podemos considerar el comportamiento de la magnitud adimensional tr(A20) /T 2, que tambiŽen estŽa directamente relacionada con la funciŽon de correlacioŽn de dos lŽineas de Wilson tŽermicas. El anŽalogo de la escala r en el caso anterior es aquŽi la escala 1/T , y por suspuesto para T grande la magnitud tr(A20) /T 2 es perturbativa y plana (mŽodulo una dependencia logarŽitmica). A temperaturas no tan grandes habrŽia
que considerar la posibilidad de que surjan tŽerminos no perturbativos en potencias del tipo 2QCD/T 2.
Con objeto de dar cuenta de contribuciones no perturbativas provenientes de conden-
sados gluŽonicos, consideraremos en el propagador D00(k) nuevos tŽerminos fenomenoloŽgicos con paraŽmetros dimensionales positivos. En concreto

D00(k) = D0P0ert(k) + D0N0o Pert(k) ,

(4.22)

con el tŽermino no perturbativo

D0N0o

Pert(k)

=

(k2

m2G + m2D)2

.

(4.23)

Este ansatz es equivalente al que se realiza a temperatura cero en presencia de condensados

[74, 75]. Si introducimos ec. (4.23) en ec. (4.11), podemos ver que este tŽermino nuevo genera

80

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

una contribucioŽn no perturbativa para el condensado:

A20,a

No Pert

=

(Nc2 - 1)T m2G 8mD

.

(4.24)

Si suponemos que el paraŽmetro mG es independiente de la temperatura (salvo correcciones radiativas), el condensado serŽa asimismo T-independiente (mŽodulo esas mismas correccio-

nes radiativas). En tŽerminos del condensado, la contribucioŽn no perturbativa al propagador

se escribe

D0N0o Pert(k)

=

8 mD Nc2 - 1 T

A20,a No Pert (k2 + m2D)2

.

(4.25)

Notar que un condensado positivo A20,a No Pert indica lo que serŽia una masa gluoŽnica taquioŽnica -m2G, al igual que en ref. [75].
Si hacemos uso del ansatz gaussiano, ec. (4.20), y sumamos las contribuciones perturbativa y no perturbativa de A20,a , se obtiene

- 2 log L =

g2 A20,a Pert 2NcT 2

+

g2

A20,a No Pert 2NcT 2

.

(4.26)

El hecho de que A20,a Pert escale como T 2 mientras que A20,a No Pert sea independiente de la temperatura (mŽodulo correcciones radiativas), sugiere que la fŽormula anterior se pueda
reescribir de la siguiente forma

- 2 log L = a + b

Tc T

2
,

(4.27)

donde se espera que los paraŽmetros a y b tengan una dependencia dŽebil en temperatura. Esta fŽormula muestra que la contribucioŽn no perturbativa da lugar a una dependencia en temperatura que sigue una ley de potencia, la cual no estŽa presente en los cŽalculos perturbativos.

4.4. ComparacioŽn con datos del retŽiculo

Recientemente se han desarrollado diferentes mŽetodos para renormalizar el loop de Polyakov en el retŽiculo. Por supuesto, estos cŽalculos son completamente no perturbativos. Uno de los procedimientos de renormalizaciŽon se basa en el cŽalculo de funciones de correlacioŽn singlete y octete a temperatura finita de una pareja de quark y antiquark pesados [21, 22]

e-F1(x,T )/T +C(T )

=

1 Nc

Tr desn(x) desn(0)

,

(4.28)

e-F8(x,T )/T +C(T )

=

1 Nc2 - 1

Tr desn(x) Tr desn(0)

-

1 Nc(Nc2

-

1)

Tr desn(x) desn(0)

.

4.4 ComparaciŽon con datos del retŽiculo

81

-2log(L)

2

1.5

Nf=0, Nf=0,

NN==48,,

Ref.[21] Ref.[21]

N=4

1

a + b(Tc/T)2

N=8

0.5

0

LO

NLO

-0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Tc/T)2

Figura 4.2: Logaritmo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinaŽmica (Nc = 3) frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la temperatura de transiciŽon de fase. Los datos del retŽiculo son de ref. [21]. En los ajustes se usa ec. (4.27) con a y b como paraŽmetros libres, y datos del retŽiculo por encima de 1,03 Tc para N = 4 y N = 8. Para comparar, se muestran los resultados perturbativos LO y NLO para Nf = 0.

En estas fŽormulas desn(x) indica el operador loop de Polyakov desnudo (sin renormalizar) localizado en el punto x. Los dos loops de Polyakov se renormalizan mediante la extraccioŽn de la autoenergŽia del quark (que es dependiente de T , pero independiente de la separacioŽn), de tal modo que se reproduzca a pequen~as distancias el potencial quark-antiquark estŽandar a temperatura cero. El valor esperado del loop de Polyakov se obtiene considerando en las fŽormulas anteriores el lŽimite de separacioŽn grande. Si R(x) denota el loop de Polyakov renormalizado en el punto x,

1 Nc

Tr R(x) R(0)

= 1 e-C(T ) Tr desn(x) desn(0) Nc

= e-F1(r,T )/T - L2(T ) . r

(4.29)

Tal y como muestran los autores de [21], existe una ambigušedad en su procedimiento, que corresponde a an~adir una constante al potencial quark-antiquark a temperatura cero. Esta ambigušedad se traduce en una ambigušedad aditiva en F1(r, T ) en ec. (4.29), lo cual conducirŽia a un tŽermino del tipo 1/T en log(L(T )). Para eliminar esta ambigušedad los autores han adoptado la prescripciŽon de Cornell, que consiste en elegir v1 = 0 en VqŻq(r)  v0/r + v1 + v2r.

4.4.1. Resultados en gluodinŽamica
En ref. [21] se hace un estudio del loop de Polyakov renormalizado, siguiendo el mŽetodo sen~alado anteriormente, para gluodinŽamica pura y Nc = 3. Motivado por el resultado de nuestro modelo, ec. (4.27), en la figura 4.2 mostramos los datos en el retŽiculo de -2 log L(T )

82

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

frente a (Tc/T )2. Se observa que los datos presentan un comportamiento praŽcticamente lineal. Este patrŽon es claramente diferente del que predice teorŽia de perturbaciones, que es mucho maŽs plano, y muestra de manera inequŽivoca la existencia de la correcciŽon en potencias de temperatura tŽipica de un condensado de dimensiŽon 2.
Si identificamos (4.27) con (4.26) obtenemos las siguientes relaciones:

a

=

-

1 8

Nc2 - Nc

1

g2

mD T

-

Nc2 - 162

1

g4

g2 A20,a No Pert = 2NcTc2b .

log

mD 2T

+

3 4

+ O(g5) , (4.30) (4.31)

Haremos un primer ajuste de los datos del retŽiculo considerando para a el valor que predice teorŽia de perturbaciones a NLO (4.30), y dejando b como paraŽmetro libre

- 2 log L = aNLO + b

Tc T

2
.

(4.32)

El resultado se muestra en la tabla 4.1.

N

b

g2 A20,a No Pert (GeV)2 2/DOF

4 2.20(6)

(0,98(2))2

0.75

8 2.14(4)

(0,97(1))2

1.43

Cuadro 4.1: Resultado del ajuste con ec. (4.32) de los datos en el retŽiculo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinŽamica [21]. Se han incluido datos por encima de 1,03 Tc. El valor del condensado se ha obtenido a partir de b y la ecuaciŽon (4.31).

En el ajuste hemos incluido datos del retŽiculo para temperaturas por encima de 1,03 Tc. Hacemos uso de Tc/MS = 1,14(4) [81, 91], y Tc = 270(2) MeV [91]. En el resto de esta secciŽon usaremos la constante de acoplamiento que se obtiene de la funciŽon beta hasta tres
loops y E de ec. (4.8) como paraŽmetro de escala. Si suponemos que la diferencia entre los dos resultados del retŽiculo (N = 4 y N = 8) es debida uŽnicamente a efectos de cutoff finito, y consideramos que el efecto principal va como 1/N , encontramos como estimacioŽn para g2 A20,a No Pert en el lŽimite del continuo (0,95(4) GeV)2.
Hemos considerado tambiŽen un segundo ajuste de los datos del retŽiculo considerando a
y b paraŽmetros libres. El resultado se muestra en la tabla 4.2.

N

a

b

g2 A20,a No Pert (GeV)2 2/DOF

4 -0.27(5) 1.81(13)

(0,89(3))2

1.07

8 -0.23(1) 1.72(5)

(0,87(2))2

0.45

Cuadro 4.2: Igual que tabla 4.1, con a y b como paraŽmetros libres.

4.4 ComparaciŽon con datos del retŽiculo

83

Los valores de 2/DOF son ligeramente mejores que los correspondientes al ajuste con aNLO, y los valores del condensado son un poco maŽs pequen~os que antes. La correspondiente estimacioŽn del lŽimite del continuo es g2 A20,a No Pert = (0,84(6) GeV)2.
La identificacioŽn de a con el resultado perturbativo debe de funcionar mejor a tempera-
turas grandes. De ec. (4.30) se obtiene para la temperatura maŽs alta 6 Tc

aNLO = -0,22(1) (T = 6 Tc) ,

(4.33)

lo cual muestra un acuerdo razonable con los valores ajustados. Notar que las correcciones no perturbativas en potencias de T contribuyen poco a esta temperatura ( 20 %). Se puede concluir que el resultado perturbativo NLO evoluciona a temperaturas pequen~as maŽs rŽapidamente de lo que sugiere el ajuste. SerŽia interesante tener en cuenta correcciones logarŽitmicas al valor del condensado y quizŽas ciertas correcciones de dimensiŽon anŽomala para Žeste. Sin embargo, los datos actuales del retŽiculo no permiten una extraccioŽn limpia de esos detalles.
En un intento por determinar una posible correcciŽon de tipo 1/T 4, hemos considerado en ec. (4.27) el tŽermino extra c(Tc/T )4. El resultado del ajuste de los datos del retŽiculo para N = 8 se muestra en la tabla 4.3.

N

a

b

c

2/DOF

8 aNLO 2.18(20) -0.04±0.24 1.89

8 -0.22(2) 1.61(24) 0.13±0.28 0.42

Cuadro 4.3: Resultado del ajuste de los datos del retŽiculo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinŽamica [21], con ec. (4.27) y un tŽermino extra c(Tc/T )4. En la primera fila se han tomado b y c como paraŽmetros libres, y se considera para a el valor perturbativo a NLO, ec. (4.30). En la segunda fila se toman a, b y c como paraŽmetros libres.
El valor de c es compatible con cero en los dos casos, y los errores se superponen con los valores centrales de a y b (N = 8), en tab. 4.1 y tab. 4.2 respectivamente. Es necesario disponer de datos maŽs precisos con objeto de identificar posibles contribuciones de condensados de dimensiŽon 4.
Un ajuste de los datos excluye por completo la existencia de un tŽermino del tipo 1/T en log(L(T )). Este tŽermino no tiene base teoŽrica, pues no existe un condensado de dimensiŽon uno. La ausencia de este tŽermino en los datos se debe a que los autores han adoptado la prescripciŽon de Cornell para el potencial quark-antiquark.
4.4.2. Resultados unquenched
El loop de Polyakov renormalizado ha sido calculado tambiŽen en ref. [22] en el caso unquenched para QCD con dos sabores, siguiendo el mŽetodo explicado al comienzo de la secciŽon 4.4. En la figura 4.3 mostramos estos datos para N = 4. En este caso, los datos siguen un comportamiento praŽcticamente lineal para temperaturas por encima de

84

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

-2log(L)

2.5 Nf=2, N=4, Ref.[22]
2

1.5 a + b(Tc/T)2
1

0.5

0
LO NLO
-0.5

-1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Tc/T)2

Figura 4.3: Logaritmo del loop de Polyakov renormalizado en QCD unquenched con dos sabores frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la temperatura de transiciŽon de fase. Los datos del retŽiculo son de ref. [22]. En los ajustes se usa ec. (4.27) con a y b como paraŽmetros libres, y datos del retŽiculo por encima de 1,15 Tc para N = 4. Para comparar, se muestran los resultados perturbativos LO y NLO para Nf = 2.

1,15 Tc. Cerca de la temperatura de transiciŽon los datos comienzan a salirse del patrŽon de la ec. (4.27), lo cual es sen~al de que se hace necesaria una descripcioŽn maŽs rica a medida que nos aproximamos a la transiciŽon de fase.
En la tabla 4.4 se muestran los resultados del ajuste de los datos del retŽiculo para T > 1,15 Tc.

N

a

b

g2 A20,a No Pert (GeV)2 2/DOF

4 aNLO 2.99(12)

(0,86(2))2

1.87

4 -0.31(6) 2.19(13)

(0,73(3))2

0.25

Cuadro 4.4: Resultado del ajuste con ec. (4.27) de los datos en el retŽiculo del loop de Polyakov renormalizado en QCD con dos sabores [22]. Se han incluido datos por encima de 1,15 Tc. En la primera fila se ha tomado b como paraŽmetro libre, y se considera para a el valor perturbativo a NLO, ec. (4.30). En la segunda fila se toman a y b como paraŽmetros libres.
Hemos usado Tc/MS = 0,77(9), con Tc = 202(4) MeV [92] y MS = 261(31) MeV [93]. En el ajuste hemos considerado el mismo peso para todos los puntos, y el valor de 2 corresponde a un error representativo de ±0,05 en 2 log(L(T )) (similar al caso quenched).
Al igual que en el caso quenched, el valor de a es consistente con el valor perturbativo

4.4 ComparaciŽon con datos del retŽiculo

85

a temperatura grande

aNLO = -0,35(2) (T = 6 Tc) .

(4.34)

La pŽerdida del patrŽon lineal para temperaturas por debajo de 1,15 Tc no se explica convenientemente si consideramos nuevos condensados de dimensiŽon mayor. En efecto,
hemos sido incapaces de extraer de los datos un condensado de dimensiŽon 4. En la tabla 4.5
se muestra el resultado del ajuste para T > 1,0 Tc al considerar en ec. (4.32) el tŽermino extra c(Tc/T )4.

N a

b

c

2/DOF

4 aNLO 2.44(21) 1.07(19) 12.8

Cuadro 4.5: Ajuste de los datos en el retŽiculo del loop de Polyakov renormalizado en QCD con dos sabores [22], con ec. (4.27) y un tŽermino extra c(Tc/T )4. Se han incluido datos por encima de 1,0 Tc.
El ajuste no es bueno, y la gran correlacioŽn que encontramos entre b y c hace que no se pueda extraer informaciŽon fiable de este nuevo paraŽmetro.

4.4.3. Otros resultados quenched

Recientemente ha aparecido en la literatura un mŽetodo alternativo para renormalizar
el loop de Polyakov en el retŽiculo. En ref. [94] los autores consideran loops de Polyakov
aislados en gluodinŽamica pura, y hacen una renormalizaciŽon multiplicativa mediante la
extraccioŽn de la autoenergŽia del quark. Si PR(x) denota el loop de Polyakov renormalizado en una representacioŽn irreducible arbitraria R en el punto x, se tiene3

PR(x)

=1 ZR

P desn (x)

,

ZR = exp

- mdRiv T

,

(4.35)

donde se ha dividido por una constante de renormalizaciŽon apropiada ZR. Pden(x) indica el operador loop de Polyakov desnudo. EŽste es un tipo estŽandar de renormalizaciŽon de masa,

si bien aquŽi se debe tener en cuenta que, puesto que la lŽinea de Wilson es un operador

no local, la constante de renormalizaciŽon dependeraŽ de la longitud del camino: en general,

para un camino de longitud  se tiene ZR = exp(-mdRiv). El problema principal reside en cŽomo determinar las masas divergentes de un modo

no perturbativo. En un espacio-tiempo de cuatro dimensiones la masa divergente para un

quark test mdRiv es lineal con el cutoff ultravioleta, el cual es proporcional al inverso del

espaciado del retŽiculo, a, esto es:

mdRiv



1 a

.

(4.36)

3En

nuestra

notacioŽn

PR(x)

=

1 Nc

Tr

R

(x)

.

86

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

-2log(L)

2.5

2

Nf=0, Nf=0,

NRe=f.8[9, 3R]ef.[21]

1.5

1

0.5

0

a + b(Tc/T)2

-0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(Tc/T)2

Figura 4.4: Logaritmo de loop de Polyakov renormalizado en gluodinaŽmica (Nc = 3) frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la temperatura de transiciŽon de fase. Los datos del retŽiculo son de refs. [21] y [94]. Los ajustes usan ec. (4.27) con a y b como paraŽmetros libres para [21], y ec. (4.39) con a como paraŽmetro libre para [94].

Los autores consideran diferentes retŽiculos, todos a la misma temperatura fŽisica T , pero con diferentes valores del espaciado a. Puesto que el nuŽmero de puntos en la direccioŽn temporal N = 1/(aT ) es diferente en estos retŽiculos, obtienen la masa divergente amdRiv mediante comparaciŽon de los valores del loop de Polyakov desnudo en los diversos retŽiculos.
Siguiendo este mŽetodo, los autores de [94] calculan el loop de Polyakov renormalizado en varias representaciones de SU(3). Nuestro interŽes se centra en la representacioŽn fundamental, y cuando comparamos con los datos de [21] encontramos que ambos resultados difieren cualitativamente, principalmente para temperaturas por encima de 1,3 Tc. En la figura 4.4 se muestran los dos conjuntos de datos.
El origen de la discrepancia entre ambos resultados no estŽa del todo claro, aunque los autores de [94] no excluyen la posibilidad de que se deba a efectos del espaciado finito del retŽiculo, que no hayan sido tenidos en cuenta de manera conveniente.
Existen varias razones para pensar que los resultados de [21] son maŽs fiables. Por una parte este mŽetodo resulta tŽecnicamente maŽs simple y susceptible de ser comprobado. Los autores pueden comprobar que a cortas distancias los dos loops de Polyakov reproducen de una manera muy precisa el potencial quark-antiquark a temperatura cero como funciŽon de r para todas las temperaturas. El contacto entre el potencial a temperatura cero y el correspondiente a temperatura finita es casi total hasta una separacioŽn r(T ), relacionada con la masa de Debye, lo cual permite una determinacioŽn muy precisa del contratŽermino C(T ) de ec. (4.29). AdemaŽs, el cŽalculo estŽa hecho para dos taman~os diferentes del retŽiculo, N = 4 y N = 8 (tambiŽen N = 16 en [95]), y los resultados muestran una dependencia muy pequen~a en el cutoff, lo cual significa que el lŽimite del continuo ha sido alcanzado.
El mŽetodo de ref. [94] es tŽecnicamente maŽs complicado, pues necesita comparar taman~os

4.4 ComparaciŽon con datos del retŽiculo

87

diferentes del retŽiculo a la misma temperatura fŽisica T . La extraccioŽn del contratŽermino es asimismo maŽs compleja, pues el anŽalogo de C(T ) en ec. (4.29) se escribe como una serie en potencias de T con coeficientes que deben de ser ajustados con los datos del loop de Polyakov desnudo. Por otra parte, desde el punto de vista del modelo que proponemos en nuestro trabajo, esperamos que las correcciones no perturbativas sean despreciables a las temperaturas maŽs altas de los dos datos del retŽiculo, pero uŽnicamente [21] parece ser consistente con teorŽia de perturbaciones [23] a esas temperaturas.
El mŽetodo de [94] renormaliza el logaritmo del loop de Polyakov siguiendo este esquema4

- log Ldesn(T ) = f divN + f ren + f latN-1 ,

(4.37)

donde

Ldesn(T )

=

1 Nc

Tr desn(x)

,

L(T )

=

1 Nc

Tr R(x)

= e-fren .

(4.38)

Podemos especular con esta fŽormula suponiendo que los tŽerminos que dependen del cutoff no han sido extraŽidos completamente en los datos, o bien que despuŽes de haber sido extraŽidos permanezcan tŽerminos del mismo tipo a los extraŽidos. En concreto, consideraremos el siguiente patrŽon de ajuste

- 2 log L = a + b

Tc T

2

+

a-1

Tc T

+

a

+

a1

T Tc

.

(4.39)

En la tabla 4.6 se muestran los resultados del ajuste de los datos del retŽiculo (figura 8 de ref. [94]) para el loop de Polyakov en la representacioŽn fundamental, en el rŽegimen 1,3 Tc < T < 3,5 Tc.

a

a

a + a

b

a-1

a1

2/DOF

aNLO 1.8 ± 1.8

-

1.4 ± 2.6 -1.0±3.8 -0.29±0.26 0.0349

-

-

1.6 ± 1.8 1.3 ± 2.6 -1.4 ± 3.8 -0.28 ± 0.26 0.0350

Cuadro 4.6: Resultado del ajuste con ec. (4.39) de los datos en el retŽiculo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinaŽmica [94]. En la primera fila se ha tomado para a el valor aNLO de ec. (4.30), y en la segunda se ha considerado a como paraŽmetro libre.
Un hecho alentador es que el valor del condensado parece ser compatible con el obtenido en la secciŽon 4.4.1 a partir de los datos de ref. [21]. No obstante, esta especulacioŽn no es totalmente concluyente y serŽia deseable un acuerdo entre los resultados de ambos grupos antes de sacar nuevas consecuencias.
4Nos vamos a limitar a analizar los datos correspondientes al loop de Polyakov en representaciŽon fundamental. En sec. 5.7 se discute el comportamiento del loop de Polyakov adjunto obtenido en el contexto de modelos de quarks quirales a temperatura finita.

88

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

4.4.4. RelaciŽon con otras determinaciones del condensado
Si bien nuestra determinacioŽn del condensado se ha hecho en el gauge estŽatico y a temperatura finita, resulta tentador comparar con condensados a temperatura cero g2 A2”,a , calculados en la literatura en quenched QCD y en el gauge de Landau. En la tabla 4.7 se muestran algunos valores de este condensado obtenidos recientemente por diferentes procedimientos. El acuerdo entre ellos es aceptable.

Referencia Del propagador del gluŽon [77] Del vŽertice simŽetrico de tres gluones [77] De la cola del propagador del quark [78] De la cola del propagador del quark [79]

g2 A2”,a (GeV)2 (2,4 ± 0,6)2 (3,6 ± 1,2)2 (2,1 ± 0,1)2 (3,0 - 3,4)2

Cuadro 4.7: Valores del condensado g2 A2”,a a temperatura cero, en el gauge de Landau en quenched QCD.

A temperatura cero todas las componentes de Lorentz contribuyen de igual forma, lo cual sugiere un factor de conversioŽn 4 al pasar de g2 A2”,a a g2 A20,a . Sin embargo, de acuerdo con ref. [74], en el gauge de Landau el condensado total escala como D-1, donde D es la dimensiŽon del espacio euclŽideo, lo cual sugiere un factor de conversioŽn 3. En cualquier caso, si tenemos en cuenta tanto las incertidumbres de los datos del retŽiculo como las teoŽricas, el acuerdo es significativo, pues estamos comparando resultados a temperaturas y gauges diferentes.
Podemos comparar asimismo nuestro resultado para el condensado gluoŽnico con cŽalculos realizados a temperatura finita basados en el estudio de contribuciones no perturbativas de la presiŽon en gluodinŽamica pura [80, 96]. Estos resultados conducen a

g2 A20,a No Pert = (0,93(7) GeV)2 ,

(4.40)

en el gauge de Landau.5 Todos estos anŽalisis muestran un esquema coherente en su conjunto.

4.5. EnergŽia libre de un quark pesado
El potencial quark-antiquark a temperatura finita se puede obtener a partir de la funciŽon de correlacioŽn de dos loops de Polyakov separados. Como sabemos, si se toma el lŽimite de separacioŽn grande se obtiene el valor esperado del loop de Polyakov, ec. (4.29). En el lŽimite de separacioŽn pequen~a los efectos tŽermicos son despreciables, y este potencial coincide con el potencial quark-antiquark a temperatura cero.
5Este valor ha sido obtenido a partir de los datos del retŽiculo de la figura 2 de ref. [80], y tambiŽen de la figura 1 de ref. [96], en la regiŽon de temperaturas usada en nuestros ajustes de la seccioŽn 4.4.1.

4.5 EnergŽia libre de un quark pesado

89

Hasta ahora hemos aplicado nuestro modelo fenomenolŽogico de ecs. (4.22)-(4.23) para dar cuenta de las correcciones no perturbativas en el loop de Polyakov. En esta secciŽon aplicaremos este modelo para describir los datos del retŽiculo de la energŽia libre de un quark pesado.

4.5.1. Contribuciones no perturbativas en la energŽia libre

El potencial quark-antiquark puede relacionarse con la amplitud de scattering correspondiente al intercambio de un uŽnico gluŽon. En el lŽimite no relativista, para la energŽia libre en el canal singlete se tiene

F1(x,

T

)

=

-

Nc2 - 2Nc

1

g2

d3k (2)3

eik·xD00(k)

.

(4.41)

Podemos estudiar contribuciones no perturbativas en la energŽia libre aplicando el mo-
delo que desarrollamos en la secciŽon 4.3. Si sustituimos (4.22) en (4.41) obtenemos ademaŽs de las contribuciones perturbativas a LO (O(g2)) y NLO (O(g3)), nuevas contribuciones no perturbativas6

F1(r,

T

)

=

-

Nc2 - 2Nc

1

g2 4r

+

1 g2 Nc2 - 1

A20,a No Pert T

e-mDr- Nc2 - 1 g2mD + g2 A20,a No Pert .

2Nc 4

2NcT

(4.42)

Si consideramos el lŽimite r   en (4.42), se obtiene esencialmente el logaritmo del

loop de Polyakov

F(T )



F1(r



, T )

=

-2T

log L(T )

=

-

Nc2 - 2Nc

1

g2mD 4

+

g2

A20,a No Pert 2NcT

+ O(g4) .

(4.43)

Esta expresiŽon coincide con ec. (4.27), teniendo en cuenta ec. (4.31) para b y ec. (4.30)

hasta O(g3) para a.

En el lŽimite de temperatura cero, para lo cual consideramos mDr  0 en (4.42), se

tiene

F1(r, T )

T0

-

Nc2 - 2Nc

1

g2 4r

+



r



VqŻq(r) ,

(4.44)

donde

=

Nc 3

+

Nf 6

1/2

g3

A20,a 2Nc

T =0

.

(4.45)

En esta expresiŽon, A20,a T =0 denota el condensado a temperatura cero. En este lŽimite se llega obviamente a la expresiŽon del potencial quark-antiquark a temperatura cero [97]. El
tŽermino de Coulomb es el resultado perturbativo estŽandar a LO, mientras que el segundo
tŽermino es una contribucioŽn lineal no perturbativa bien conocida en la literatura. Ec. (4.44)

6Hacemos uso de las reglas de regularizaciŽon dimensional y consideramos g independiente de k.

90

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

s(r,T)

0.19

0.18

T=3Tc T=6Tc

T=9Tc

0.17

T=12Tc

0.16

0.15

0.14

0.13

0.12

0.11

0

0.5

1

1.5

2

rT

Figura 4.5: Constante de acoplamiento s frente a rT en gluodinŽamica pura (Nc = 3), para diferentes valores de T . Datos obtenidos a partir del ajuste de ec. (4.42) con los datos del retŽiculo de la figura 5 de ref. [98].

con g = /2 corresponde al modelo de cuerda bosoŽnica, y reproduce los datos del retŽiculo para VqŻq(r) en el rango 0,75 GeV-1  r  4 GeV-1 con un error del 1 % [97]. Nuestro modelo predice un valor concreto para la tensiŽon de la cuerda .
Como vemos, el modelo predice para la energŽia libre unos comportamientos asintŽoticos
totalmente coherentes con la fenomenologŽia conocida. Esto refuerza nuestra suposiciŽon de
existencia de contribuciones no perturbativas dadas por condensados gluoŽnicos.

4.5.2. ComparaciŽon con datos del retŽiculo

Podemos comparar nuestro resultado, ec. (4.42), con datos del retŽiculo existentes para la energŽia libre. Puesto que conocemos el valor del condensado g2 A20,a No Pert, esto nos va a permitir obtener la dependencia en r y T de la constante de acoplamiento s  g2/4. En la figura 4.5 se muestra el valor de s frente a rT para diferentes valores de la temperatura. Las curvas se han obtenido tras ajustar ec. (4.42) con los datos de ref. [98] (figura 5) para gluodinŽamica (Nc = 3). Como valor de g2 A20,a No Pert consideramos el de la tabla 4.2 con N = 8.
Se observa un comportamiento suave para s y los valores son relativamente pequen~os, lo cual contrasta con anŽalisis recientes en el retŽiculo a temperatura finita [22, 98]. Estos
autores tienen en cuenta los efectos no perturbativos que observan en los datos del retŽiculo
de la energŽia libre mediante el uso de dos constantes: s y s; y esta uŽltima se diferencia del valor perturbativo por un factor multiplicativo:

s(r, T ) =  sPert(r, T ) ,  > 1 .

(4.46)

Esto no tiene justificaciŽon teoŽrica, y se trata en realidad de un esquema de anŽalisis dema-

4.5 EnergŽia libre de un quark pesado

91

siado forzado, pues la constante  no es tal, sino que tiene una dependencia en temperatura, de tal modo que vale 1 en el lŽimite T  .7 Los valores que obtienen para las s's son excesivamente grandes. Por el contrario, al considerar nuestro modelo, el ajuste de los datos
del retŽiculo de la energŽia libre resulta maŽs natural. Notar que el comportamiento r   de
s(r, T ) que se observa en fig. 4.5 es consistente con el hecho de que nuestro mejor ajuste de los datos del loop de Polyakov renormalizado sea con a = constante.

4.5.3. AnalogŽia entre el loop de Polyakov y el potencial quarkantiquark a temperatura cero
Al comparar (4.43) con (4.44) se observa que las expresiones son similares desde un punto de vista formal, con la identificacioŽn r  1/mD. Si consideramos que no existe dependencia en r y T para la constante de acoplamiento g y el condensado A20,a , de ec. (4.43) a LO y de ec. (4.44) se deduce la siguiente propiedad

F(T ) = VqŻq(r)

.

r=1/mD

(4.48)

Notar que (4.48) es vaŽlida sŽolo a LO en teorŽia de perturbaciones. Con objeto de comprobar numŽericamente esta propiedad debemos tener en cuenta los diferentes comportamientos asintŽoticos de s. Usaremos la siguiente notaciŽon:

s(r)  s(r, T = 0) , s(T )  s(r  , T ) .

(4.49)

La propiedad (4.48) se escribirŽa ahora8

BF(T ) = VqŻq(r)

,

r=/T

(4.51)

donde

B=

s(r) s(T )

3/4
,

=

1 4(Nc/3 + Nf /6)

s(r) s(T )3

1/4
.

(4.52)

7El ajuste que se considera en ref. [22, 98] se hace en base a la fŽormula

Ffit(r,

T

)

=

-

4(T 3r

)

exp

-

4(T ) rT

+ b(T ) ,

(4.47)

donde (T ) y (T ) se usan como dos paraŽmetros de ajuste independientes. Esta fŽormula uŽnicamente les permite ajustar el comportamiento de F1(r, T ) a grandes distancias, en contraste con ec. (4.42), que reproduce correctamente tambiŽen el comportamiento a r pequen~o, que viene dado por VqŻq(r).
8Esta propiedad tambiŽen se puede expresar como

F(T )/T = rVqŻq(r)

,

r = /T

donde B y  estaŽn definidos en ec. (4.52).

 = B ,

(4.50)

92

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

2

NNrVff==qq00(,,r)NN|r===/48T,,,

Ref.[21] Ref.[21] Ref.[96]

1.5

-2 log(L)

1

0.5

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Tc/T)2

Figura 4.6: Logaritmo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinaŽmica (Nc = 3), reescalado con , ec. (4.50), frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la
temperatura de transiciŽon de fase. Los cuadrados negros y blancos corresponden a datos del
retŽiculo para el loop de Polyakov de ref. [21]. Las cruces corresponden a datos en el retŽiculo
del potencial quark-antiquark a temperatura cero, rVqŻq(r), de ref. [97], y modificados con el cambio r = /T . La lŽinea continua representa el modelo de cuerda bosoŽnica que reproduce muy bien los datos del retŽiculo para rVqŻq(r) en la regioŽn 0,75 GeV-1  r  4 GeV-1. Con el cambio r = /T , esta regioŽn corresponde a 0,06  (Tc/T )2  1,6.

La propiedad (4.51), con los valores de los paraŽmetros B y  dados en ec. (4.52), se ha deducido suponiendo que se cumple

s(T )

A20,a

No Pert T

= s(r)

A20,a

T =0 .

(4.53)

El miembro izquierdo de la igualdad s(T ) A20,a No Pert ha sido ajustado en la secciŽon 4.4.1. El valor de s(r) A20,a T =0 puede obtenerse a partir del valor conocido para la tensioŽn de la cuerda,  = (0,42 GeV)2, y la ecuaciŽon (4.45). NumŽericamente encontramos que ec. (4.53) es correcta con un error del 9 %. En la figura 4.6 se muestran los datos del retŽiculo en gluodinŽamica para -2 log L frente a (Tc/T )2 (ref. [21]), y se comparan con el potencial quark-antiquark a temperatura cero rVqŻq(r) [97] despuŽes de haber considerado el cambio de variable que se especifica en ec. (4.50). Se observa un acuerdo excelente. Esta dualidad sugiere la existencia de una profunda analogŽia entre el potencial quark-antiquark
a temperatura cero y el loop de Polyakov.

4.6. Conclusiones
Tres son los resultados importantes de este capŽitulo. Por una parte, tras analizar de manera conveniente los datos en el retŽiculo del loop de Polyakov renormalizado por encima

4.6 Conclusiones

93

de la transiciŽon de fase de QCD, encontramos la contribucioŽn inequŽivoca de un condensado
de dimensiŽon 2 no perturbativo. Estas contribuciones no han sido consideradas hasta ahora
en el contexto del loop de Polyakov, pero de hecho son dominantes en la regioŽn cercana a
la transiciŽon de fase y permiten describir los datos de [21] en la fase de desconfinamiento
hasta 1,03 Tc para gluodinŽamica y de [22] hasta 1,15 Tc para dos sabores. En segundo lugar, hemos sugerido identificar este condensado con el condensado gluoŽni-
co de dimensiŽon 2 invariante BRST. El valor numŽerico de g2 A20,a No Pert que obtenemos a partir del loop de Polyakov es totalmente consistente con el valor que se deduce de la
presiŽon en gluodinŽamica [80, 96]. AdemaŽs, aun habiendo definido el condensado en un gauge estŽatico, su valor es significativamente proŽximo al valor de g2 A2”,a /4, obtenido a temperatura cero y en el gauge de Landau.
En tercer lugar, a la luz de estos resultados hemos encontrado una analogŽia entre el
potencial quark-antiquark a temperatura cero y el loop de Polyakov, la cual se manifiesta
en la relacioŽn que predice nuestro modelo entre la tensiŽon de la cuerda y la pendiente del
loop de Polyakov.

94

CapŽitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transiciŽon de fase

CapŽitulo 5
Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
En este capŽitulo estudiaremos algunos modelos de quarks quirales en el contexto de temperatura finita. Haciendo uso de nuestra tŽecnica del heat kernel del capŽitulo 2, obtendremos el acoplamiento mŽinimo entre el loop de Polyakov gluŽonico y los quarks, lo cual solucionarŽa algunas inconsistencias presentes en el tratamiento estŽandar de estos modelos a temperatura finita a nivel de un loop de quarks.
En primer lugar se estudiaraŽn algunas propiedades de las transformaciones gauge a temperatura finita, lo cual nos llevaraŽ a considerar la simetrŽia del centro como aquella que es generada por la accioŽn de transformaciones gauge locales que son periŽodicas en la variable temporal salvo un elementro arbitrario del centro del grupo gauge. Para maŽs detalles sobre este punto, ver apŽendice A.
Posteriormente introduciremos dos modelos: modelo de Nambu­Jona-Lasinio y modelo quark espectral. Con ellos ilustraremos la problemaŽtica del tratamiento estŽandar a temperatura finita que se viene haciendo en los modelos de quarks quirales, y definiremos un modelo quark quiral con acoplamiento del loop de Polyakov que permitiraŽ compatibilizar los resultados con los conocidos de TeorŽia Quiral de Perturbaciones. Calcularemos el lagrangiano quiral efectivo en estos modelos hasta O(p4) en un desarrollo en momentos externos, y se estudiaraŽ la estructura que presenta este lagrangiano a temperatura finita.
Se haraŽ un estudio de algunas correcciones de orden mayor, tales como correcciones maŽs allŽa de un loop de quarks, correcciones gluŽonicas y correcciones locales en el loop de Polyakov. Finalmente se calcularŽan dos observables de interŽes: condensado quiral y valor esperado del loop de Polyakov; para lo cual se haraŽ un tratamiento unquenched, y se estudiaraŽ el mecanismo de rotura de la simetrŽia del centro que conduce a la transiciŽon de fase de QCD.
El capŽitulo estŽa basado en las referencias [99, 100].
95

96

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

5.1. Transformaciones gauge grandes
En el apŽendice A discutimos las transformaciones gauge en el contexto de la TeorŽia CuŽantica de Campos a temperatura finita. Al comienzo de este capŽitulo vamos a hacer un repaso de las principales propiedades de estas transformaciones, y la importancia que tienen para el estudio de los procesos de desconfinamiento de color en QCD. Esta secciŽon podrŽia haberse incluido igualmente en el capŽitulo 3, pero hemos preferido ponerla aquŽi para que el capŽitulo quede autoconsistente, pues como veremos los modelos de quarks quirales nos van a permitir una descripciŽon de la transiciŽon de fase de QCD.

5.1.1. Transformaciones gauge a temperatura finita
En el formalismo de Tiempo Imaginario el espacio-tiempo es un cilindro topoloŽgico, de tal modo que el tiempo imaginario euclŽideo estŽa compactificado y las integrales funcionales se evaluŽan bajo la condicioŽn de que los campos sean periŽodicos para bosones y antiperiŽodicos para fermiones en el intervalo temporal [0, ], donde  = 1/T . En un principio, sŽolo estarŽian permitidas las transformaciones gauge periŽodicas

g(x0, x) = g(x0 + , x) ,

(5.1)

pues los campos de los quarks y los bosones son estables frente a este tipo de transformaciones. Un ejemplo de tal transformaciŽon para el grupo gauge SU(Nc), en el gauge de Polyakov, 0A0 = 0, con A0 una matriz diagonal Nc Ś Nc de traza cero, es

g(x0) = ei2x0/ ,

(5.2)

donde  es una matriz diagonal de enteros, de traza cero, en el espacio de color, esto

es ij = niij , ni  Z ,

Nc j=1

nj

=

0.

Esta

transformaciŽon

no

puede

estar

proŽxima

a

la

identidad, y en este sentido se considera una transformaciŽon gauge grande. Bajo ella, el

campo A0 transforma

A0



A0

+

2 



,

(5.3)

de modo que en este gauge, la invariancia gauge se manifiesta en la periodicidad del campo gluŽonico A0. El problema de teorŽia de perturbaciones radica en que esta invariancia a temperatura finita se rompe explŽicitamente si se hace un desarrollo perturbativo de A0, ya que el desarrollo de una funciŽon periŽodica da lugar a un polinomio, que no es periŽodico.
Esta problemaŽtica de la invariancia gauge a temperatura finita conduce a la necesidad de tratar el campo A0 de una manera no perturbativa, y a tales efectos se considera el loop de Polyakov (o lŽinea de Wilson sin traza) como grado de libertad independiente (x). Transforma de manera covariante en x bajo una transformaciŽon gauge periŽodica

(x)  g-1(x)(x)g(x) ,

(5.4)

y en el gauge de Polyakov, (x) = eiA0(x), es invariante gauge.

5.1 Transformaciones gauge grandes

97

5.1.2. SimetrŽia del centro
En gluodinŽamica pura a temperatura finita la condicioŽn (5.1) resulta en realidad demasiado restrictiva, y es posible considerar transformaciones gauge aperiŽodicas

g(x0 + , x) = z g(x0, x) , zNc = 1 .

(5.5)

z es un elemento de Z(Nc), que es el centro del grupo gauge SU(Nc), esto es z = ei2n/Nc , n  Z(Nc). Un ejemplo de esa transformaciŽon, en el gauge de Polyakov, es

g(x0) = ei2x0/Nc ,

(5.6)

donde z = ei2/Nc. El campo A0 y el loop de Polyakov transforman bajo (5.6) como

A0



A0

+

2 Nc



,

  z .

(5.7)

 transforma como la representacioŽn fundamental del grupo Z(Nc). FŽisicamente el promedio tŽermico del loop de Polyakov (con traza) en la representacioŽn fundamental determina la energŽia libre relativa al vacŽio de un uŽnico quark,

e-Fq(x) = 1 Nc

trc (x)

.

(5.8)

De ec. (5.7) se deduce (por invariancia gauge) que

trc (x) = z trc (x) ,

(5.9)

y por tanto trc (x) = 0 en la fase en que la simetrŽia del centro se preserva (fase de confinamiento). De manera maŽs general, se obtiene

trc n(x) = 0 para n = mNc , m  Z .

(5.10)

La simetrŽia del centro estŽa espontŽaneamente rota por encima de una cierta temperatura (TD  270 MeV para Nc = 3), lo cual indica una fase de desconfinamiento. En esta fase trc (x) puede tomar valores diferentes de cero.

5.1.3. Rotura de la simetrŽia del centro por fermiones

Las funciones de onda de los fermiones deben satisfacer condiciones antiperiŽodicas en

la direcciŽon temporal, esto es q(, x) = -q(0, x), de modo que bajo una transformaciŽon del

tipo (5.5)

q(, x)  g(, x)q(, x) = -zg(0, x)q(0, x) ,

(5.11)

en lugar de -g(0, x)q(0, x). Notar que q(n)q(0)  z-nq(n)q(0), lo cual implica que en la fase confinante (con simetrŽia del centro)

q(n)q(0) = 0 para n = mNc , m  Z .

(5.12)

98

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

Esto genera una regla de selecciŽon en gluodinŽamica pura.
Los fermiones no son estables bajo las transformaciones del tipo (5.5) (uŽnicamente lo son bajo transformaciones periŽodicas), de modo que rompen explŽicitamente la simetrŽia del centro. Esto significa que la regla de selecciŽon (5.12) no se realiza en la praŽctica. No obstante, esta regla serŽa importante en el contexto de modelos de quarks quirales en el lŽimite de Nc grande, tal y como veremos maŽs adelante.

5.2. Modelos de Quarks Quirales
En esta secciŽon explicaremos dos modelos de quarks quirales de especial relevancia: el modelo de Nambu­Jona-Lasinio [29] y el modelo quark espectral [101].

5.2.1. Modelo Quark de Nambu­Jona-Lasinio
El lagrangiano euclŽideo del modelo de Nambu­Jona-Lasinio generalizado es

LNJL

=

q(/

+m^ 0)q

+

1 2a2s

Nf2 -1
((qaq)2
a=0

+

(qai5q)2)

+

1 2a2v

Nf2 -1
((qa”q)2
a=0

+

(qa”5q)2)

,

(5.13)

donde q = (u, d, s, . . .) representa el campo de los quarks con Nc colores y Nf sabores.

Las 's son las matrices de Gell-Mann del grupo U(Nf ) y m^ 0 = diag(mu, md, ms, . . .) es la matriz de masa de los quarks. 1/a2s y 1/a2v son las constantes de acoplamiento. Este lagrangiano es invariante bajo simetrŽia global de color SU(Nc).

El funcional generador en presencia de campos externos bosoŽnicos (s, p, v, a) y fermiŽoni-

cos (, ) es

ZNJL[s, p, v, a, , ] = DqDq exp - d4x(LNJL + q(v/ + a/ 5 + s + i5p)q + q + q) .
(5.14) Los sŽimbolos s, p, v” y a” indican campos externos (en espacio de sabor) de tipo escalar, pseudoescalar, vector y axial, respectivamente. En funciŽon de los generadores del grupo de sabor U(Nf ), estos se escriben

s

=

Nf2 -1

sa

a 2

,

···

a=0

(5.15)

La accioŽn del modelo puede ser bosonizada mediante la introduccioŽn de campos bosoŽnicos auxiliares, lo cual va a transformar la interaccioŽn local de cuatro puntos en un acoplamiento

5.2 Modelos de Quarks Quirales

99

tipo Yukawa [102]. El nuevo funcional generador es

ZNJL[s, p, v, a, , ] = DqDqDSDP DV DA exp - d4x q(/ + V/ + A/ 5 + S + i5P)q

+

a2s 4

tr((S

-

m^ 0)2

+

P

2)

-

a2v 4

tr(V”2

+

A2”)

+

q

+

q

,(5.16)

donde hemos escrito en notaciŽon corta S = s + S, P = p + P , V = v + V , A = a + A. En esta fŽormula (S, P, V, A) representan campos bosoŽnicos dinŽamicos internos de tipo escalar, pseudoescalar, vector y axial respectivamente. Los campos S(x), P(x), V”(x) y A”(x) son matrices en espacio interno (que se entiende como espacio de sabor), son la identidad en espacio de Dirac y operadores multiplicativos en el espacio x. S(x) es hermŽitico y P(x), V”(x) y A”(x) son antihermŽiticos. En la secciŽon 5.4 extenderemos los campos A”(x) y V”(x) para que sean matrices no triviales en espacio de color, lo que nos permitiraŽ acoplar el loop de Polyakov de color en el modelo. Por conveniencia en nuestro desarrollo hemos incluido la rotura explŽicita de la simetrŽia quiral (proporcional a m^ 0) en el tŽermino bosoŽnico local. Podemos integrar formalmente sobre fermiones, lo cual conduce a

ZNJL[s, p, v, a, , ] = DSDP DV DA Det(D)Nc exp( |D-1| )

(5.17)

exp -

d4x

a2s 4

tr((S

-

m^ 0)2

+

P 2)

-

a2v 4

tr(V”2

+

A2”)

donde

D =/ + V/ + A/ 5 + S + i5P

es un operador de Dirac. Este operador se puede escribir en la forma

(5.18)

D =D/V + A/ 5 + M U 5 ,

(5.19)

donde D”V = ” + V” es la derivada covariante vector, M es la masa constituyente de los quarks, y U es una matriz en espacio de sabor que representa los octetes pseudoescalares

delos mesones en la representacioŽn no lineal. Para tres sabores, Nf = 3, se escribe U = ei 2/f , con





=



1 2

0 + -

1 6



K-

+

-

1 2

0 + KŻ 0

1 6



 K+

K0  .

-

2 6



(5.20)

f es la constante de desintegracioŽn dŽebil del pioŽn en el lŽimite quiral. En lo que sigue consideraremos la accioŽn efectiva a nivel de un loop de quarks y a nivel
Žarbol para los mesones. En este caso

NJL = q[D] + m ,

(5.21)

100

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

donde

q[D] = -NcTr log(D) ,

(5.22)

m =

d4x

a2s 4

tr(S

2

+

P 2)

-

a2s 2

tr(m^ 0S)

+

a2s 4

tr(m^ 20)

-

a2v 4

tr(V”2

+

A2”)

(5.23)

En adelante nos vamos a referir al tŽermino q[D] como la contribucioŽn de los quarks a un loop. EŽste serŽa el tŽermino que calculemos como aplicaciŽon de nuestro desarrollo del heat kernel a temperatura finita.
La contribucioŽn de los quarks a la accioŽn efectiva se puede separar en una parte 5-par y otra 5-impar, correspondiente a procesos de paridad normal y anormal, respectivamente. En espacio euclŽideo, la primera corresponde a la parte real de la accioŽn efectiva, y la segunda a la parte imaginaria. Introduciremos el operador

D5[S, P, V, A] = 5D[S, -P, V, -A]5 ,

(5.24)

que en espacio euclŽideo se corresponde con el hermŽitico conjugado D. La contribucioŽn de paridad normal es cuadrŽaticamente divergente y puede ser regularizada de un modo invariante gauge quiral mediante el esquema de Pauli-Villars [56]

+q [D]

=

-

Nc 2

Tr

ci log(D5D + 2i ) ,

i

(5.25)

donde los reguladores de Pauli-Villars satisfacen c0 = 1, 0 = 0 y i ci = 0, i ci2i = 0, lo cual permitiraŽ hacer finitas las divergencias logarŽitmicas y las cuadrŽaticas, respectivamente.

Haciendo uso de la representacioŽn de Schwinger de tiempo propio, esta contribucioŽn se

escribe

+q [D]

=

Nc 2

 0

d 

( ) Tr e-D5D

,

(5.26)

donde

( ) =

ci e- 2i .

(5.27)

i

Las funciones de Green se pueden obtener a partir de (5.21) derivando respecto a los campos

medios mesoŽnicos. De particular interŽes es la funciŽon a un punto. Si en (5.21) consideramos

solamente la parte real de la contribucioŽn de los quarks a un loop, esto es (5.25), esta accioŽn

presenta un punto estacionario invariante traslacional en (S, P ) = (, 0), (V”, A”) = (0, 0)

 +NJL [S ] S(x)

S(x)=

=

a2s 2

tr(

-

m^ 0

)

-

Nc 2

Tr

(D5D)-1

(D5D) S(x)

= 0.
S(x)=

(5.28)

El punto estacionario  se identifica con el valor esperado en el vacŽio del campo S en la aproximaciŽon de un loop de quarks. Introduciendo la accioŽn efectiva regularizada (5.26) en (5.28) obtenemos la siguiente ecuaciŽon para 

a2s( - m^ 0) - 8Nc g() = 0 ,

(5.29)

5.2 Modelos de Quarks Quirales

101

donde

g() =

d4p (2)4


d ( ) e-(p2+2) .
0

(5.30)

En adelante nos referiremos a (5.29) como ecuaciŽon del gap pues esta ecuaciŽon determina

el gap de energŽia 2 entre los estados de quarks con energŽia positiva y negativa.  juega

el papel de la masa constituyente de los quarks.

El condensado de quarks qq viene dado por qq = +NJL/m^ 0. De (5.23) se obtiene

inmediatamente

qq

=

-

a2s 2

tr(

-

m^ 0)

.

(5.31)

5.2.2. Modelo Quark Espectral
El Modelo Quark Espectral, desarrollado recientemente por E. Ruiz Arriola y W. Broniowski [101], es aplicable a fŽisica hadrŽonica en el rango de baja energŽia. La novedad reside en el uso de una regularizacioŽn espectral basada en la introducciŽon a nivel formal de la representacioŽn de Lehmann [50] del propagador del quark. Esta regularizacioŽn permite resolver de una manera simple las identidades de Ward-Takahashi quiral y electromagnŽetica mediante el uso de la llamada prescripciŽon gauge [103]. Consideraremos el modelo a nivel de un loop fermiŽonico y en el lŽimite quiral en que la masa de los quarks es cero.
En esta secciŽon vamos a seguir la referencia [101]. El punto de partida es el propagador del quark, que en espacio de momentos se define

S(p) = d4xe-px 0|T {q(x)q(0)}|0 .

(5.32)

Consideraremos una representacioŽn espectral para el propagador

S(p) =

C

d

() /p -

,

(5.33)

donde () es la funciŽon espectral y C indica un contorno de integracioŽn en el plano

complejo  elegido de un modo conveniente. Este propagador puede ser parametrizado en

la forma estŽandar

S(p)

=

A(p)

/p

+B(p)

=

Z (p)

/p p2

+M (p) - M 2(p)

,

(5.34)

donde

A(p) =

C

d

() p2 - 2

,

B(p) =

C

d

() p2 - 2

.

La masa y factor de renormalizaciŽon vienen dados por

(5.35)

M (p)

=

B(p) A(p)

,

Z(p) = (p2 - M 2(p))A(p) ,

(5.36)

102

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

respectivamente. Notar que si () = (-) tendrŽiamos M(p) = 0 y no existirŽia rotura espontŽanea de la simetrŽia quiral. Por tanto es de esperar que () no sea una funciŽon par en general. La funciŽon espectral debe ser tal que proporcione valores finitos para los observables hadrŽonicos. Esto daraŽ lugar a una serie de condiciones que deben cumplir los momentos y los momentos logarŽitmicos de (),

n = dn() ,
C

n = d log(2/”2)n() , C

n  Z.

(5.37)

AquŽi ” es una cierta escala. Notar que por normalizacioŽn 0 = 1. Como ejemplo consideremos el condensado de quarks (por el momento trabajaremos a temperatura cero)

qq = -Nc d()
C

d4p (2)4

trDirac

/p

1 -

.

(5.38)

Tras tomar la traza en el espacio de Dirac, la integral es cuadrŽaticamente divergente.

Un modo de regularizarla es haciendo uso de un cutoff tridimensional con la siguiente

sustitucioŽn


d4p - 4 dp0 dp p2 ,
0

p = |p| .

(5.39)

Con esta regularizacioŽn obtenemos

qq

=

-

Nc 42

d ()
C

22 + 2 log

2 42

+ 2

.

(5.40)

Puesto que el resultado debe ser finito en el lŽimite   , es necesario imponer las condiciones 1 = 0 y 3 = 0, lo cual conduce a qq = -Nc3/(42). El cŽalculo de otros observables va a dar lugar a condiciones adicionales. En general todos los observables van a ser proporcionales a los momentos inversos y a los momentos logarŽitmicos, y para que sean finitos se debe cumplir n = 0, n > 0. El modelo espectral no se ha desarrollado maŽs allŽa de un loop.
La prescripciŽon gauge fue usada en el pasado en la obtenciŽon de soluciones de las ecuaciones de Schwinger-Dyson. Haciendo uso de ella se pueden resolver en este modelo las identidades de Ward-Takahashi. Sin embargo en situaciones en las que las lŽineas de propagadores de los quarks estŽan cerradas es maŽs conveniente el formalismo de la accioŽn efectiva. Consideraremos, como en el modelo de Nambu­Jona-Lasinio, acoplamientos escalar, pseudo-escalar, vector y axial. El acoplamiento quark-pioŽn debe satisfacer la relacioŽn de Goldberger-Treiman [18]. Con estas premisas, la accioŽn efectiva de este modelo a nivel de un loop de quarks se puede escribir como

SQM = -Nc d4x d()tr log (D/V + A/ 5 + U 5) , C

(5.41)

donde D”V = ” + V” es la derivada covariante vector. En el modelo NJL, M jugaba el papel de la masa constituyente de los quarks. En el modelo espectral M se convierte en

5.3 ProblemŽatica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita

103

la variable de integracioŽn  de la funciŽon espectral. La diferencia esencial con el modelo NJL, y en general con todos los modelos de quarks quirales, es que aquŽi no consideramos un cutoff que separe el rŽegimen de baja energŽia, donde se supone que el modelo funciona, y el rŽegimen de alta energŽia.
En el capŽitulo 7 se haraŽ un estudio maŽs extenso del modelo espectral considerando un espacio-tiempo curvo, y se introduciraŽ el esquema de dominancia del mesŽon vectorial, que constituye una realizacioŽn simple del modelo y proporciona una forma explŽicita para la funciŽon espectral.

5.3. ProblemŽatica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita
El tratamiento estŽandar de los Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita presenta algunas inconsistencias. Por una parte, en el cŽalculo de observables aparecen involucrados estados excitados con cualquier nuŽmero de quarks, y esto ocurre incluso para temperaturas bajas. Sorprendentemente, durante mucho tiempo no ha habido demasiada preocupaciŽon por parte de los autores en resolver este problema, y normalmente lo han atribuido a fallos del propio modelo, tales como falta de confinamiento.

5.3.1. Tratamiento estŽandar a temperatura finita

El tratamiento estŽandar consiste en pasar de las fŽormulas con T = 0 hasta otras foŽrmulas para T = 0, mediante la aplicaciŽon de la regla

dk0 2

F

(k0,

k)



iT



F (iwn, k) ,

n=-

(5.42)

donde F puede representar el propagador de un quark, en espacio de momentos. n son las frecuencias de Matsubara fermiŽonicas, n = 2T (n + 1/2). Si aplicamos esta regla en el condensado quiral, a temperatura finita y a un loop se tiene



qq = -iNc

(-1)ntrDiracS(x)|x0=in = 4M T trc

n=-

n

d3k (2)3

n2

+

1 k2

+

M2

.

(5.43)

DespuŽes de hacer la integracioŽn en momentos, y aplicar la fŽormula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), queda

qq T =

qq

T =0

-

2

NcM 2

2T



(-1)n n

K1(nM

/T

)

n=1

T pequen~o

qq

T =0 -

Nc 2


(-1)n
n=1

2M T n

3/2
e-nM/T ,

(5.44)

donde se ha hecho uso del comportamiento asintŽotico de la funciŽon de Bessel Kn(z) para el rŽegimen de temperatura pequen~a Kn(z)  e-z /2z.

104

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

5.3.2. GeneraciŽon de estados multi-quarks

Ec. (5.44) se puede interpretar en tŽerminos del propagador del quark en espacio de

coordenadas

S(x) =



d4k e-ik·x (2)4 k/ -M

=

(i

/

+M

)

M2 42i

K1( -M 2x2) -M 2x2

.

(5.45)

El comportamiento de (5.45) a temperatura pequen~a es

S(x, i) T pequen~o e-M/T ,

(5.46)

lo cual representa la supresioŽn exponencial a temperatura pequen~a correspondiente al propagador de un uŽnico quark. Si nos fijamos en ec. (5.44), esto significa que el condensado de quarks se puede escribir en tŽerminos de factores de Boltzmann estadŽisticos con masa Mn = nM. Esto constituye un problema, pues significa que el ban~o tŽermico estŽa formado por quarks constituyentes libres, sin ninguŽn confinamiento de color.1
El condensado de quarks a temperatura finita no es invariante gauge (en el sentido de transformaciones gauge grandes). En efecto, del ejemplo del condensado se tiene



qq T =

(-1)n q(x0)q(0) |x0=in ,

n=-

(5.48)

o sea, el condensado a temperatura finita se puede escribir como una suma coherente de condensados de quarks no locales a temperatura cero. Notar que la contribucioŽn de temperatura cero corresponde al tŽermino n = 0 en la sumatoria. Bajo una transformaciŽon gauge de tipo central se tiene



qŻq T 

(-z)n qŻ(x0)q(0)

.

n=-

x0 =in

(5.49)

Esto significa que (5.48) no es invariante gauge, y el condensado se puede descomponer en
una suma de representaciones irreducibles con una trialidad dada n, lo cual genera estados con cualquier nuŽmero de quarks  e-nM .

1Este caŽlculo se puede extender a cualquier observable que sea singlete de color en el lŽimite de temperatura cero, y el resultado general que se obtiene es que los caŽlculos en modelos de quarks a temperatura finita en la aproximaciŽon de un loop van a generar todos los estados posibles de quarks, esto es

OT = OT =0 + Oqe-M/T + Oqqe-2M/T + · · · .

(5.47)

Notar que, si bien el tŽermino Oq corresponde al estado de un quark aislado, el siguiente tŽermino Oqq tiene que ser un estado diquark qq, correspondiente a un uŽnico quark que se propaga dando dos vueltas
alrededor del cilindro tŽermico. Este tŽermino no puede ser un estado mesŽonico qq, puesto que a un loop
este estado viene de la lŽinea de un quark que primero sube y despuŽes baja en tiempo imaginario. En este caso el camino no da ninguna vuelta alrededor del cilindro tŽermico, y por tanto su contribuciŽon estaŽ ya incluida en el tŽermino de temperatura cero OT =0.

5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales

105

Este problema se puede evitar imponiendo a mano que el condensado sea invariante gauge. Esto se harŽia eliminando de la suma en (5.49) los tŽerminos que no tienen trialidad cero, esto es



qŻq T

=

(-1)n qŻ(x0)q(0)

.

singlete

n=-

x0=iNcn

(5.50)

Esta fŽormula genera como primera correcciŽon un tŽermino bariŽonico Nc e-NcM . El factor Nc es generado por el loop de quarks.

5.3.3. Conflicto con TeorŽia Quiral de Perturbaciones

Aparte del problema de la generacioŽn de estados multi-quarks que no preservan trialidad, surge otra problemaŽtica cuando comparamos nuestros resultados con los de TeorŽia Quiral de Perturbaciones a temperatura finita. En el lŽimite quiral, esto es para m  2T  4f, las correcciones tŽermica de orden maŽs bajo al condensado de quarks (por ejemplo, para Nf = 2), vienen dadas por

qŻq T

=

TQP

qŻq T =0

1

-

T2 8f2

-

T4 384f4

+

··

·

.

(5.51)

 Puesto que f  Nc, las correcciones de temperatura finita estŽan suprimidas en Nc en relacioŽn a la contribucioŽn de temperatura cero. Este hecho contradice el resultado de

ec. (5.48), pues de ahŽi se obtiene que todas las correcciones tŽermicas son del mismo orden

en un contaje en Nc. El resultado de TQP, ec. (5.51), se ha obtenido considerando loops pioŽnicos, los cuales

son dominantes para T  M. El problema reside en que incluso sin loops pioŽnicos los

modelos de quarks quirales predicen una transiciŽon de fase quiral en torno a Tc  170 MeV, lo cual concuerda bien, aunque de manera injustificada, con los resultados en el retŽiculo.

5.4. Acoplamiento del loop de Polyakov en los Mode-
los de Quarks Quirales
A temperatura cero es posible preservar la invariancia gauge mediante el acoplamiento de los gluones con el modelo. Dentro del espŽiritu del modelo, estos grados de libertad deberŽian tratarse de un modo perturbativo, pues los quarks constituyentes llevan cierta informaciŽon sobre efectos gluŽonicos no perturbativos.
A temperatura finita la situacioŽn es diferente pues, como hemos dicho ya, un tratamiento perturbativo de la componente cero del campo gluŽonico romperŽia explŽicitamente la invariancia gauge. Por tanto, tiene sentido considerar aquŽi el loop de Polyakov gluoŽnico y su acoplamiento con los modelos quirales. K. Fukushima [104] sugiere este acoplamiento en virtud de la analogŽia que existe entre el loop de Polyakov y el potencial quŽimico (ver

106

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

sec. 2.1). El tratamiento que vamos a considerar nosotros parte del uso del heat kernel a temperatura finita (capŽitulo 2). Nuestra aproximaciŽon es similar a la de Fukushima, excepto por el hecho de que consideraremos un loop de Polyakov local (x) sujeto a fluctuaciones cuaŽnticas. Un tratamiento de campo medio no permitirŽia tener en cuenta estas fluctuaciones, y al final del capŽitulo veremos que Žestas pueden ser importantes para que los resultados del modelo se muestren compatibles con estudios recientes en el retŽiculo.

5.4.1. Acoplamiento mŽinimo del loop de Polyakov

En los modelos de quarks quirales debemos considerar quarks con grados de libertad de sabor y de color. A partir de ahora consideraremos el operador de Dirac, ec. (5.19), como un operador no trivial en espacio de color. Lo podemos escribir de la siguiente forma:

D =D/V + A/f 5 + M U 5 ,

(5.52)

donde D”V = ” + V”f + gV”c”0 es la derivada covariante vector. V”f y Af” son matrices antihermŽiticas en espacio de sabor y la identidad en el espacio de color. V”c es la identidad en espacio de sabor y matriz antihermŽitica en espacio de color. Los acoplamientos gauge de sabor daraŽn lugar a loops de Polyakov con quiralidades right y left.2 Los acoplamientos
gauge de color daraŽn lugar al loop de Polyakov con grados de libertad de color,

x0 +

c(x0, x) = T exp -g

dx0 V0c(x0, x) .

x0

(5.55)

c es una matriz en espacio de color, y la identidad en espacio de sabor. En esta tesis uŽnicamente nos vamos a preocupar del loop de Polyakov de color, que denotaremos como lo venimos haciendo hasta ahora, , de modo que el loop de Polyakov de sabor lo consideraremos igual a la identidad.
Si nos fijamos en ec. (5.26), podemos hacer uso del desarrollo del heat kernel a temperatura finita (capŽitulo 2) para obtener el lagrangiano efectivo como un desarrollo en derivadas covariantes. El lagrangiano va a tener la forma

L(x) = tr[fn((x))On(x)] ,
n

(5.56)

2El loop de Polyakov quiral de sabor se define

x0+

f (x0, x) = T exp -

dx0 (V0f (x0, x) + 5Af0 (x0, x)) .

x0

(5.53)

f es una matriz en espacio de sabor, y la identidad en espacio de color. En tŽerminos de campos right y left se escribe como f = RPR + LPL, donde

x0+

R,L(x0, x) = T exp -

dx0 (V0f (x0, x) ± Af0 (x0, x)) ,

x0

(5.54)

y

PR,L

=

1 2

(1

±

5).

Notar

que

la

simetrŽia

gauge

grande

en

espacio

de

sabor

a

temperatura

finita

precisa

del uso del loop de Polyakov quiral.

5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales

107

donde tr es la traza sobre todos los grados de libertad internos, n etiqueta todos los
operadores locales covariantes gauge On (esto es, que contienen derivadas covariantes), y fn((x)) son funciones dependientes de la temperatura y del loop de Polyakov. Estas funciones reemplazan los coeficientes numŽericos presentes en el caso de temperatura cero.
En estos cŽalculos, el loop de Polyakov aparece mŽinimamente acoplado a travŽes de las frecuencias de Matsubara fermiŽonicas modificadas3

n = 2T (n + 1/2 + ) ,  = (2i)-1 log  .

(5.57)

En nuestra notaciŽon  = ei2, donde (x) = igV0(x)/(2T ). El efecto de este cambio en

las frecuencias de Matsubara da lugar a la siguiente regla para pasar a las foŽrmulas con

T =0



F~(x; x) 

(-(x))nF~(x, x0 + in; x, x0) .

(5.58)

n=-

F (x; x) es el propagador fermiŽonico a temperatura finita que comienza y acaba en el mismo punto. En ec. (5.58) aparece el factor (-(x))n, en lugar del factor (-1)n que se obtiene de la regla estŽandar, ec. (5.42), despuŽes de usar la fŽormula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), y considerar la transformada de Fourier.
La interpretacioŽn de ec. (5.58) se puede visualizar en fig. 5.1. En un loop de quarks a temperatura finita con un nuŽmero arbitrario de campos externos y con una lŽinea de Wilson no trivial, cada vez que los quarks dan una vuelta alrededor de la direccioŽn temporal compatificada, estos adquieren una fase (-1) debido a la estadŽistica de Fermi-Dirac, y un factor no abeliano de Aharonov-Bohm4 . La contribucioŽn total del diagrama se obtiene sumando sobre todas las vueltas y calculando la traza en espacio de color.

5.4.2. Promedio sobre el grupo

En la secciŽon 5.4.1 se ha considerado el acoplamiento mŽinimo del loop de Polyakov con el modelo quark quiral, que consiste simplemente en hacer la sustitucioŽn

0  0 + gV0c ,

(5.59)

en el operador de Dirac, ec. (5.19). El modelo quark quiral acoplado con el loop de Polyakov se obtiene considerando el acoplamiento mŽinimo de ec. (5.59), y una integracioŽn del campo gluŽonico V0 de un modo que preserve invariancia gauge. Esto va a generar una funciŽon de particioŽn de la forma

Z = DU D e-G[]e-Q[U,] ,

(5.60)

3En nuestro tratamiento, n es el uŽnico sitio donde aparece la dependencia explŽicita en los grados de libertad de color, de modo que se puede pensar en  como el conjunto de sus autovalores.
4EŽ sta es una fase de tipo elŽectrico, diferente a la fase magnŽetica estaŽndar. No obstante, el nombre es
apropiado puesto que la fase elŽectrica fue discutida por primera vez en el artŽiculo original AB.

108

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

(-) n

Figura 5.1: Diagrama tŽipico de un loop de quarks con una lŽinea de Wilson no trivial. Para n vueltas alrededor de la direcciŽon temporal compactificada U(1), surge un factor topoloŽgico n ademaŽs del factor estadŽistico de Fermi-Dirac (-1)n. Las lŽineas onduladas son campos externos. La contribucioŽn total del diagrama se obtiene sumando sobre todas las vueltas y calculando la traza en espacio de color.

donde DU es la medida de Haar del grupo quiral de sabor SU(Nf )LŚSU(Nf )R, y D la medida de Haar del grupo de color SU(Nc). G es la accioŽn efectiva gluoŽnica y Q corresponde a la accioŽn efectiva de los quarks. Ec. (5.60) es una expresiŽon genŽerica, vaŽlida tanto para el modelo NJL como para el modelo espectral, siempre y cuando se considere la correspondiente accioŽn efectiva de los quarks: ec. (5.21) en el primer caso y ec. (5.41) para el segundo.
Si no se tuviera en cuenta la medida de Haar de color, y se considerara V0c = 0 y  = 1, se obtendrŽia la forma original del modelo quark quiral, donde existe una relacioŽn uno a uno entre el desarrollo en loops y el desarrollo en Nc grande, tanto a temperatura cero como a temperatura finita. De manera equivalente se podrŽia considerar una aproximaciŽon de punto de silla y sus correcciones. En presencia del loop de Polyakov tal correspondencia no existe, de modo que consideraremos un desarrollo en loops de quarks, esto es, una aproximaciŽon de punto de silla para el campo bosoŽnico U, y mantendremos la integracioŽn en el loop de Polyakov (constante) . En el trabajo de [104] se hace uso de la aproximaciŽon de punto de silla para .
La integracioŽn del loop de Polyakov  debe realizarse de acuerdo con la dinaŽmica de QCD. Esto implica un promedio sobre el loop de Polyakov local con cierto peso normalizado (; x) D. AquŽi (; x) es la distribuciŽon de probabilidad (independiente de la temperatura) de (x) en el grupo gauge. Para una funciŽon general f (), se tiene5

1 Nc

trc

f

()

=

D
SU(Nc )

()

1 Nc

Nc j=1

f (eij )

=

 -

d 2

^()f

(ei)

,

(5.61)

5f () se entiende como una funcioŽn ordinaria f (z) evaluada en z = .

5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales

109

donde eij , j = 1, . . . , Nc son los valores propios de  y

^() :=

D () 1

SU(Nc )

Nc

Nc j=1

2( - j) .

(5.62)

A temperatura suficientemente pequen~a, la distribuciŽon del loop de Polyakov se en-

cuentra muy cercana a la medida de Haar de SU(Nc).6 En este caso la funciŽon ^() es

simplemente

^()

=

1

-

2(-1)Nc Nc

cos

(Nc)

.

(5.63)

Introduciendo ec. (5.63) en ec. (5.61) se obtienen fŽacilmente las siguientes foŽrmulas para el

promedio sobre la medida de Haar de SU(Nc) Nc ,
trc(-)n SU(Nc) = -01, ,

n=0 n = ±Nc . otro caso

(5.64)

5.4.3. SolucioŽn de la problemŽatica

Si aplicamos este formalismo al condensado de quarks, nuestro modelo conduce a7

qq

T


=

1

n=- Nc

trc(-)n

q(x0)q(0) |x0=in .

(5.65)

Si tenemos en cuenta ec. (5.64), observamos que en nuestro modelo el loop de Polyakov no sŽolo permite eliminar los tŽerminos que rompen trialidad, sino que las contribuciones tŽermicas estŽan suprimidas en Nc en relacioŽn al valor de temperatura cero, tal y como se espera de TQP. Esto resuelve la problemaŽtica que discutimos en la secciŽon 5.3.
El condensado de quarks a temperatura finita, a un loop de quarks es

qq T =

qq

T =0

+

2M 2T 2Nc

K1(NcM/T )

+···

T pequen~o

qq T =0 + 4

MT 2Nc

3/2
e-NcM/T .
(5.66)

Los puntos indican efectos gluŽonicos o del mar de quarks de orden superior. Notar que

debido a la supresioŽn exponencial, las correcciones tŽermicas de oŽrden maŽs bajo a nivel

de un loop de quarks comienzan sŽolo a temperaturas cercanas a la transiciŽon de fase de

desconfinamiento. Hemos denominado a este efecto el enfriamiento de Polyakov [99, 100],

ya que es generado por el promedio de los loops de Polyakov sobre el grupo. Esto significa

que en la aproximaciŽon quenched, no se debe de esperar ninguŽn efecto tŽermico importante

sobre los observables de los quarks por debajo de la transiciŽon de fase, y el cambio maŽs

grande deberŽia de provenir de loops de bosones pseudoescalares a bajas temperaturas.

Esto es justo lo que se espera de TQP. Veremos maŽs adelante cŽomo estas propiedades se

modifican en presencia del determinante fermiŽonico.

6Esto se justificaraŽ en sec. 5.6.2. 7 La fŽormula (5.65) es la anŽaloga a ec. (5.48), pero considerando la fase no abeliana  y el promedio
sobre el grupo.

110

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

5.5. Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita

La estructura de QCD a bajas energŽias se puede describir muy bien en teorŽia quiral de perturbaciones. El desarrollo quiral corresponde a un desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos. Los campos pseudoescalares U son de orden O(p0), los campos vector V”, axial A” y cualquier derivada ” son de orden O(p). Los campos externos escalar S, pseudoescalar P y la matriz de masa de los quarks m0 son de orden O(p2).
Como se muestra en trabajos previos a temperatura cero [105, 106, 107, 108, 109], los modelos de quarks quirales permiten entender de un modo cuantitativo y microscŽopico la estructura del lagrangiano efectivo a bajas energŽias que se deduce de TQP para los mesones pseudoescalares a nivel Žarbol. En concreto, proporcionan valores numŽericos para las contribuciones de orden maŽs bajo en Nc de las constantes de baja energŽia.
En esta secciŽon vamos a extender los resultados de temperatura cero a temperatura finita, y consideraremos la influencia del loop de Polyakov. Siguiendo el mŽetodo desarrollado en el capŽitulo 2, y que ya aplicamos en el capŽitulo 3 para el cŽalculo de la accioŽn efectiva de QCD en el rŽegimen de temperatura alta, se puede escribir la estructura del lagrangiano efectivo a baja energŽia para los mesones pseudoescalares a temperatura finita a nivel aŽrbol, mediante un desarrollo de tipo heat kernel para los modelos de quarks quirales a nivel de un loop. En TQP a temperatura finita se considera en general que las constantes de baja energŽia son independientes de la temperatura. EŽsta es una suposiciŽon bastante razonable, ya que la aplicabilidad de TQP se basa en la existencia de un gap de masa entre los bosones de Goldstone y el resto del espectro hadrŽonico. Para mesones no extran~os el gap viene dado por la masa del mesoŽn , MV , de modo que es de esperar que la dependencia en temperatura de las constantes de baja energŽia sea del orden de e-MV /T . En un modelo quark quiral, los mesones pseudoescalares son partŽiculas compuestas de quarks constituyentes con una masa M, y los efectos tŽerminos tambiŽen deberŽian de influir en su estructura microscŽopica. El cŽalculo que realizaremos en esta secciŽon va a permitir analizar esto de una manera cuantitativa.

5.5.1. Estructura del lagrangiano
El cŽalculo del lagrangiano quiral efectivo a temperatura finita en los modelos de quarks quirales se limita, desde un punta de vista tŽecnico, al cŽalculo de trazas en espacio de Dirac y en espacio de sabor. En el apŽendice D se hace en detalle. Mostraremos aquŽi el resultado final.
El lagrangiano efectivo a baja energŽia escrito en la notaciŽon de Gasser-Leutwyler [27]

5.5 Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita

111

y en espacio euclŽideo se escribe

Lq(0)

=

2Nf (4)2

trcJ-2(, M, )

,

(5.67)

Lq(2)

=

f2 4

trf

D”U D”U - (U + U )

,

(5.68)

Lq(4) = -L1(trf (D”U D”U ))2 - L2trf (D”U DU )trf (D”U DU ) -L3trf (D”U D”U D U DU ) - L3trf (D0U D0U D”U D”U )

+L4trf (D”U D”U )trf (U + U ) +L5trf (D”U D”U (U + U )) + L5trf (D0U D0U (U + U )) +L5trf (D0D0U  + D0D0U ) - L6(trf (U + U ))2 - L7(trf (U - U ))2 +Ltrf (U D0D0U - U D0D0U )trf (U - U )

-L8trf (U U + U U )

-L9trf (F”RD”U DU + F”LD”U DU )
-L9trf (EiR(D0U DiU - DiU D0U ) + EiL(D0U DiU  - DiU D0U )) -L9trf (D0EiRU DiU + D0EiLU DiU ) +L10trf (U F”L U F ”R) +H1trf ((F”R )2 + (F”L )2) + H1trf ((EiR)2 + (EiL)2) - H2trf () .

(5.69)

trf es la traza en espacio de sabor. Las derivadas covariantes quirales son

D”U = D”LU - U D”R = ”U + l”U - U r”, F”R = [D”R, DR] = ”r - r” + [r”, r], F”L = [D”L, DL] = ”l - l” + [l”, l],

(5.70)

donde r” = V” + A”, y l” = V” - A”. . . . indica promedio sobre el grupo gauge de color SU(Nc). La estructura de este lagrangiano resulta bastante interesante. Por una parte existen tŽerminos que se pueden escribir como los del lagrangiano a temperatura cero, pero con acoplamientos efectivos dependientes de la temperatura. AdemaŽs de estos, existen nuevos tŽerminos que rompen invariancia Lorentz. Curiosamente, en el lagrangiano aparecen menos tŽerminos del segundo tipo de los que en un principio se podrŽia pensar en base a las simetrŽias conocidas. TodavŽia no entendemos del todo este hecho, que parece sugerir la existencia de alguna simetrŽia accidental. Si bien sospechamos que esta simetrŽia existe sŽolo a un loop, serŽia interesante encontrarla explŽicitamente.

5.5.2. LEC para el modelo de Nambu­Jona-Lasinio
Si bien Žesta es la estructura general que se ha encontrado para los modelos de quarks quirales, los valores de los coeficientes de baja energŽia dependen del modelo en particular.

112

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

Mostramos aquŽi los valores de las constantes de baja energŽia (LEC) obtenidas para el
modelo de Nambu­Jona-Lasinio. Para evitar complicaciones con el loop de Polyakov, hemos considerado el modelo NJL sin integracioŽn de los campos de espŽin 1 (vector y axial).8

Lq(0)

=

2Nf (4)2

trcJ-2

,

f2

=

M2 42

trcJ0

,

f2B0

=

M 42

trcJ-1

,

L1

=

M4 24(4)2

trcJ2

,

L2 = 2L1 ,

L3

=

-8L1

+

1 2

L9

,

L3

=

-

M2 6(4)2

trcJ 1

,

L4 = 0 ,

L5

=

M 2B0

f2 4M 2

-

3L9

,

L5

=

1 2

L3

,

L5

=

1 2

L3

,

L6 = 0 ,

L7

=

1 8Nf

-

f2 2B0M

+

L9

,

L

=

-

1 4Nf

L3

,

L8

=

1 16B0

1 M

-

1 B0

f2

-

1 8

L9

,

L9

=

M2 3(4)2

trcJ1

,

L9 = -L3 ,

L9 = -L3 ,

L10

=

-

1 2

L9

,

(5.71)

H1

=

-

f2 24M

2

+

1 4

L9

,

H

 1

=

-

1 6(4)2

trcJ 0

,

H2

=

-

f2 8B02

+

1 4

L9

,

donde las integrales Jl estŽan definidas en ecs. (D.22)-(D.26). Los coeficientes de Gasser-

Leutwyler estŽandar se pueden expresar en tŽerminos de f2, B0, L1 y L9, o de manera equi-

valente, en tŽerminos de las los tŽerminos que rompen la

integrales trcJ-1 simetrŽia Lorentz,

, trcJ0 excepto

H, t1r,csJo1n

y trcJ2 . Notar proporcionales.

que

todos

Si el loop de Polyakov  se considera igual a la unidad, las expresiones (5.71) siguen

siendo vaŽlidas, salvo por el hecho de que el promedio en el grupo y la traza de color deben

sustituirse por un factor Nc.

5.5.3. LEC para el Modelo Quark Espectral
En este modelo se debe hacer un promedio sobre la masa constituyente de los quarks con una funciŽon espectral () que actuŽa como peso (ver sec. 5.2.2). Notar que M no sŽolo aparece como argumento de las integrales Jl, sino que tambiŽen aparece en forma de factores multiplicativos. Esto daraŽ lugar a un nuŽmero mayor de funciones independientes
8En el capŽitulo 6 se calcularŽa la acciŽon efectiva del modelo NJL generalizado a temperatura cero con integracioŽn en estos campos.

5.5 Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita

113

en comparaciŽon con el modelo NJL.

Lq(0)

=

2Nf (4)2

trcJ-2

,

f2

=

1 42

2trcJ0

,

f2B0

=

1 42

trcJ-1

,

L1

=

1 24(4)2

4trcJ2

,

L9

=

1 3(4)2

2trcJ1

,

L3

=

-

1 6(4)2

2trcJ 1

,

L5

=

1 2(4)2B0

(

trcJ0

-

3trcJ1 ) ,

L7

=

1 2(4)2Nf

-

1 2B0

trcJ0

+ 42L9

,

L8

=

1 4(4)2B0

trcJ0

-

f2 16B02

-

1 8

L9

,

H1

=

-

1 6(4)2

trcJ0

+

1 4

L9

,

H

 1

=

-

1 6(4)2

trcJ 0

,

H2

=

1 2(4)2B0

1 B0

trcJ-1

-

trcJ0

-

f2 8B02

+

1 4

L9

.

(5.72)

Para simplificar la notaciŽon, con . . . indicamos tanto el promedio sobre el loop de Polyakov

como el promedio espectral C d() . . . . El resto de coeficientes satisfacen las mismas relaciones geomŽetricas que se obtuvieron para el modelo NJL. En ambos modelos se obtiene

la relacioŽn

L7

=

-

1 Nf

f2 16B02

+ L8

.

(5.73)

Podemos calcular explŽicitamente las integrales haciendo uso del esquema de dominancia vectorial de la funciŽon espectral () (ver sec. 7.4 y ref. [101]). DespuŽes de calcular el promedio en el grupo SU(Nc), se obtiene

trcJ-2
trcJ-1 trcJ-1
trcJ0

=

-

Nc 2

4

-

2MV4 3x4V

48 + 24xV + 6x2V + x3V

e-xV /2 ,

=

Nc2

-

2MV2 3x2V

12 + 6xV + x2V

e-xV /2 ,

= 3 Nc - 2e-xS/2 ,

= -Nc(0 + 0) + 2E - 4 log(4) + 4 log(xV ) - 2(5/2)

-

x5V 1800

1F2

{

5 2

},

{

72 ,

7 2

},

xV 4

2

-

x2V 12

2F3

{1,

1},

{-

1 2

,

2,

2},

xV 4

2

,

114

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

trcJ0 2trcJ0 2trcJ1 3trcJ1 4trcJ2
trcJ 0 2trcJ 1

=

-Nc1

-

23 MS2

(2

+

xS )e-xS/2

,

=

-Nc2

-

MV2 6

(2

+

xV

)e-xV

/2

,

=

Nc0

-

1 6

12 + 6xV + x2V

e-xV /2 ,

=

-

3x2S 2MS2

e-xS

/2

,

=

Nc0

-

1 24

48 + 24xV + 6x2V + x3V

e-xV /2 ,

=

-

1 3

12 + 6xV + x2V

e-xV /2 ,

=

-

x2V 12

(2

+

xV

)e-xV

/2

,

(5.74)

con la notaciŽon

xV := NcMV ,

xS := NcMS ,

(5.75)

donde MV es la masa del mesoŽn vectorial (masa del ), y MS es la masa del escalar. pFq[a1, . . . , ap; b1, . . . , bq; z] son las funciones hipergeomŽetricas generalizadas [52].

5.6. Correcciones de orden superior
En las secciones 5.4 y 5.5 hemos considerado los modelos de quarks quirales a nivel de un loop de quarks. Esto corresponde a la aproximaciŽon quenched dentro del modelo. Asimismo se ha hecho uso de que a temperaturas suficientemente pequen~as basta con considerar el promedio sobre el grupo gauge de color SU(Nc). En esta secciŽon discutiremos algunas consecuencias importantes que se obtienen al ir maŽs allŽa de estas aproximaciones.

5.6.1. MŽas allŽa de un loop de quarks
El ir maŽs allŽa de la aproximaciŽon de un loop de quarks puede conducir a cŽalculos bastante tediosos (ver refs. [110, 111] para cŽalculos explŽicitos del modelo NJL estŽandar sin loop de Polyakov). AquŽi no nos vamos a preocupar de hacer un cŽalculo explŽicito, no obstante se pueden deducir algunas consecuencias importantes basadas en ciertas reglas de contaje en Nc a temperatura finita.
Consideremos, por ejemplo, el diagrama a tres loops de la figura 5.2, que contribuye al condensado quiral en el modelo NJL en tŽerminos de los propagadores de los quarks. La contribucioŽn de este diagrama se escribe9

Fig.(2a) =

S(w(1))  S(w(1))  S(w(2))  S(w(3))  S(w(1) + w(3) - w(2)) .

w (1) ,w (2) ,w (3)

9Por simplicidad, escribimos uŽnicamente las frecuencias de Matsubara.

5.6 Correcciones de orden superior

115

01 001101

01 001101

0011 00011101 01
a

0011

01 0101

01 001101

b

0011 001101
c

Figura 5.2: Diagrama tŽipico maŽs allŽa de un loop para el operador del condensado de quarks qq. Las lŽineas de los quarks con momentos independientes pueden dar n vueltas alrededor del tiempo euclŽideo compactificado, dando lugar al factor de Fermi-Polyakov (-)n. La conservaciŽon de trialidad solamente permite que las lŽineas internas de quark-antiquark den una uŽnica vuelta y en sentidos opuestos, lo cual genera una supresioŽn exponencial e-2M para el diagrama a). Una supresioŽn similar ocurre para el diagrama b) si las vueltas del quark-antiquark ocurren en cada una de las burbujas. El diagrama c) se corresponde con una suma de todos los estados intermedios con los mismos nuŽmeros cuaŽnticos, y puede interpretarse como la lŽinea de un mesoŽn.

Haciendo uso de la fŽormula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), y yendo a espacio euclŽideo se tiene

Fig.(2a)

= 

n1 +n2 +n3
n1 ,n2 ,n3


d1d3 S(1)  S(-1 - 3 + n1 + n3) 
-

S(-3 + n2 + n3)  S(3)  S(3 - n3)

 e . n1+n2+n3 -M (|n1|+|n2|+|n3|)

(5.76)

n1 ,n2 ,n3

La conservaciŽon de trialidad para este diagrama implica, n1 + n2 + n3 = kNc, y el valor mŽinimo del exponente se consigue con n1 = n2 = n3 = 0, que es la contribucioŽn de temperatura cero. La primera correcciŽon tŽermica a temperatura pequen~a viene dada por n1 = 0, n2 = -n3 = 1, de modo que el diagrama a 3 loops de fig.(2a) se encuentra suprimido en un factor  e-2M , en comparaciŽon con la supresioŽn de un loop de quarks  e-NcM . Una supresioŽn tŽermica similar se obtiene si introducimos la suma estŽandar sobre burbujas, que puede acoplarse a los nuŽmeros cuaŽnticos de los mesones transformando el argumento del exponente en 2M  Mqq. Obviamente, esta contribucioŽn resulta maŽs importante para el pioŽn maŽs ligero. En realidad, el diagrama quark-mesŽon de la fig.(2b) es similar al diagrama bosonizado de dos loops que se muestra en fig.(2c). Para este diagrama bosonizado los argumentos previos resultan maŽs simples, ya que el nuŽmero de loops es igual al nuŽmero de propagadores de quarks. El operador de polarizacioŽn del pioŽn, proporcional al propagador del pioŽn, se puede tomar a temperatura cero, ya que la supresioŽn maŽs importante viene de las lŽineas de quarks que no estŽan acopladas a los nuŽmeros cuaŽnticos del pioŽn.

116

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

Para un diagrama bosonizado con L loops de quarks, tenemos que considerar L generalizaciones de las correcciones a nivel de un loop de quarks, ec. (5.58). El anŽalisis es maŽs simple en espacio de coordenadas. En lugar del nuŽmero total de propagadores de quarks, consideramos la suma de Poisson de L propagadores. Esto se puede hacer mediante la fŽormula









dx4F (x4 + n + m) =

dx4F (x4 + n) .

n,m=- 0

n=- -

(5.77)

Esto significa que es posible eliminar tantas sumas de Poisson como integrales en coor-
denadas aparecen en las expresiones. Haciendo uso de L = I - (V - 1) y 4V = E + 2I tenemos10

L i=0

d4ziG2L

L i=1

(-)ni

S

(xi

,

ti

+

ini)

.

n1,...,nL

(5.78)

En realidad, esta regla no depende de la forma precisa de la interaccioŽn de los quarks. A bajas temperaturas, cada lŽinea de quark con un Žindice de Poisson independiente genera una supresioŽn dada por una masa constituyente de quark. Por tanto, la contribucioŽn a un observable se puede descomponer esquemŽaticamente del siguiente modo

OT =

O  n1...nL n1+...nL e-M (|n1|+···+|nL|) .

L n1,...,nL

La conservaciŽon de trialidad de la medida   z a este nivel conduce a

(5.79)

n1 + · · · + nL = kNc

(5.80)

con k = 0, 1, 2, . . . . El tŽermino dominante en el desarrollo de ec. (5.79) es aquel para el que

n1 = . . . = nL = 0 con un nuŽmero arbitrario de loops de quarks L, y se corresponde con la contribucioŽn de temperatura cero. AdemaŽs, se ve que para L = 1 uŽnicamente se tienen

contribuciones de n1 = kNc, lo cual da lugar a correcciones e-NcM, que permiten reproducir los resultados de las secciones 5.4 y 5.5. A partir de la ec. (5.79) podemos ver cŽomo se

organiza el desarrollo tŽermico para temperaturas bajas. Las contribuciones tŽermicas maŽs

importantes vienen de minimizar

L i=1

|ni|,

sujeto

al

requerimiento

de

conservaciŽon

de

tria-

lidad, ec. (5.80). A temperatura finita y para Nc  3 se tiene que la primera correcciŽon

tŽermica viene dada por L = 2 y n1 = -n2 = 1 con n3 = . . . = nL = 0, lo cual da el factor

e-2M y se corresponde con un estado mesoŽnico qq. Esta contribucioŽn estŽa suprimida por

un factor 1/Nc en relacioŽn con la contribucioŽn de temperatura cero. Para Nc = 3 el siguien-
te tŽermino en el desarrollo corresponderŽia a L  3 y n1 = n2 = n3 = 1, lo cual da lugar a una supresioŽn tŽermica e-NcM . Para Nc  5 se tendrŽia L  4 con n1 = -n2 = n3 = n4 = 1

10L es el nuŽmero de loops de quarks, V el nuŽmero de vŽertices, I el nuŽmero de lŽineas de quarks y E el nuŽmero de patas externas.

5.6 Correcciones de orden superior

117

y n5 = . . . = nL = 0. Si consideramos el caso Nc = 3 se tiene11

ZqŻq



1 Nc

e-2M/T

,

Zqqq  e-NcM/T ,

ZqqqqŻq



1 Nc

e-(2+Nc

)M/T

,

...

Z(qŻq)NM (qqq)NB



1 NcNM

e-(2NM +NBNc)M/T

.

(5.81) (5.82) (5.83) (5.84) (5.85)

Obviamente, para Nc = 3 la contribucioŽn del loop mesoŽnico es maŽs dominante que la del loop bariŽonico. Los argumentos previos se han hecho sin tener en cuenta el efecto de confinamiento de los quarks, de modo que en realidad deberŽiamos considerar la masa fŽisica del mesoŽn m, y en este caso se tendrŽia

OT = OT =0 +

m

Om

1 Nc

e-m/T

+

B

OB e-MB/T + · · · .

(5.86)

AsŽi es como funciona la dualidad quark-hadroŽn en los modelos de quarks quirales a tempera-

tura finita. Como vemos, las contribuciones de los loops pioŽnicos son las maŽs importantes,

incluso si se tiene en cuenta que estŽan suprimidas en 1/Nc. La siguiente contribucioŽn al observable total a temperatura finita viene dada por los estados mesoŽnicos sucesivos. En su

conjunto, esto es lo que se espera como consecuencia de la inclusioŽn del loop de Polyakov

en los modelos de quarks quirales, teniendo en cuenta la proyeccioŽn sobre el sector singlete

de color invariante gauge.

En

definitiva,

a

temperatura

finita

se

tiene

una

supresioŽn

estŽandar

1 Nc

e-2M/T

prove-

niente de loops mesoŽnicos y una supresioŽn e-NcM/T de loops bariŽonicos. Obviamente, las

contribuciones maŽs importantes para Nc grande o T pequen~o son las debidas a loops mesoŽnicos.

La discusioŽn anterior estŽa centrada en observables que contienen quarks. Para el valor

esperado del loop de Polyakov, por ejemplo, se tiene

O  e n1...nL 1+n1+···+nL -M (|n1|+···+|nL|)
L n1,...,nL

(5.87)

y

1 + n1 + · · · + nL = kNc .

(5.88)

La contribucioŽn tŽermica de orden maŽs bajo (no existe contribucioŽn de temperatura cero) es n1 = -1, n2 = . . . = nL = 0, que se corresponde con un uŽnico loop de antiquark que

11En el caso en que no se considerara la existencia del loop de Polyakov, se tendrŽia ZqNq (qŻq)NM 

1 NcNM

e-(2NM +Nq)M/T

,

de

modo

que

las

contribuciones

de

orden

mŽas

bajo

corresponderŽian

a

estados

de

un

quark.

118

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

apantalla la carga del loop de Polyakov test. Este tŽermino escala como e-M/T . Al contrario que para observables con quarks como el condensado quiral, este comportamiento no se ve afectado por loops pioŽnicos. En sec. 5.6.4 obtendremos expresiones explŽicitas para estos observables en el modelo NJL.

5.6.2. Correcciones gluŽonicas

Hasta ahora hemos considerado simplemente una integracioŽn sobre la medida del grupo

gauge. Desafortunadamente, no conocemos ninguŽn argumento general por el cual tenga

que existir una supresioŽn exponencial de los grados de libertad gluoŽnicos a temperaturas

bajas, y por tanto dejando la medida de Haar como uŽnico vestigio de los gluones. No

obstante, los resultados basados en desarrollos con acoplamientos grandes [112, 113] y en

la aproximaciŽon de gluones masivos a un loop [114, 115] proporcionan esta supresioŽn, y de

hecho los resultados recientes en el retŽiculo confirman una sorprendente universalidad en

todas las representaciones de los grupos, y favorece el mecanismo dominante del promedio

simple sobre el grupo [94].

De manera maŽs especŽifica, de los datos del retŽiculo [94] y de la medida del grupo se

encuentra que

|trc |2 = 1 ,

(5.89)

en la fase de confinamiento, o de manera equivalente trc  = 0, para la representacioŽn adjunta. Notar que en la aproximaciŽon de campo medio [104] |trc |2 se anula, debido a la ausencia de fluctuaciones.
El potencial gluŽonico a orden maŽs bajo que se deduce del desarrollo con acoplamientos
grandes viene dado por [112, 113]

G[] = Vglue[] · a3/T = -2(d - 1) e-a/T trc 2 ,

(5.90)

para Nc = 3 con la tensiŽon de la cuerda  = (425 MeV)2. A nivel de campo medio Vglue[] da lugar a una transiciŽon de fase de primer orden con el acoplamiento crŽitico 2(d-1)e-a/TD =

0,5153. Se puede fijar la temperatura de transiciŽon a su valor empŽirico TD = 270 MeV mediante la eleccioŽn a-1 = 272 MeV [104]. La masa correspondiente es mG = a = 664 MeV.
A temperaturas pequen~as se puede desarrollar la exponencial en potencias de la accioŽn

gluŽonica

e-G[]

=

1

-

G[]

+

1 2

G[]2

+

·

·

·

,

(5.91)

lo que genera una supresioŽn exponencial del tipo e-mG/T . Esto da lugar a la siguiente

fŽormula de masas para el argumento de Boltzmann en la exponencial

M = nNcMq + mMqŻq + lmG ,

(5.92)

que muestra claramente que las contribuciones tŽermicas de orden maŽs bajo a temperaturas bajas vienen dadas nuevamente por los loops tŽermicos pioŽnicos, lo cual corresponde a tomar n = l = 0 y m = 1, pues NcMq  mG  Mqq = m. Notar que numŽericamente, incluso la contribucioŽn de dos loops pioŽnicos resultarŽia maŽs importante que las correcciones gluoŽnicas.

5.6 Correcciones de orden superior

119

En una serie de trabajos recientes [114, 115] se ha obtenido la ecuaciŽon de estado para un gas de gluones masivos con una masa dependiente de temperatura en presencia del loop de Polyakov, lo cual permite reproducir los datos del retŽiculo de manera bastante precisa por encima de la transiciŽon de fase. La densidad de energŽia de vacŽio se escribe

Vglue[] = T

d3k (2)3

trc

ln

1 - e-k 

,

(5.93)

donde k = k2 + m2G, con mG la masa del gluŽon. La dependencia en temperatura que se considera en estos trabajos es mG(T ) = T g(T ) 2, que en la transiciŽon de fase (T = TD) toma el valor mG(TD) = 1,2 - 1,3 TD. Si se toma un valor constante para la masa del gluoŽn por debajo de la transiciŽon de fase, a bajas temperaturas se obtiene

Vglue[] = -T



1 n

|trc n|2 - 1

n=1

d3k (2)3

e-nk

,

(5.94)

donde se ha hecho uso de la identidad

trc n = |trc n|2 - 1 .

(5.95)

Haciendo uso de la representacioŽn asintŽotica de las funciones de Bessel, se obtiene una supresioŽn similar a la que se encuentra en el lŽimite de acoplamientos grandes.

5.6.3. Correcciones locales en el loop de Polyakov

Vamos a considerar aquŽi un tratamiento preliminar de las correcciones locales en el loop de Polyakov. Hasta ahora se ha considerado un campo  constante en el espacio. De manera general, el loop de Polyakov depende tanto del tiempo euclŽideo como de las coordenadas espaciales. En el gauge de Polyakov la dependencia en tiempo euclŽideo es simple, pero auŽn queda una dependencia en coordenadas que es desconocida. En tal caso, las reglas anteriores deben ser modificadas, ya que las inserciones del loop de Polyakov llevaraŽn un momento, y el resultado depende de su ordenamiento. Si seguimos considerando, como hasta ahora, que el loop de Polyakov es la uŽnica fuente de color en el problema, nos vamos a encontrar con funciones de correlacioŽn de loops de Polyakov. En la fase de confinamiento es de esperar una descomposiciŽon basada en la existencia de propiedades de agrupamiento para cada par de variables. Por ejemplo, se tiene

trc(x1, ) trc-1(x2, )  e-|x1-x2| .

(5.96)

Por tanto, valores muy diferentes en la coordenada espacial estŽan suprimidos, de modo que tiene sentido considerar una aproximaciŽon local dentro de la longitud de correlacioŽn, y desarrollar las funciones de correlacioŽn en gradientes dentro de esta regioŽn. En una primera aproximaciŽon, esto se corresponde con la sustitucioŽn del volumen cuatridimensional por un dominio de correlacioŽn, mediante la regla

V

=

1 T

d3x

-

1 T

d3x e-r/T

=

8T 2 3

.

(5.97)

120

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

En el lagrangiano quiral a bajas energŽias, que se obtiene desarrollando la accioŽn efectiva en derivadas de los campos mesoŽnicos, aparecen tambiŽen gradientes del loop de Polyakov. Este hecho se comenta en ref. [100]. En realidad, puesto que estamos acoplando el loop de Polyakov de manera efectiva como un potencial quŽimico de color dependiente de x, nuestra aproximaciŽon es similar a una generalizacioŽn no abeliana de la aproximaciŽon de densidad local en teorŽia de muchos cuerpos de fŽisica nuclear y materia condensada, dentro del espŽiritu de la teorŽia del funcional de la densidad.

5.6.4. Resultados mŽas allŽa de la aproximacioŽn quenched

En esta secciŽon nos proponemos ir maŽs allŽa de la aproximaciŽon quenched en el cŽalculo de algunos observables concretos, y para ello deberemos tener en cuenta la contribucioŽn del determinante fermiŽonico. El modelo quark quiral completo con acoplamiento del loop de Polyakov viene dado por ec. (5.60). La contribucioŽn de los quarks a la funciŽon de particioŽn del modelo NJL se escribe como

ZQ[U, ] := e-Q[U,] = Det(D) exp

-

a2s 4

trf

d4x (M - m^0)2 ,

(5.98)

que se obtiene a partir de ecs. (5.22)-(5.23) donde se ha aplicado la ecuaciŽon del gap, ec. (5.28). En la secciŽon 5.5 se calculŽo del determinante fermiŽonico en presencia de un loop de Polyakov (lentamente variable), como un desarrollo en momentos externos de los campos

Det(D) = e- d4x Lq(x) = exp - d4x (Lq(0)(x) + Lq(2)(x) + Lq(4)(x) + · · · ) . (5.99)

De acuerdo con la discusioŽn de la secciŽon 5.6.3, la aproximaciŽon de loop de Polyakov lentamente variable tiene sentido en una regioŽn donde existen correlaciones fuertes entre loops de Polyakov. Para nuestros propŽositos, bastaraŽ con considerar aquŽi la contribucioŽn de vacŽio Lq(0). En el modelo de NJL esta contribucioŽn se escribe

Lq(0)(x)

=

-

NcNf (4)2

ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2)

i

+

Nf 2

(M T )2



(-1)n

K2(nM/T n2

)

trcn(x) + trc-n(x)

,

n=1

= L(q0)(T = 0) + L(q0)((x), T ) ,

(5.100)

que se obtiene a partir de ec. (5.67) y ec. (D.25). El lagrangiano se ha escrito separando dos contribuciones: temperatura cero y temperatura finita. Esta uŽltima contiene el loop de Polyakov. Notar que en este punto auŽn no hemos considerado la integracioŽn en el grupo gauge SU(Nc), de modo que no escribimos los corchetes . . . como hicimos en la secciŽon 5.5. En ec. (5.60) la integracioŽn en DU la hemos realizado a nivel clŽasico, mediante el uso de las

5.6 Correcciones de orden superior

121

ecuaciones clŽasicas de movimiento del campo U, ec. (D.30), (para detalles, ver apŽendice D). La funciŽon de particioŽn se puede escribir

Z=

D e-G[] exp -

d4x

a2s 4

trf

(M

- m^ 0)2

+ L(q0)(T

=

0) + L(q0)((x), T )

.

El valor esperado del loop de Polyakov se escribe

L

=

1 Nc

trc

=

1 NcZ

D e-G[]e-Q[] trc(x) ,

(5.101)

donde no indicamos dependencia de Q en U , pues nos limitamos a considerar Lq(0) que no tiene dependencia en los campos mesoŽnicos. El cŽalculo de ec. (5.101) puede hacerse
analŽiticamente en el lŽimite de temperatura pequen~a. En este rŽegimen pueden despreciarse las correcciones gluŽonicas e-G[] (ver secciŽon 5.6.2), de modo que en el promedio sobre el
grupo solamente contribuiraŽ la medida de Haar D. Cuando T es suficientemente pequen~o, se puede considerar el desarrollo del tŽermino L(q0)(, T ) en la exponencial de ec. (5.101). A primer orden en este desarrollo aparecen las siguientes funciones de correlacioŽn entre loops de Polyakov12

d4x D trc(x) trc(y) = 0 ,

(5.105)

d4x

D trc(x) trc-1(y) =

d4x

e-|x-y|/T

=

8T 2 3

.

(5.106)

La primera expresiŽon es cero por conservaciŽon de trialidad. La segunda expresiŽon constituye la regla que mencionamos en ec. (5.97), que permite sustituir el cuadrivolumen infinito
d4x, por un volumen efectivo que especifica un dominio de correlacioŽn 8T 2/3. Con todo esto se llega finalmente al siguiente resultado en el modelo NJL

L(T )

T pequen~o

4Nf Nc3

2M 3 

T

9

e-M/T

.

(5.107)

Notar que la trialidad no se preserva, debido a la presencia de quarks dinaŽmicos, y la escala relevante es la masa constituyente de los quarks. Gracias a esta supresioŽn exponencial,

12Si se considera un loop de Polyakov independiente de x, se tiene la siguiente fŽormula de integracioŽn

sobre el grupo SU(Nc)

D

ij kl

=

1 Nc

ik

jl

,

(5.102)

que conduce trivialmente a

D trc trc-1 = 1 .

(5.103)

Al considerar correcciones locales, se tiene

D trc(x) trc-1(y) = e-|x-y|/T .

(5.104)

122

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

estŽa justificado usar de manera efectiva el loop de Polyakov como un paraŽmetro de orden para la simetrŽia del centro incluso en el caso unquenched. En realidad, nuestro anŽalisis sugiere que un cŽalculo del loop de Polyakov en QCD completo podrŽia constituir un mŽetodo para extraer una masa constituyente de los quarks invariante gauge. En cualquier caso, serŽia deseable disponer de datos en el retŽiculo del loop de Polyakov para temperaturas bajas, T  50 MeV, con objeto de hacer un anŽalisis preciso.
Para el condensado de quarks, hacemos uso de

qq

T

=

-f2B0

=

-

M 42

trcJ-1

,

(5.108)

que obtuvimos en ec. (5.71). Al tener en cuenta la contribucioŽn del determinante fermiŽonico,

se tiene

qq

T

=

-

M 42

1 Z

D e-G[]e-Q[] trcJ-1(M, ) .

(5.109)

La expresiŽon de J-1 viene dada en ec. (D.24). A partir de aquŽi, el procedimiento para hallar el comportamiento de qq T a baja temperatura es idŽentico al caso del valor esperado del loop de Polyakov. En el rŽegimen de T pequen~o, nuevamente e-G[] se puede despreciar, y podemos desarrollar el tŽermino L(q0)(, T ) que aparece en e-Q[]. Teniendo en cuenta las
integrales (5.105)-(5.106), se llega a

qq T T pequen~o

qq

T =0 +

8Nf 2

M3T 3

6

e-2M/T

.

(5.110)

En el modelo quark espectral se obtiene el resultado de ec. (5.110), con la sustitucioŽn 2M  MV (la masa del mesoŽn ), y un factor multiplicativo ligeramente diferente.
Como vemos, en el cŽalculo unquenched el enfriamiento de Polyakov persiste, aunque es un poco menos efectivo que en el cŽalculo quenched. Este mismo anŽalisis se puede hacer para otros observables, por ejemplo las constantes de baja energŽia del lagrangiano efectivo quiral tienen un comportamiento LTi - LTi =0 T pequen~o e-MV /T [100].
Finalmente, serŽia necesario incluir maŽs loops de quarks, o equivalentemente excitaciones mesoŽnicas. Esto darŽia exactamente el resultado de TQP con piones sin masa dominando en la regioŽn de temperaturas pequen~as. Por tanto, vemos que cuando el loop de Polyakov se acopla de manera conveniente a los modelos de quarks quirales, se obtiene una explicaciŽon natural de los resultados encontrados hace tiempo en modelos puramente hadroŽnicos.

5.7. Implicaciones sobre la transiciŽon de fase de QCD
En la secciŽon 5.6 se hizo un estudio analŽitico del comportamiento a baja temperatura del loop de Polyakov y del condensado quiral en QCD unquenched. ResultarŽia interesante estudiar el comportamiento que predice nuestro modelo para estos observables en la regioŽn de la transiciŽon de fase, y para ello deberemos integrar numŽericamente las ecuaciones (5.101) y (5.109). A diferencia de nuestro tratamiento, en ref. [104] se hace un estudio en la aproximaciŽon de campo medio, en el cual la probabilidad de encontrar un loop de

5.7 Implicaciones sobre la transiciŽon de fase de QCD

123

Polyakov dado es una funciŽon delta. La integral en el grupo permite tener en cuenta una dispersioŽn de esa probabilidad debido a efectos cuaŽnticos.
Para Nc = 3 el loop de Polyakov contiene dos variables independientes. En el gauge de Polyakov, 0A0 = 0, se puede parametrizar como una matriz diagonal del siguiente modo

 = diag(ei1 , ei2, e-i(1+2)) .

(5.111)

Con esta parametrizaciŽon, podemos calcular la funciŽon de particiŽon como

Z=

D e-G[]e-Q[] =

 -

d1 2

d2 2

G(1,

2)Q(1,

2)

,

(5.112)

donde

D e-G[]

=

d1 2

d2 2

G(1, 2) ,

e-Q[] = Q(1, 2) .

(5.113)

En Q[] no indicamos dependencia en los campos mesoŽnicos U, pues al igual que en sec. 5.6.4 nos limitaremos a considerar la contribucioŽn de vacŽio L(q0) del lagrangiano quiral,
ec. (5.100). Para una funciŽon general f (), se tiene

trcf ()

=

1 Z

 -

d1 2

d2 2

G(1, 2)Q(1, 2)(f (ei1)

+

f (ei2 )

+

f (e-i(1+2)))

=

1 Z

 -

d1 2

^(1)f (ei1) ,

(5.114)

donde

^(1) = 3

 -

d2 2

G(1,

2)Q(1,

2)

.

(5.115)

Por invariancia gauge, tanto la medida de Haar D, como las correcciones gluoŽnicas e-G[],

las contribuciones fermiŽonicas e-Q[], y trcf () son invariantes frente al intercambio de los autovalores del loop de Polyakov. Esto permite expresar trcf () como una integral en un uŽnico paraŽmetro, tal y como se expresa en ec. (5.114), con la funciŽon peso adecuada,

ec. (5.115).

En nuestro tratamiento consideramos la integracioŽn sobre el grupo SU(3) y una minimi-

zacioŽn con respecto a M, lo cual se corresponde con ec. (5.28). Esto uŽltimo permite calcular

la dependencia en temperatura de la masa constituyente, y de ahŽi obtener el condensado

quiral

qq

T

=

-

a2s 2

trf

(M

(T

)

- m^ 0) .

(5.116)

Puesto que la constante de acoplamiento de cuatro quarks as parametriza informaciŽon sobre los gluones, deberŽia de tener una dependencia en . No obstante, as incorpora informaciŽon sobre todos los grados de libertad gluŽonicos, de modo que no deberŽia de verse muy afectado por la contribucioŽn de , donde  viene dado uŽnicamente por la componente temporal de los gluones.

124

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

Parametros de orden

1 L
<qq>T/<qq>0 0.8

0.6

0.4 0.2
0 0

Estandar Gluodinamica Campo medio Nuestro modelo
50 100 150 200 250 300 350 400 450 T (MeV)

Figura 5.3: Dependencia en temperatura del condensado quiral qŻq en unidades relativas, y del valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc. El resultado estŽandar de qq T se corresponde con el modelo NJL sin acoplamiento con el loop de Polyakov. Se compara tambiŽen por una parte con la aproximaciŽon de campo medio de ref. [104], donde el loop de Polyakov es clŽasico y estŽa acoplado con los quarks, y por otra con nuestro modelo basado en la integracioŽn sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se muestra asimismo el comportamiento de L en gluodinaŽmica dentro del esquema de desarrollo con acoplamientos grandes, ec. (5.90). Se ha considerado Nf = 2.
En fig. 5.3 se muestra el comportamiento del condensado quiral qq T y el valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc en diferentes tratamientos del modelo NJL. Se compara la predicciŽon estŽandar del modelo NJL, con el cŽalculo en aproximaciŽon de campo medio de ref. [104], que corresponde a minimizar la energŽia de vacŽio como funciŽon de la masa constituyente M y del valor esperado del loop de Polyakov L. Comparamos asimismo con el resultado que obtenemos al considerar una integracioŽn en el loop de Polyakov  con correcciones locales. En la figura se muestra ademaŽs el comportamiento de L que se obtiene en gluodinŽamica, con el modelo de ec. (5.90) en su tratamiento de campo medio, lo cual conduce a una transiciŽon de fase de primer orden en TD = 270 MeV. En nuestros cŽalculos estamos considerando el modelo quark quiral con dos sabores Nf = 2, y para la masa desnuda de los quarks m^ 0 = diag(mu, md) consideramos el lŽimite en que hay simetrŽia de isospŽin, mu = md  mq. En los tres modelos hemos tomado mq = 5,5 MeV, y a2s = 76,2 · 10-3 GeV2. La integracioŽn en momentos estŽa regulada por un cut-off PV = 828 MeV con regularizacioŽn de Pauli-Villars. Este valor es el que se necesita para reproducir el valor experimental de la constante de desintegracioŽn dŽebil del pioŽn f = 93,2 MeV, con la masa constituyente M = 300 MeV. Para la tensiŽon de la cuerda consideramos su valor a temperatura cero  = (425 MeV)2. Este paraŽmetro aparece cuando se calculan funciones de correlacioŽn de loops de Polyakov (por ejemplo, ec. (5.106)).
El efecto neto de la integracioŽn sobre el grupo de color SU(3) consiste en un desplazamiento de la temperatura de transiciŽon quiral a valores mayores, respecto a las tempera-

5.7 Implicaciones sobre la transiciŽon de fase de QCD

125

L/T [GeV-1] <qq>/T [GeV2]

14

L/T

1

12

<qq>/T

10

0.8

8

0.6

6 0.4
4
0.2 2

0

0

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

T(MeV)

Figura 5.4: Dependencia en temperatura de  qŻq /T y L/T , obtenida con el modelo NJL basado en la integracioŽn sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se ha tomado Nf = 2.
turas que se obtienen en los tratamientos estŽandar y de campo medio. Por tanto, el modelo basado en la integracioŽn sobre el grupo de color proporciona un enfriamiento efectivo, no sŽolo en el rŽegimen de temperaturas pequen~as (ver secciones 5.4.3 y 5.6.4), sino tambiŽen en el rŽegimen de la transiciŽon de fase. Como se ve en fig. 5.3, el acoplamiento del modelo quark quiral con gluodinŽamica modifica la transiciŽon de fase de primer orden de gluodinaŽmica en una transiciŽon de fase de segundo orden. Un estudio de la susceptibilidad de los paraŽmetros de orden quiral qq y de desconfinamiento L, permite ver que con nuestro modelo ambas transiciones de fase (quiral y de desconfinamiento) se producen simultŽaneamente: T = TD = 256(1) MeV; (ver fig. 5.4).
En fig. 5.5 se compara el comportamiento del loop de Polyakov obtenido en nuestro modelo, con cŽalculos en el retŽiculo para QCD unquenched (Nf = 2) en la zona de transiciŽon de fase. Estos datos se han calculado en un retŽiculo de taman~o 163 Ś4, con mq/T = 0,4 [22]. Se muestra asimismo el comportamiento del condensado quiral. Hemos comprobado que una dependencia en temperatura de la tensiŽon de la cuerda  permite compatibilizar los resultados de nuestro modelo con los obtenidos en el retŽiculo. Esto conduce a un rango de incertidumbre en la tensiŽon de la cuerda,  = 0,181 ± 0,085 GeV2, que da cuenta en cierto sentido de la incertidumbre existente en el modelo. En fig. 5.5 la banda de error asociada a esta incertidumbre conduce a una temperatura de transiciŽon de T = TD = 255 ± 50 MeV. Si se ignoraran en el modelo las correcciones gluŽonicas dadas por ec. (5.90), no existirŽia un efecto apreciable por debajo de la transiciŽon de fase, si bien Žesta aumentarŽia en 30 MeV, un valor que se encuentra dentro de nuestra estimacioŽn del error.
Con objeto de comprender el mecanismo de rotura de la simetrŽia del centro en nuestro modelo, podemos estudiar cŽomo evoluciona la distribuciŽon ^(), ec. (5.115), a travŽes de la transiciŽon de fase, y observar explŽicitamente los efectos generados por las contribuciones fermiŽonicas e-Q[]. En fig. 5.6 se muestra esta evoluciŽon. Por debajo de la transiciŽon de

126

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

Parametros de orden

1

L

<qq>T/<qq>0 0.8

0.6

0.4
N=4, ref. [22] Nuestro modelo 0.2

0

0

50 100 150 200 250 300 350 400 450

T (MeV)

Figura 5.5: Dependencia en temperatura del condensado quiral qŻq y del valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc, obtenido con el modelo NJL basado en la integracioŽn sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se ha tomado Nf = 2. Las bandas de error corresponden a una incertidumbre en la tensioŽn de la cuerda  = 0,181 ± 0,085 GeV2. Se compara con los datos del retŽiculo para QCD con 2 sabores, obtenidos en [22].

fase la funciŽon de distribuciŽon ^() presenta tres mŽinimos en valores de  equidistantes, tal y como exige la simetrŽia del centro Z(3). En este caso el determinante fermiŽonico no produce una modificacioŽn importante. Cuando la transiciŽon de fase tiene lugar, aparece una concentraciŽon interesante de Žangulos en la regioŽn cercana al origen  = 0, debida a los quarks, lo que genera una fuerte rotura de la simetrŽia del centro. A medida que la temperatura aumenta, la distribuciŽon del loop de Polyakov tiende a ser maŽs picuda en torno a  = 0, y este pico domina la integral en . Notar que la distribucioŽn ^G() en gluodinŽamica no presenta rotura explŽicita de la simetrŽia del centro para ninguŽn valor de T , de modo que el uŽnico mecanismo posible en este caso es la rotura espontŽanea.
Nuestro modelo permite calcular el valor esperado del loop de Polyakov en otras representaciones. En fig. 5.7 se muestra el comportamiento del valor esperado del loop de Polyakov en representacioŽn adjunta, trc /(Nc2 - 1). Para ello hemos hecho uso de la identidad (5.95) con n = 1. De acuerdo con los datos del retŽiculo obtenidos con el modelo matricial de ref. [94], el valor esperado se anula por debajo de la transiciŽon de fase. Notar que este hecho no se cumple en el tratamiento de campo medio, para el cual se obtiene el valor -1/(Nc2 - 1) (de ec. (5.95)). El considerar la integracioŽn sobre el grupo conduce a unos resultados acordes con lo que se espera de los estudios en el retŽiculo. En fig. 5.7 se muestra tambiŽen el comportamiento del loop de Polyakov en representacioŽn fundamental, y la fluctuacioŽn total del loop de Polyakov, que definimos como





1 Nc

trc trc-1

-

trc

2

=

1 Nc

1 + trc - trc 2 .

(5.117)

5.8 Conclusiones

127

  

4.5

4

GG+Q

3.5

3

2.5

T = 200 MeV

2

1.5

1

0.5

0

-3

-2

-1

0

1

2

3



4.5

4

GG+Q

3.5

3

2.5

T = 255 MeV

2

1.5

1

0.5

0

-3

-2

-1

0

1

2

3



4.5

4

GG+Q

3.5

3

2.5

T = 300 MeV

2

1.5

1

0.5

0

-3

-2

-1

0

1

2

3



Figura 5.6: Dependencia en temperatura de la distribuciŽon del loop de Polyakov ^(), ec. (5.115). ^G corresponde a la distribuciŽon en gluodinŽamica (sin contribucioŽn de quarks) procedente de la medida de Haar junto con el esquema del desarrollo en acoplamientos gran-
des a orden maŽs bajo, ec. (5.90), y ^G+Q incluye contribuciones de quarks de acuerdo con el modelo NJL. Se toma Nf = 2. Se consideran tres temperaturas: T = 200, 255, 300 MeV; por debajo de la transiciŽon de fase, en la transiciŽon y por encima, respectivamente.

 da cuenta de manera conjunta de las fluctuaciones en la parte real e imaginaria de . Esta fluctuacioŽn tiende a cero a temperaturas grandes, lo cual es compatible con el hecho de que la distribuciŽon ^() se hace muy picuda en torno a  = 0 en el rŽegimen de T grande.

5.8. Conclusiones
En este capŽitulo hemos estudiado cŽomo la introduccioŽn del loop de Polyakov permite resolver los problemas que presentan los modelos de quarks quirales a temperatura finita en su tratamiento estŽandar. Con objeto de preservar la invariancia gauge explŽicita a temperatura finita es necesario mantener de un modo no perturbativo ciertos grados de libertad gluŽonicos. En la praŽctica, y en gauges particulares tales como el gauge de Polyakov, esto se corresponde con tratar la componente cero del campo del gluŽon como un potencial quŽimico dependiente del color en el propagador del quark. Esto da lugar a una fuente de color que va a generar todos los estados posibles de quarks, los cuales pueden no ser singletes de color (incluso a bajas temperaturas, en la fase de confinamiento de color). Para evitar este problema, es necesario proyectar sobre los estados fŽisicos que son singletes de color, lo cual se consigue de un modo elegante haciendo la integral funcional sobre el campo V0c de un modo que se preserve la invariancia gauge.
De este anŽalisis en la aproximaciŽon quenched y a nivel de un loop de quarks, encontramos que existe una supresioŽn de los efectos tŽermicos en los observables hadroŽnicos por debajo de la transiciŽon de fase, que surge de la conservaciŽon de la trialidad en una fase en que la simetrŽia quiral estŽa espontŽaneamente rota. A este efecto lo hemos denominado

128

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

1

Lfund

Ladj



0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

50

100 150 200 250 300 350 400 450

T (MeV)

Figura 5.7: Dependencia en temperatura del valor esperado del loop de Polyakov en representacioŽn fundamental trc /Nc y en representacioŽn adjunta trc  /(Nc2-1), y fluctuacioŽn total del loop de Polyakov . Resultados obtenidos en el modelo NJL con integracioŽn en el grupo de color SU(3). Se considera Nf = 2.
enfriamiento de Polyakov de las excitaciones de los quarks. En particular, la transiciŽon de fase quiral no puede ocurrir antes que la transiciŽon de desconfinamiento del color. En esta situacioŽn, el mayor cambio a bajas temperaturas en los observables tales como el condensado de quarks debe de provenir de los loops de pseudoescalares, y quizaŽs a temperaturas intermedias de resonancias mesoŽnicas de orden mayor. Esto es precisamente lo que se espera de TPQ o de las aproximaciones unitarias con inclusiŽon efectiva de estos loops en las resonancias.
Nuestros argumentos muestran tambiŽen cŽomo, debido al enfriamiento de Polyakov, los modelos de quarks quirales se muestran de acuerdo con las suposiciones teoŽricas de TQP a temperatura finita. Para ver cŽomo se materializa esto en la praŽctica hemos calculado el lagrangiano quiral a temperatura finita a nivel de un loop de quarks y a nivel aŽrbol para los mesones. El lagrangiano resultante se puede descomponer en una parte con la misma estructura que a temperatura cero, pero con constantes de baja energŽia dependientes de la temperatura, y otra parte con nuevos tŽerminos que rompen la invariancia Lorentz, que surgen como consecuencia de que el ban~o tŽermico estŽa en reposo. En cualquier caso, los efectos tŽermicos en las constantes de baja energŽia a este nivel de aproximaciŽon muestran el enfriamiento de Polyakov. En otras palabras, por debajo de la transiciŽon de fase cualquier dependencia en temperatura sobre las constantes de baja energŽia a nivel aŽrbol puede ser despreciada. EŽsta es precisamente la suposiciŽon inicial de TQP.
En el capŽitulo hemos analizado algunas consecuencias que se obtienen al considerar el tratamiento de los modelos de quarks quirales acoplados con el loop de Polyakov, maŽs allŽa de un loop de quarks. Como consecuencia de la integracioŽn en el grupo gauge de color SU(Nc), encontramos que para observables que contienen quarks las contribuciones maŽs importantes a temperaturas pequen~as proceden de loops mesoŽnicos, con una supresioŽn

5.8 Conclusiones

129

estŽandar

a

bajas

temperaturas

de

1 Nc

e-2M/T

.

Los

loops

bariŽonicos

producen

contribuciones

maŽs pequen~as e-NcM/T . Un anŽalisis de las correcciones gluŽonicas permite ver que Žestas

tienden a contribuir de manera apreciable uŽnicamente por encima de la transiciŽon de fase.

Hemos estudiado cŽomo se modifican los resultados al considerar la introduccioŽn del

determinante de quarks en el cŽalculo de observables como el condensado quiral y el va-

lor esperado del loop de Polyakov, y se ha hecho asimismo un tratamiento preliminar de

las correcciones locales en el loop de Polyakov. Este determinante conduce a una rotura explŽicita de la simetrŽia del centro, que es maŽs acentuada a temperaturas grandes. EŽste es el

mecanismo por el cual el modelo quark acoplado con loop de Polyakov genera la transiciŽon

de fase de desconfinamiento. Un anŽalisis de los resultados muestra que ambas transiciones

de fase (quiral y de desconfinamiento) se producen simultŽaneamente. En el tratamiento

unquenched el enfriamiento de Polyakov persiste, aunque es menos efectivo que en el caso

quenched. El cŽalculo del valor esperado del loop de Polyakov en representacioŽn adjunta es

un ejemplo de que el tratamiento del modelo quark con integracioŽn en el grupo gauge de

color es maŽs adecuado que el tratamiento de campo medio de ref. [104].

130

CapŽitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

CapŽitulo 6
Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias
El tensor energŽia-impulso (TEI) juega un papel muy importante en teorŽia cuaŽntica de campos, pues surge como una corriente de Noether del grupo de PoincarŽe. Es conservado en todas las teorŽias locales relativistas, incluso cuando no existen otras cargas conservadas. En QCD, el TEI da cuenta de la interaccioŽn de los quarks y gluones con los gravitones.
Desde un punto de vista fenomenolŽogico, las colisiones profundamente inelaŽsticas proporcionan informaciŽon relevante sobre la fracciŽon de momento que llevan los quarks y los gluones dentro de un hadrŽon a una escala dada [116]. Las determinaciones basadas en el intercambio de un gravitoŽn estŽan fuera de lugar debido a que la constante de gravitacioŽn resulta pequen~Žisima en comparaciŽon con los procesos dŽebiles y fuertes. El factor de forma gravitacional del pioŽn se puede usar para determinar la anchura de desintegracioŽn de un bosoŽn de Higgs ligero en dos piones [117]. En el pasado hubo algunos intentos de calcular el TEI en el retŽiculo [118], pero no se han encontrado resultados de interŽes praŽctico para los elementos de matriz entre estados hadrŽonicos con momentos diferentes.
En este capŽitulo vamos a estudiar la estructura del TEI en varios modelos de quarks quirales.1 En concreto trataremos el Modelo Quark Constituyente, el Modelo de Nambu­ Jona-Lasinio (NJL) [29] y el Modelo de Georgi-Manohar (GM) [120]. El capŽitulo estŽa basado en la referencia [109].
6.1. Tensor EnergŽia-Impulso
El tensor energŽia-impulso en cualquier teorŽia se puede calcular an~adiendo una mŽetrica externa g”(x) que se acople con los campos de materia de un modo completamente covariante. El TEI se obtiene de calcular la derivada funcional de la accioŽn con respecto a
1Consideraremos gravedad de Einstein. Esto quiere decir que haremos uso de la conexiŽon de Riemann, definida sin torsiŽon y preservando la mŽetrica. Una extensioŽn a gravedad con torsiŽon es posible [119].
131

132 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias

g”(x), en torno a la mŽetrica plana ”,2

1 2

”

(x)

=

S g” (x)

g” =”

donde

S = d4x-g L(x) .

(6.1) (6.2)

A nivel cuaŽntico el comportamiento a alta energŽia de ” se puede mejorar si se reali-
zan ciertas correcciones transversales convenientemente elegidas. Al hacer esto se pone de manifiesto una anomalŽia de la traza que relaciona ”” con la divergencia de la corriente de dilataciŽon, lo cual sen~ala la rotura anŽomala de la invariancia de escala. Un valor esperado diferente de cero para 0|””|0 estŽa relacionado con la existencia de un condensado gluoŽnico, que genera identidades de Ward de escala [121].
En el desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos que se considera
en TeorŽia Quiral de Perturbaciones, los campos pseudoescalares U y la mŽetrica g” son orden O(p0). La estructura maŽs general de ” hasta correcciones de orden cuatro, es [122]

” = ”(0) + ”(2) + ”(4) + · · ·

(6.3)

con

”(0) = -” L(0),

”(2)

=

f2 2

D”U DU

- ” L(2),

”(4) = -” L(4) + 2L4 D”U DU U + U 

+ L5 D”U DU + DU D”U U + U 

- 2L11 ”2 - ” DU DU

- 2L13 ”2 - ” U + U 

- L12 ”2 + ”  - ”  - ”

DUDU ,

(6.4) (6.5)

donde A = tr A indica la traza en espacio de sabor. El desarrollo quiral del lagrangiano presenta una estructura del tipo [122]

L = L(0) + L(2,g) + L(2,R) + L(4,g) + L(4,R) + · · · ,

(6.6)

donde el superŽindice g indica contribuciones mŽetricas (acoplamiento mŽinimo con gravedad), y R indica contribuciones que contienen el tensor de curvatura de Riemann (o sus contracciones). Las contribuciones mŽetricas se pueden obtener directamente del cŽalculo del lagrangiano quiral efectivo en espatio-tiempo plano. Sin embargo, los tŽerminos con L11-L13 son contribuciones genuinas de curvatura, pues no se pueden obtener del caso plano. Estos coeficientes de baja energŽia surgen a nivel hadrŽonico debido a efectos cuaŽnticos.
2Usaremos el convenio  = diag(1, -1, -1, -1).

6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad

133

6.2. Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad
El acoplamiento de fermiones con gravedad es bien conocido [123], pero no en el contexto de modelos de quarks quirales. En esta secciŽon haremos un estudio de este acoplamiento, de modo que no se introduzcan nuevos campos aparte de los del caso plano y la mŽetrica. Usaremos el formalismo de tŽetradas para espacio-tiempo curvo.3

6.2.1. Formalismo de tŽetradas

Dado el tensor mŽetrico g”(x), introducimos una base local de vectores ortogonales

(tŽetrada)

g”(x) = e”A(x)eB(x)AB .

(6.7)

Las tŽetradas satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad

” = ABe”AeB = e”AeA ,

BA = g” eA” eB = eA” e”B.

(6.8)

Bajo transformaciones generales de coordenadas x”  x”(x) y de Lorentz xA  ABxB, las tŽetradas se transforman respectivamente como

eA”



x x”

eA

,

eA”  AB(x)eB” .

(6.9)

Las tŽetradas transforman tensores de coordenadas en tensores de Lorentz (que se transforman de manera covariante bajo transformaciones de Lorentz locales), por ejemplo

T AB = eA” eB T ” .

(6.10)

Los tensores de Lorentz son invariantes bajo transformaciones de coordenadas x”  x”. Para un tensor general, por ejemplo TA, los Žindices griegos se transforman de manera covariante bajo transformaciones de coordenadas mientras que los latinos lo hacen bajo
transformaciones de Lorentz, de modo que

TA



x” x

x x

BA

(x)T”B

.

La derivada covariante se define como

(6.11)

d”TA = ”TA - ”TA + ”TA + AB”TB ,

(6.12)

donde la conexioŽn de Riemann viene dada por los sŽimbolos de Christoffel

”

=

1 2

g

{g”

+

”g

-

 g”} ,

3Para convenios, ver ref. [124]

(6.13)

134 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias

que son simŽetricos en los Žindices inferiores, ” = ” (no tiene torsioŽn). La derivada covariante d” se define con la conexioŽn adecuada actuando sobre cada Žindice. Se tiene

d”eA = ”eA - ”eA + AB”eB = 0 .

(6.14)

AdemaŽs, la condicioŽn d”g” = 0, implica en particular

d”AB = AB” + BA” = 0,

(6.15)

lo cual impone la restricciŽon de que la conexioŽn de espŽin sea antisimŽetrica AB” = -BA”. EŽsta viene dada por

AB” = eA ”eB - ”eB .

(6.16)

La derivada covariante d” actuŽa de manera diferente dependiendo del espŽin de los campos correspondientes. Para un campo de espŽin-0 U, espŽin-1/2 , espŽin-1 A” y espŽin-3/2 ”, las propiedades de transformaciŽon son las siguientes

U(x)  U(x),

(x)  S((x))(x),

A”(x)



x x”

A

(x),

”(x)



x x”

S

((x))

(x).

(6.17) (6.18) (6.19)

En el caso de transformaciones de Lorentz infinitesimales AB = BA + AB con AB = -BA,

se

tiene

S()

=

1

-

i 4

AB

AB

donde

AB

=

i 2

[A,

B

].

Para

un

campo

escalar

de

espŽin-0

se

tiene la definicioŽn estŽandar

d”U = ”U .

(6.20)

Para un vector (espŽin-1), se tiene

A;” := d”A = ”A - ”A , que satisface ademaŽs la propiedad4

(6.21)

[d”, d] A = R” A .

(6.24)

4El tensor de curvatura de Riemann R” se define

- R” = ” -  ” + ” - ” ,

(6.22)

y sus contracciones permiten definir el tensor de Ricci R”, y el de curvatura escalar R

R” = R” , R = g” R” .

(6.23)

Notar el signo opuesto de nuestra definiciŽon para el tensor de Riemann en comparacioŽn con ref. [122]. AquŽi seguimos ref. [124].

6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad

135

En el caso de fermiones de Dirac (espŽin-1/2) la derivada covariante se define como

d” = ”(x) - i”(x) ,

(6.25)

donde ” es la conexioŽn de Cartan de espŽin,

”

=

1 4

AB

AB”

.

(6.26)

Las matrices de Dirac A se encuentran en una representacioŽn fija independiente de x, y satisfacen las siguientes reglas de anticonmutacioŽn

AB + BA = 2AB.

(6.27)

Las matrices se pueden elegir y satisfacen

”(x) = AeA” (x)

(6.28)

”(x) (x) +  (x)”(x) = 2g”(x).

(6.29)

La derivada covariante de una matriz de Dirac (independiente de x) es

d”A = ”A - i [”, A] + AB”B = 0.

(6.30)

Teniedo en cuenta ec. (6.14) y (6.30) se obtiene la siguiente identidad para las matrices de Dirac dependientes de x

d”(x) = 0 ,

(6.31)

lo cual quiere decir que para el operador de Dirac libre, el orden de colocacioŽn es irrelevante d/ = ”(x)d” = d””(x). Para un tensor de espŽin-3/2

;” := d” = ” - ”  - i”.

(6.32)

Si aplicamos las definiciones anteriores a d” se obtienen las siguientes foŽrmulas, que serŽan de utilidad

[d”, d] 

=

i 4



R”

,

d”d”

=

1-g

(” - i”)

 -g

g”

(

-

i )



,

(6.33) (6.34)

donde  = eAeBAB es una matriz antisimŽetrica dependiente de x. Los campos gauge pueden ser incluidos mediante la regla estŽandar de sustitucioŽn mŽini-
ma, lo cual da lugar a la derivada covariante de un fermiŽon

” = (d” - iV”) .

(6.35)

136 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias

Con esta notaciŽon, el operador de Dirac completo iD en presencia de campos externos de tipo vector, axial, escalar, pseudoescalar y gravitacionales se escribe5

iD = id/ - M U 5 - m^ 0 + (v/ + a/5 - s - i5p) ,

(6.37)

donde la barra indica

V/ = ”(x)V”(x).

(6.38)

M es la masa constituyente de los quarks y hemos considerado la notacioŽn U5 = U5. La derivada covariante bajo transformaciones generales de coordenadas, de Lorentz, y quirales, actuŽa sobre los campos pseudoescalares (espŽin-0), espinores de Dirac (espŽin-1/2) y espinores de Rarita-Schwinger (espŽin-3/2) de acuerdo con las fŽormulas siguientes

”U = D”U = ”U - i[v”, U ] - i{a”, U },
” = D” = ” - i(” + v” + 5a”), ” = ” - i(” + v” + 5a”) - ”  ,

(6.39)

y se corresponden con sustituir la derivada parcial por la derivada covariante ”  d”,
dentro de la derivada covariante quiral D”. La notaciŽon D” significa la operacioŽn [D”, ], preservando la quiralidad del objeto (ver ec. (5.70)). Notar que con esta definicioŽn, ni
el objeto D”D(= ”) ni D”DU son covariantes coordenados, ya que la segunda derivada no incluye la conexioŽn de Riemann ”.

6.2.2. Operador de segundo orden
Cuando no existen fuentes gravitatorias, la contribucioŽn de paridad normal a la accioŽn efectiva se obtiene a partir del operador de segundo orden

D5D = D/ L2 + iMD/ L - iD/ RM + MM PR + D/ R2 + iMD/ L - iD/ RM + MM PL ,

(6.40)

donde D5 se define como en ec. (5.24),

D5[s, p, v, a, U ] = 5D[s, -p, v, -a, U ]5 .

(6.41)

D5 corresponde a rotar D a espacio euclŽideo, tomar su hermŽitico conjugado y volver a rotar

a

espacio

de

Minkowski.

En

la

expresiŽon

(6.40),

PR,L

=

1 2

(1

±

5

),

las

derivadas

covariantes

5 La matriz pseudoescalar de Dirac en el caso curvo se define

5(x)

=

4!1-g ” ”(x) (x)(x)(x)

=

1 4!

ABC

D

AB

C

D

=

5.

(6.36)

6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad

137

quirales son

D” = ” - i(v” + 5a”) = D”RPR + D”LPL , D”R = ” - i(v” + a”) , D”L = ” - i(v” - a”) ,

(6.42)

y el tŽermino de masa

M = M U 5 + (s + i5p) + m^ 0 .

(6.43)

Los campos gravitatorios se acoplan mediante covariantizacioŽn del operador de Dirac, esto
es con la sustitucioŽn ”  d” = ” -”· ·-i” en ec. (6.42). Para fijar la notacioŽn, definimos en ec. (6.39) la actuaciŽon de la derivada covariante quiral sobre un espinor de Dirac 

D” = ” - i(” + v” + 5a”) .

(6.44)

Teniendo en cuenta que, puesto que un espinor es un escalar en coordenadas, se tiene

D” = ” ,

(6.45)

donde ” = d” - i(v” + 5a”). Para el campo escalar en coordenadas /  se puede aplicar el mismo razonamiento, lo cual conduce a

D”/  = ”/  .

(6.46)

Esto significa que podemos considerar D/ L,R = / L,R siempre y cuando actuŽe sobre campos espinoriales del siguiente modo

D5D = / 2L + iM/ L - i/ RM + MM PR + / 2R + iM/ L - i/ RM + MM PL .

(6.47)

Si incluimos los campos gauge, se obtienen dos teorŽias tipo vector, una para campos left
V”L y otra para campos right V”R. Si suprimimos momentŽaneamente las etiquetas left y right, se tiene

D/ 2 = / 2 =

””

-

1 2

”

F”

+

1 4

R

,

(6.48)

donde hemos hecho uso de la identidad

[”, ]  = [D”, D] 

=

[D”,

D ]



+

i 4



R”



.

(6.49)

En la segunda igualdad de ec. (6.49) se ha hecho uso de ec. (6.33). El laplaciano invariante coordenado y Lorentz para un espinor de Dirac viene dado por

”” = 1-g D”

 -gg

”

D



,

(6.50)

138 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias

donde se ha aplicado ec. (6.34). Con la notaciŽon quiral de campos right y left, el operador de segundo orden se escribe

D5D

=

1-g

D”

 -gg

”

D

+ V,

(6.51)

con

V = VRPR + VLPL

VR

=

-

1 2

”

F”R

+

1 4

R

-

i””M

+

MM,

VL

=

-

1 2

”

F”L

+

1 4

R

-

i””M

+

MM

.

(6.52)

6.3. Modelos de Quarks Quirales en presencia de
Gravedad
En esta secciŽon aprovecharemos los resultados obtenidos en sec. 6.2 y estudiaremos el acoplamiento con gravedad de dos modelos quirales concretos, que tienen en comuŽn la incorporacioŽn de la rotura dinŽamica de la simetrŽia quiral a nivel de un loop: el modelo de Nambu­Jona-Lasinio (NJL) y el modelo de Georgi-Manohar.
En estos modelos, los quarks tienen una masa constituyente M  300 MeV. La principal diferencia entre ellos tiene que ver con la presencia o no de campos escalares dinaŽmicos qq, respectivamente. AdemaŽs, mientras que el modelo NJL genera de manera dinaŽmica la rotura espontŽanea de la simetrŽia quiral, el modelo GM comienza de por sŽi en una fase de rotura de la simetrŽia quiral.

6.3.1. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio

El modelo de Nambu­Jona-Lasinio se introdujo en la secciŽon 5.2.1. La accioŽn del modelo en espacio-tiempo curvo de Minkowski con tensor mŽetrico g”(x) se escribe

SNJL =

d4

 x -g

LNJL

,

(6.53)

donde g = det(g”) y el lagrangiano viene dado por

LNJL

=

q(i/+

/

-m^ 0)q

+

1 2a2s

Nf2-1
((qaq)2
a=0

+

(qai5q)2)

-

1 2a2v

Nf2 -1
((qa”q)2
a=0

+

(qa”5q)2)

.

(6.54)

6.3 Modelos de Quarks Quirales en presencia de

Gravedad

139

La derivada ” - i” es covariante bajo transformaciones generales de coordenadas y bajo transformaciones de Lorentz, e incluye la conexioŽn de espŽin

”(x)

=

i 8

[(x), ;”(x)]

,

(6.55)

donde la derivada covariante ;” = d” se define de la manera usual, ec. (6.21). Haciendo uso del procedimiento estŽandar de bosonizaciŽon [102], como se vio en sec. 5.2.1, se introducen campos bosoŽnicos dinŽamicos internos auxiliares (S, P, V, A), de modo que despuŽes de integrar formalmente los quarks se obtiene el funcional generador

ZNJL[g; s, p, v, a] = DSDP DV DA eiNJL[g;S,P ,V ,A] ,

(6.56)

con S = s + S, P = p + P , V = v + V , A = a + A. La accioŽn efectiva es

NJL[g; S, P , V , A] = q[D] + m[g; S, P, V, A] ,

(6.57)

donde las contribuciones de los quarks a un loop y de los mesones a nivel aŽrbol se escriben respectivamente

q[D] = -iNcTr log(iD) ,

m[g; S, P, V, A] =

d4x-g

-

a2s 4

tr(S2

+

P

2)

+

a2v 4

tr(V”2

+

A2”)

.

(6.58) (6.59)

El operador de Dirac viene dado por

iD = i/+ / -m^ 0 + V/ + A/ 5 - S - i5P .

(6.60)

Para que la integral funcional en los campos bosoŽnicos estŽe bien definida en espacio de

Minkowski, es necesario usar la prescripciŽon a2s  a2s - i, a2v  a2v - i. La contribucioŽn

5-par de los quarks a la accioŽn efectiva puede ser regularizada mediante el esquema de

Pauli-Villars

+q [D]

=

-i

Nc 2

Tr

ci log(D5D + 2i + i) .

(6.61)

Para maŽs detalles, ver sec. 5.2.1.

6.3.2. Modelo de Georgi-Manohar

En presencia de gravedad, el lagrangiano del modelo de Georgi-Manohar [120] se escribe

LGM = qŻ

i/

+

/

-

MU5

-

m^ 0

+

1 2

(1

-

gA)U 5i/U 5

q =: qŻiD q ,

(6.62)

donde gA es el acoplamiento axial de los quarks, que consideraremos diferente de uno, tal y como se sugiere en [120]. La accioŽn efectiva de este modelo es

GM = -iNcTr log(iD) ,

(6.63)

140 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias

y por comparaciŽon directa con ec. (6.57) se puede ver que se corresponde con un modelo similar al NJL, sin tŽermino de masa m y con un operador de Dirac como ec. (6.60) con una eleccioŽn especŽifica de los campos dinŽamicos de espŽin 1

V”

=

1 4

(1

-

gA)

U ”U - ”U U

,

A”

=

1 4

(1

-

gA)

U ”U + ”U U

.

(6.64) (6.65)

En ec. (6.63) implementaremos la misma regularizacioŽn de Pauli-Villars que en el modelo NJL.

6.4. CŽalculo de la accioŽn efectiva

En un desarrollo quiral de la accioŽn, la mŽetrica dependiente del espacio-tiempo es de orden cero y la derivada ” de orden uno. Esto implica en particular que R”, R”, y R son de orden 2. A nivel de un loop de quarks el desarrollo quiral se corresponde con un desarrollo en derivadas que debe de ser invariante bajo transformaciones gauge, de coordenadas y de Lorentz. Este desarrollo a baja energŽia se puede obtener haciendo uso de la representacioŽn de tiempo propio del logaritmo

i

ciTr log

D5D + 2i

= -Tr

 d e-iD5D( ) , 0

(6.66)

donde ( ) = i cie-2i . El operador que estŽa dentro del logaritmo es de tipo KleinGordon en espacio-tiempo curvo, y presenta cierta estructura espinorial, como se ve en
ec. (6.51). La forma de este operador es la adecuada para hacer un desarrollo del heat
kernel en espacio-tiempo curvo. Para el elemento de matriz diagonal se tiene

x|e-i D5 D|x

=

e-i M2 x|e-i (D5D-M2)|x

=

i (4i

)2

e-i

M

2



an(x) (i )n .(6.67)

n=0

Para el cŽalculo hasta O(p4) es necesario llegar hasta a4 en el desarrollo del heat kernel. Las contribuciones pueden separarse entre aquellas que son de espacio-tiempo plano, y las correspondientes a curvatura generadas por efectos cuaŽnticos. Por el momento nos centraremos en el modelo NJL. Posteriormente particularizaremos las foŽrmulas para el modelo GM. Se obtiene lo siguiente [108]

a0 = 1,

a1

=

M2

-

V

+

1 6

R,

a2

=

1 180

R”

R”

-

1 180

R”

R”

+

1 12

F

”

F

”

+

1 30

2

R

-

1 6

2

V

+

1 2

M2

-

V

+

1 6

R

2
,

6.4 CŽalculo de la accioŽn efectiva

141

a3

=

1 6

M2

-

V

+

1 6

R

3

-

1 12

”V

”V

+

O(p6),

a4

=

1 24

V - M 2 4 + O(p6) .

La notaciŽon que estamos utilizando es F” = i D”, D , 2V = ””V, donde

(6.68)

D” = ” - i(V” + 5A”) , ” = d” - i(V” + 5A”) ,

(6.69)

y V viene dado por la misma expresiŽon (6.52), con la adiciŽon de los campos bosoŽnicos

internos (S, P, V, A). Las integrales que aparecen en la accioŽn son del tipo

I2l := M 2l

 d ( )(i )le-iM2 . 0

(6.70)

Los valores particulares que necesitamos en nuestro desarrollo son

M 4I-4

=

-

1 2

ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2) ,

i

(6.71)

M 2I-2 =

ci(2i + M 2) log(2i + M 2) ,

i

(6.72)

I0 = - ci log(2i + M 2) ,

i
I2n = (n) ci
i

M2 2i + M 2

n
,

Re(n) > 0 .

(6.73) (6.74)

DespuŽes del cŽalculo de las trazas de Dirac, el orden O(p2) del lagrangiano efectivo en

el modelo NJL viene dado por

L(q2) =

Nc (4)2

M 2I0 ”U ”U

+ 2M 3I-2 mU + U m

+

M 6

2

I-2

R

,

mientras que para el orden O(p4) se tiene

L(q4)

=

Nc (4)2

-

1 6

I0

(F

R ”

)2

+

(F

L ”

)2

+ I0

7 720

R”

R”

-

1 144

R2

+

1 90

R”

R”

-

i 2

I2

F

R ”

”

U



U

+

F

L ”

”

U



U



+

1 12

I4

(”U U )2

-

1 6

I4

(”U ”U )2

+

1 6

I2

””U U 

+ 2M 2I-2 mm - M 2I0 (mU + U m)2

- M I2 ”U ”U (mU + U m)

+ M I0 ”U ”m + ”m”U

-

M 6

I0

R

Um

+ mU

-

1 12

I2R

”U ”U

.

(6.75)

142 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias

En estas fŽormulas

indica traza en espacio de sabor. La derivada covariante gauge y

covariante Lorentz, y los tensores de fuerza que contienen los campos externos e internos

(bosonizados) son

”U = ”U - iV”LU + iU V”R,

F

r ”

=

”V

r 

-

 V

r ”

-

i[V

r”,

V

r 

],

(6.76)

con r = L, R y la combinaciŽon aditiva de espŽin 0

m = (S + iP - MU) + 1  , 2B0

 = 2B0(s + ip) .

(6.77)

La constante de reescalamiento B0 se elige de modo que L(2) quede en la forma estŽandar de ec. (6.92). Notar que ec. (6.75) no estŽa auŽn lista para poder ser comparada con el resultado de [27, 122]. Para ello antes debemos eliminar todos los grados de libertad diferentes a los piones en la capa de masas. Procederemos en tres pasos: primero integraremos los grados de libertad vector y axial, despuŽes eliminaremos los campos escalares y finalmente haremos uso de las ecuaciones clŽasicas de movimiento para los pseudoescalares. En el modelo de Georgi-Manohar uŽnicamente serŽa necesario considerar el uŽltimo paso.

6.5. Ecuaciones de movimiento

6.5.1. EliminaciŽon de los acoplamientos vector y axial

En el modelo NJL, para eliminar los campos vector V” y axial A” en la aproximaciŽon de campo medio es necesario minimizar el lagrangiano con respecto a esos campos. Al orden que estamos considerando el desarrollo quiral, serŽa suficiente con tener en cuenta aquellos tŽerminos del lagrangiano que contienen mesones vectoriales con dos Žindices de Lorentz, esto es, el tŽermino de masa y el orden dos que surge del determinante de los quarks

L(A2,)V

=

Nc (4)2

M

2 I0

”U ”U

+

a2v 4

V”V ” + A”A”

.

Al minimizar, las ecuaciones de movimiento que se obtienen son similares a la eleccioŽn concreta de los campos vector y axial en el modelo de Georgi-Manohar, ecs. (6.64)-(6.65),

V

R ”

=

v”R

+

i 2

(1

-

gA)U ”U

,

V

L ”

=

v”L

+

i 2

(1

-

gA)U ”U 

,

(6.78)

con gA = 1 - 2f2/a2v. Aplicando estas ecuaciones de movimiento se obtienen faŽcilmente las siguientes relaciones

F

R ”

=

1 2

(1

+

gA)F”R

+

1 2

(1

-

gA)U F”L U

-

i 4

(1

-

gA2

)

”U U - U ”U

,

(6.79)

6.5 Ecuaciones de movimiento

143

F

L ”

=

1 2

(1

-

gA)U F”R U 

+

1 2

(1

+

gA)F”L

-

i 4

(1

-

gA2 )

”U  U  -  U ”U 

,

”U = gA”U ,

2U = gA2U + igA(1 - gA)U ”U ”U .

(6.80) (6.81) (6.82)

6.5.2. EliminaciŽon de escalares

En el modelo NJL, la eliminaciŽon de los campos escalares se hace de manera similar a

la de los campos vector y axial. Consideramos la rotaciŽon quiral

 S + iP = U  U ,

(6.83)

donde  = , y usando que  = M + , donde  es una fluctuacioŽn alrededor del valor del vacŽio, se tiene

m

=

 U U

+

1 2B0



.

(6.84)

El tŽermino de masa se escribe

Lm

=

-

a2s 4

M 2 + 2M  + 2

.

(6.85)

Haciendo uso de la ecuaciŽon del gap (5.29), los tŽerminos lineales en  que no contienen campos externos se anulan. Como consecuencia, la parte del lagrangiano que contiene al campo escalar  es

L(x)

=

-

Nc (4)2

4M 2I02

+

1 3

M

I0

R

+

 M I0 U  U 

U 2U  + 2U U 

+

M2 B0

(2I0

-

 I-2) U

 U

(U



+

U

)

+

M B0

 I2 U

 U

”U

”

U



.

(6.86)

Minimizando respecto de , la ecuaciŽon clŽasica de movimiento que se obtiene es

 U U

=

-

1 24M

R

+

1 4M

1

-

I2 I0

”U ”U 

-

1 4B0

1

-

I-2 2I0

(U  + U ) .

(6.87)

SŽolo queda sustituir esta ecuaciŽon dentro del lagrangiano L para obtener la contribucioŽn del lagrangiano efectivo proveniente de la integracioŽn de los campos escalares.

144 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias

6.5.3. Ecuaciones de movimiento clŽasicas para pseudoescalares

Las ecuaciones de movimiento relevantes para el campo no linear U se obtienen minimizando L(2). Surgen una serie de relaciones que son vaŽlidas incluso en presencia de
curvatura

2U 2U =

”U ”U

2

-

1 4

U - U  2

+

1 12

U - U  2

(6.88)

y

2U + 2U 

= 2  - 1 U + U  2 - 2

+

1 6

U

+ U

2.

U + U  ”U ”U (6.89)

En el caso del grupo U(3) de sabor, se tiene que Det U = ei0/f , que no es necesariamente igual a la identidad, y los dos uŽltimos tŽerminos U ± U 2 en ecs. (6.88) y (6.89) desapareceraŽn.6

6.6. Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue

En el desarrollo quiral del lagrangiano efectivo en la forma de Gasser-Leutwyler-Donoghue de ec. (6.6), las contribuciones mŽetricas son

L(2,g)

=

f2 4

”U ”U + (U + U )

,

(6.92)

y

L(4,g) = L1 ”U ”U 2 + L2 ”U  U 2 + L3 ”U ”U 2 + L4 ”U ”U U + U  + L5 ”U ”U (U + U ) + L6 U + U  2 + L7 U - U  2 + L8 (U )2 + (U )2 - iL9 F”L ”U  U  + F”R ”U  U + L10 F”L U F ” RU  + H1 (F”R )2 + (F”L )2 + H2  .

(6.93)

6Existe otra identidad integral que nos va a resultar muy uŽtil

d4

 x -g

” U ” U

=

d4

 x -g

2U 2U + i F”R ”U  U + F”L ”U  U 

- F”L U F ” RU 

+

1 2

(F”R )2 + (F”L )2

+ R” ”U  U

.

(6.90)

En el uŽltimo tŽermino aparece el tensor de Ricci R” . Para llevar las fŽormulas a la forma de Gasser-Leutwyler usamos la siguiente identidad, vŽalida en SU(3)

(”U  U )2

=

-2 (”U ”U )2

+

”U  U

2

+

1 2

”U ”U

2.

(6.91)

6.6 Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue

145

Las contribuciones con curvatura del lagrangiano quiral se pueden escribir en la forma propuesta en ref. [122], y vienen dadas por

L(2,R) = -H0R ,

(6.94)

y

L(4,R) = -L11R ”U ”U - L12R” ”U  U - L13R U + U  + H3R2 + H4R” R” + H5R” R” .

(6.95)

Los tŽerminos de curvatura son un reflejo de la naturaleza compuesta de los campos pseudoescalares, pues en los modelos quirales que estamos considerando estos tŽerminos se corresponden con el acoplamiento de los campos gravitatorios externos a nivel de quarks. Un valor no nulo de H0 indica que existe una renormalizaciŽon fuerte finita de la constante gravitatoria de Newton G, ya que el lagrangiano clŽasico de Einstein es L = -R/(16G).
Notar que la matriz pseudoescalar U es un escalar bajo transformaciones de Lorentz y de coordenadas. Por tanto, despuŽes (y sŽolo despuŽes) de haber aplicado las identidades (6.88)-(6.91) se puede sustituir la derivada covariante en Lorentz y coordenadas por la
derivada covariante D”, esto es ”U = D”U .

6.6.1. Modelo de Georgi-Manohar

Por simplicidad, comenzaremos mostrando los resultados de los coeficientes de GasserLeutwyler-Donoghue para el modelo de Georgi-Manohar, pues en este caso no existe contribucioŽn proveniente de campos escalares, esto es, de campos de espŽin cero y paridad positiva, y la uŽnica contribucioŽn procede del loop de quarks. Para este modelo, la constante de desintegracioŽn dŽebil del pioŽn es

f2

=

Nc 42

gA2 M

2I0

.

El factor de normalizacioŽn para el campo  es

(6.96)

B0

=

M gA2

I-2 I0

.

Con





M B0

=

M|

f2 qŻq

|

=

gA2

I0 I-2

el resultado que encontramos para los coeficientes de GLD es

(6.97) (6.98)

L1

=

Nc 48(4)2

(1 - gA2 )2I0 + 4gA2 (1 - gA2 )I2 + 2gA4 I4

,

L2 = 2L1 ,

L3

=

-

Nc 24(4)2

3(1 - gA2 )2I0 + 8gA4 I4 + 4gA2 (3 - 4gA2 )I2

,

L4 = 0 ,

146 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias

L5

=

Nc 2(4)2

gA2

[I0

-

I2]

,

L6 = 0 ,

L7

=

-

Nc 24(4)2Nf

gA

[6I0

-

gAI2]

,

L8

=

-

Nc 24(4)2

6( - gA)I0 + gA2 I2

,

L9

=

Nc 6(4)2

(1 - gA2 )I0 + 2gA2 I2

,

L10

=

-

Nc 6(4)2

(1 - gA2 )I0 + gA2 I2

,

L11

=

Nc 12(4)2

gA2 I2

,

L12

=

-

Nc 6(4)2

gA2 I2

,

L13

=

Nc 12(4)2

I0

=

 48M 2

f2 gA2

,

H0

=

-

NcNf 6(4)2

M 2I-2

=

-

Nf 24

f2 

,

H1

=

Nc 12(4)2

-(1 + gA2 )I0 + gA2 I2

,

H2

=

Nc 12(4)2

62I-2 - 6( + gA)I0 + gA2 I2

,

(6.99)

H3

=

-

NcNf 144(4)2

I0

=

-

Nf 576M

2

f2 gA2

,

H4

=

NcNf 90(4)2

I0

,

H5

=

7NcNf 720(4)2

I0

.

Con los valores M = 300 MeV y gA = 0,75, el cutoff  debe ajustarse para reproducir el valor empŽirico f = 93,2 MeV. Esto conduce a

 = 1470 MeV , B0 = 4913 MeV , I-2 = 20,8 , I0 = 2,26 , I2 = 0,922 , I4 = 0,995 .

(6.100)

El modelo quark quiral constituyente (QC) se corresponde con la eleccioŽn gA = 1 en los coeficientes anteriores. Si se considera el mismo valor para M, para este modelo se tiene

 = 828 MeV , B0 = 1299 MeV , I-2 = 5,50 , I0 = 1,27 , I2 = 0,781 , I4 = 0,963 .

(6.101)

En la tabla 6.1 se muestran los valores numŽericos de los coeficientes de GLD.

6.6.2. Modelo de Nambu­Jona-Lasinio

Los coeficientes de GLD en este modelo tendraŽn dos contribuciones diferentes: una

proveniente del loop de quarks e integracioŽn posterior de los campos de espŽin 1, y otra

proveniente de la integracioŽn de los campos de espŽin 0. Para la primera contribucioŽn se

tienen las mismas expresiones de ec. (6.99). La constante de desintegracioŽn dŽebil del pioŽn

es

f2

=

Nc 42

gAM

2I0

.

(6.102)

Notar que en este modelo f2 tiene una potencia en gA, mientras que en el modelo de GM la potencia es gA2 , ec. (6.96). La diferencia se debe a la ausencia del tŽermino de masa Lm en el modelo GM. Nuestra notaciŽon serŽa la siguiente

B0

=

a2s M 2f2

=

M I-2 gA I0

,

gA

=

1

-

2

f2 a2v

.

(6.103)

6.6 Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue

147

Con las contribuciones de espŽin 0+ son





M B0

=

gA

I0 I-2

,

(6.104)

LS3

=

Nc 4(4)2

gA4 I0

[I0

-

I2]2

,

LS8

=

Nc 16(4)2

(gA

-

2)2I0

,

LS5

=

Nc 4(4)2

gA2 (gA

-

2) [I0

-

I2]

,

LS11

=

Nc 12(4

)2

gA2

[I0

-

I2]

,

LS13

=

Nc 24(4)2

(gA

-

2)I0

,

H2S = 2LS8 ,

H3S

=

NcNf 144(4)2

I0

=

Nf 576M 2

f2 gA

.

(6.105)

El resto de coeficientes LSi , HiS son cero. La suma de las dos contribuciones (loop de quaks y escalares) daraŽ los coeficientes de GLD para este modelo. El resultado es el siguiente

L3

=

-

Nc 24(4)2

3(1 - 2gA2 - gA4 )I0 + 8gA4 I4 + 2gA2

2(3

-

gA2 )

-

3gA2

I2 I0

L5

=

Nc 4(4)2

gA3

[I0

-

I2]

,

L8

=

Nc 48(4)2

gA2

[3I0

-

2I2]

,

L11

=

Nc 12(4)2

gA2 I0

=

gAf2 48M 2

,

L13

=

Nc 24(4)2

gAI0

=

f2 96M 2

,

H2

=

Nc 24(4)2

122I-2 + 3gA(gA - 8)I0 + 2gA2 I2

,

H3 = 0 .

I2 , (6.106)

El resto de coeficientes: L1, L2, L4, L6, L7, L9, L10, L12, H0, H1, H4 y H5; coinciden con los del modelo de GM (fŽormulas (6.99)). Notar, no obstante, que las expresiones de f2 no coinciden en los dos modelos [ec. (6.96) y (6.102)].
Este modelo reproduce la relacioŽn L3 = -6L1, siempre y cuando se desprecien los tŽerminos O(NcgA4 ). Existen algunas diferencias con trabajos previos. Los valores L1, L2, L3, L4, L5, L6, L9, L10, H1 y H2 coinciden con ref. [106]. L8 difiere en dos potencias de gA en el tŽermino proporcional a I2. (Nuestros resultados reproducen los suyos para cada contribucioŽn por separado: contribucioŽn del loop de quarks y contribucioŽn de espŽin cero.)
El valor de L7 es diferente de cero, si se considera la condicioŽn Det(U) = 1 debido a que estamos considerando la simetrŽia de sabor SU(Nf ). Tanto en ref. [106] como en [107] este tŽermino no se obtiene, a pesar de que en estos trabajos se menciona explŽicitamente
que consideran el grupo de sabor SU(Nf ). En el grupo U(Nf ) sŽi se obtiene que L7 = 0. Nuestros valores de L4, L5, L6, L8, L9 y L10 coinciden con los de [107]. En esta referencia
aparece un tŽermino errŽoneo extra en L1. L3 se diferencia de ref. [107] en todos los factores excepto uno en I4. H1 y H2 no aparecen en esa referencia.
Los coeficientes L11, L12 y L13, asŽi como H0,3-5, son nuevos y constituyen el resultado principal de este capŽitulo. L11-13 fueron obtenidos tambiŽen hace alguŽn tiempo en un

148 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias

modelo quiral que incluye bosonizaciŽon [125], y maŽs recientemente en el modelo quark espectral [108] (ver capŽitulo 7).
Los valores numŽericos de estos coeficientes, ec. (6.106), aparecen en la tabla 6.1 para dos casos diferentes: el modelo NJL SU(3) generalizado, y el caso en que no se considera la integracioŽn de los campos de espŽin 1, esto es gA = 1. Para el primer caso se considera como valor razonable gA = 0,606. Con M = 300 MeV, se tiene

 = 1344 MeV , B0 = 4015 MeV , I-2 = 17,0 , I0 = 2,10 , I2 = 0,907 , I4 = 0,993 .

(6.107)

Para el modelo NJL con gA = 1, los valores numŽericos de , B0,  y I2n son idŽenticos a los
del modelo quark constituyente QC, ec. (6.101). Las LEC's en el modelo NJL con gA = 1 y en el QC se diferencian debido a la contribucioŽn de los escalares LS3,5,8,11,13 y H2S,3, que no estŽan presentes en el caso QC.

6.6.3. Resultados

En la tabla 6.1 aparecen los resultados que hemos obtenido para los modelos de quarks quirales que se han tratado en este capŽitulo: Quark Constituyente, Nambu­Jona-Lasinio con y sin mesones vectoriales, y Georgi-Manohar. Se ha incluido tambiŽen el resultado del cŽalculo en el modelo Quark Espectral del capŽitulo 7. La primera columna se corresponde con el cŽalculo de TQP a dos loops [126]. Se incluye tambiŽen el resultado obtenido en el modelo basado en Nc grande con saturacioŽn por una uŽnica resonancia [127].
Los resultados para las constantes de baja energŽia coinciden a grandes rasgos. Como regla, todos los modelos y ajustes dan el mismo signo para todos los coeficientes, con la excepciŽon de H0 y H2 en el modelo Quark Espectral. Para los coeficientes de GasserLeutwyler estŽandar L1-10 el mejor acuerdo global con el cŽalculo de TQP a dos loops [126] es el proporcionado por el modelo NJL con mesones vectoriales, para el que la chi cuadrada reducida es 2/DOF = 2,2, (DOF = 10), si bien los modelos QC y GM proporcionan resultados de calidad similar: 2,5 y 3,6 respectivamente.
Para los coeficientes nuevos no existen en la literatura valores ampliamente aceptados. El acuerdo maŽs cercano con las estimaciones de Nc grande y saturacioŽn de resonancias de [122] para L11-13 es el de NJL sin mesones vectoriales, para el que 2/DOF = 0,29, pero esto no es totalmente concluyente. Asimismo, es importante mencionar el notable acuerdo entre las predicciones del modelo Quark Espectral para estos tres coeficientes y aquellas provenientes del modelo quiral de bosonizaciŽon de ref. [125], para el que se obtiene

L11 = 1,58 · 10-3 ,

L12 = -3,2 · 10-3 ,

L13 = 0,3 · 10-3 .

(6.108)

6.7. Conclusiones
En este capŽitulo hemos calculado las constantes de baja energŽia del tensor energŽiaimpulso en varios modelos de quarks quirales: Quark Constituyente, Nambu­Jona-Lasinio

6.7 Conclusiones

149

Cuadro 6.1: Constantes adimensionales de baja energŽia y H0 comparadas con otros modelos

y con el valor que dan algunas referencias. Los valores mostrados para L1-13, H1-5 deben

ser multiplicados por 10-3. El valor de H0 debe multiplicarse por 103 MeV2.

TQP1 NJL

NJL QC GM

SQM2 Large Nc3

Dual2

(gA = 1)

(MDM)

Large Nc

L1

0.53 ± 0.25 0.77

L2

0.71 ± 0.27 1.54

L3 -2.72 ± 1.12 -4.02

0.76 0.76 0.78 1.52 1.52 1.56 -2.73 -3.62 -4.25

0.79 1.58 -3.17

0.9 1.8 -4.3

0.79 1.58 -3.17

L4

0

0

0

0

0

0

0

0

L5

0.91 ± 0.15 1.26

2.32 1.08 0.44

2.0 ± 0.1

2.1

3.17

L6

0

0

0

0

0

0

0

0

L7 -0.32 ± 0.15 -0.06 -0.26 -0.26 -0.03 -0.07 ± 0.01

-0.3

L8

0.62 ± 0.20 0.65

L9

5.93 ± 0.43 6.31

L10 -4.40 ± 0.704 -5.25

L11 1.85 ± 0.905 1.22

L12

-2.75 -1.06

L13

1.7 ± 0.805 1.01

H0

-14.6

H1

-4.01

0.89 4.95 -2.47 2.01 -2.47 1.01 -4.67 -2.78

0.46 4.95 -2.47 1.24 -2.47 0.47 -4.67 -2.78

0.04 6.41 -4.77 0.82 -1.64 0.22 -17.7 -4.76

0.08 ± 0.04 6.33
-3.17 1.58
-3,17 0.33 ± 0.01
1.09

0.8
7.1
-5.4 1.65 -2.75 1.15

1.18 6.33 -4.75

H2

1.46

1.45 0.59 0.49 -1.0 ± 0.2

H3

0

0 -0.50 -0.89

H4

1.33

0.80 0.80 1.43

H5

1.16

0.70 0.70 1.25

(1) CŽalculo a dos loops de ref. [126].

(2) Ref. [108], capŽitulo 7.

(3) Ref. [127].

(4) Ref. [128].

(5) Ref. [122].

con y sin mesones vectoriales, y Georgi-Manohar. Algunas de estas constantes se obtienen directamente de los coeficientes estŽandar de Gasser-Leutwyler, mientras que otras, L11-13 y H0,3-5, son nuevas y proceden de operadores que no estŽan presentes en el lagrangiano quiral en espacio plano.
TŽecnicamente, el mejor modo de proceder es considerar QCD en un espacio-tiempo curvo, ya que nos permite trabajar con el lagrangiano a bajas energŽias, en lugar de su variaciŽon (el tensor energŽia-impulso). Esto hace maŽs fŽacil tanto el cŽalculo como la imposiciŽon de las restricciones debidas a las simetrŽias. El lagrangiano quiral en espacio-tiempo curvo contiene dos tipos de contribuciones. Por una parte, aquellas que surgen de un acoplamiento mŽinimo del lagrangiano en espacio plano con la mŽetrica, L(g), y por otra aquellas contribuciones que contienen el tensor de curvatura de Riemann L(R). En el espŽiritu de no

150 CapŽitulo 6: Tensor EnergŽia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energŽias
introducir nuevos campos diferentes a la mŽetrica, hemos considerado uŽnicamente la gravedad de Einstein. En el caso de que se considerara torsiŽon o violaciŽon de la metricidad, en principio podrŽian aparecer nuevos tŽerminos. Al igual que ocurre con los acoplamientos gauge (por ejemplo, los momentos magnŽeticos), los tŽerminos gravitatorios L(R) no pueden fijarse a partir de la covariancia general del lagrangiano quiral, y para obtenerlos es necesario acoplar directamente gravedad con los quarks y los gluones de QCD antes de integrar los campos y obtener el lagrangiano de bajas energŽias.
Hemos calculado en estos modelos de quarks quirales las constantes de baja energŽia con un cierto grado de Žexito, y hemos aplicado la misma aproximaciŽon para los tŽerminos con curvatura L(R). El acuerdo entre todos los modelos es razonable. Una comparaciŽon con los valores de TQP a dos loops [126] sugiere que NJL con mesones vectoriales es el que mejor funciona para los coeficientes estŽandar. Para los nuevos coeficientes L11-13, el mejor acuerdo proviene de NJL sin mesones vectoriales, si bien el resultado no es concluyente.

CapŽitulo 7
Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral
La estructura de QCD a bajas energŽias en presencia de fuentes electrodŽebiles y gravitacionales se describe muy bien mediante TeorŽia Quiral de Perturbaciones (TQP) [25, 27, 122]. En el sector mesoŽnico, la rotura espontŽanea de la simetrŽia quiral es dominante a bajas energŽias y el cŽalculo sistemŽatico de las correspondientes constantes de baja energŽia (LEC's) ha sido llevado a cabo recientemente hasta una precisiŽon de dos loops [126, 128] o mediante el uso de las ecuaciones de Roy [129]. Para los procesos fuertes y electrodŽebiles que involucran mesones pseudoescalares, la mayor parte de las LEC's estŽan saturadas en tŽerminos de resonancias de intercambio [127], que pueden ser justificadas en el lŽimite de Nc grande en una cierta aproximaciŽon de bajas energŽias [130]. En el caso de procesos gravitacionales se pueden aplicar las mismas ideas [122]. Hoy en dŽia, TQP se usa como un test cualitativo y cuantitativo para cualquier modelo de la estructura de los hadrones a bajas energŽias.
En este capŽitulo nos proponemos analizar, en el contexto de TQP con espacio-tiempo curvo, el modelo quark espectral propuesto recientemente en ref. [101]. En primer lugar se mostraraŽ cŽomo calcular la accioŽn efectiva de este modelo a un loop de quarks, y algunas de sus propiedades. Posteriormente se haraŽ un estudio de la parte anŽomala de la accioŽn efectiva, con la obtenciŽon del tŽermino estŽandar de Wess-Zumino-Witten. Se veraŽ que la anomalŽia que se obtiene con este modelo coincide con la anomalŽia de QCD. Se aplicaraŽ el formalismo desarrollado en el capŽitulo 6 para el cŽalculo de la contribucioŽn no anŽomala de la accioŽn efectiva, y se obtendrŽan las expresiones correspondientes para los coeficientes de baja energŽia (LEC). Con el fin de considerar una realizacioŽn explŽicita del modelo espectral, se considerarŽa Žeste dentro de un esquema de dominancia del mesoŽn vectorial, lo cual permitiraŽ encontrar valores concretos para las LEC's y comparar con resultados de otros modelos presentados en el capŽitulo 6. Finalmente se compararaŽn las predicciones del modelo espectral para estas constantes con las obtenidas en la aproximaciŽon de una uŽnica resonancia (SRA) en el lŽimite de Nc grande [122, 130], lo cual conduciraŽ a unas relaciones de dualidad entre los canales vector y escalar.
Este capŽitulo estŽa basado en la referencia [108].
151

152

CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral

7.1. AccioŽn Efectiva del Modelo Quark Espectral

En la secciŽon 5.2.2 introdujimos el modelo quark espectral. La aproximaciŽon es similar en espŽiritu al modelo de Efimov e Ivanov [131], propuesto hace algunos an~os, y se basa en la introduccioŽn formal de la representacioŽn de Lehmann generalizada para el propagador del quark. La accioŽn efectiva que obedece las identidades de Ward-Takahashi mediante la tŽecnica de Delbourgo y West [103] corresponde en nuestro caso a una prescripcioŽn de sustitucioŽn mŽinima. Esto conduce a un determinante fermiŽonico de la forma1

SQM[U, s, p, v, a, g] = -iNc d()Tr log (iD) ,
C
donde el operador de Dirac viene dado por

(7.2)

iD = id/ - U 5 - m^ 0 + (v/ + a/5 - s - i5p) = iD - U 5 .

(7.3)

Estamos trabajando en espacio-tiempo curvo de Minkowski. La derivada d” es derivada covariante bajo transformaciones generales de coordenadas y transformaciones de Lorentz,
e incluye la conexioŽn de espŽin. El tensor mŽetrico g” es la fuente externa que representa el acoplamiento con un campo gravitatorio. La matriz U5 = U5 es la matriz de sabor
que representa el octete de mesones pseudoescalares en la representacioŽn no lineal. Este operador de Dirac transforma de manera covariante bajo transformaciones quirales locales.2
En lo sucesivo consideraremos el modelo con Nf = 3. Si se considera la matriz U en el sector U(3) de sabor, la anomalŽia U(1)A se puede tener
en cuenta an~adiendo el tŽermino habitual [26]

LA

=

-

f2 4

m21



-

i 2

log det UŻ - log det UŻ 

2
,

(7.4)

donde U = UŻ ei8/(3f), con det UŻ = 1. Para  = 0 este tŽermino es invariante CP y SU(Nf )LŚSU(Nf )R.
La accioŽn efectiva del modelo tiene un aspecto similar a la del modelo NJL bosonizado (ver secciŽon 6.3). La principal diferencia tiene que ver con la interpretacioŽn del mŽetodo de regularizacioŽn. Por una parte, en los modelos NJL uŽnicamente se puede regularizar sobre loops de quarks (lŽineas de quark cerradas). El hecho de que en el modelo quark espectral la "regularizacioŽn" de Lehmann se produzca sobre lŽineas de quark abiertas tiene importantes consecuencias en cuanto a la consistencia de los cŽalculos a energŽias altas tanto en una interpretacioŽn puramente hadrŽonica como partŽonica.

1 Para un operador bilocal A(x, x) (matrices en espacio de Dirac y de sabor) se tiene

TrA =

d4

 x -g

tr

A(x, x)

,

(7.1)

donde tr indica traza de Dirac y traza en espacio de sabor. 2Para un estudio sobre el acoplamiento con gravedad de los modelos de quarks quirales, ver secciones 6.2
y 6.3.

7.2 AnomalŽias Quirales

153

Dado que el contorno de integracioŽn para la variable espectral  es en general complejo, resulta complicado pasar a espacio euclŽideo y separar la accioŽn en una parte real y otra imaginaria. En lugar de espacio euclŽideo, podemos considerar el espacio de Minkowski e introducir, como hicimos en sec. 6.2.2, el operador auxiliar

- iD5 = 5 id/ - U 5 - m^ 0 + v/ - 5a/ - s + i5p 5 .

(7.5)

De este modo, la accioŽn efectiva con paridad normal se escribe

+SQM

=

-

i 2

Nc

d()Tr log (D5D) .
C

(7.6)

7.2. AnomalŽias Quirales
Una de las ventajas maŽs importantes de la regularizacioŽn espectral es que conduce a observables hadrŽonicos finitos e independientes de la escala, lo cual es un requerimiento bŽasico de todo procedimiento de regularizacioŽn. No obstante, esto no significa o implica necesariamente que la accioŽn efectiva total en presencia de campos externos sea finita, ya que incluso en el caso de que los campos pioŽnicos sean cero, U = 1, existen procesos no hadrŽonicos. En realidad, ocurre que la renormalizaciŽon de la funciŽon de onda del fotoŽn es proporcional a 0 [101], de modo que depende de la escala ” y por tanto diverge en ciertos esquemas de regularizacioŽn (por ejemplo, en regularizacioŽn dimensional). Esta dependencia en escala surge tambiŽen en otros tŽerminos no hadrŽonicos de la accioŽn efectiva.
En [101] se encuentra que las desintegraciones 0  2 y   3 se muestran de acuerdo con los valores correctos que se esperan de la anomalŽia quiral de QCD. Con ayuda de la accioŽn efectiva, ec. (7.2), vamos a ver en esta secciŽon que esto es cierto tambiŽen para todos los procesos anŽomalos. En primer lugar calcularemos la anomalŽia quiral, y mostraremos que en presencia de campos externos la anomalŽia no depende del campo pioŽnico U, y por tanto coincide con la anomalŽia en QCD debido a las condiciones espectrales 1 = 2 = 3 = 4 = 0. DespuŽes veremos cŽomo surge en este contexto el tŽermino estŽandar de Wess-Zumino-Witten [132, 133].

7.2.1. CŽalculo de la anomalŽia quiral
Bajo transformaciones quirales locales (vector y axial) el operador de Dirac se transforma

D  e+iV (x)-iA(x)5 D e-iV , (x)-iA(x)5

(7.7)

con

V (x) = aV (x)a ,
a

A(x) = aA(x)a .
a

(7.8)

154

CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral

Infinitesimalmente, la transformaciŽon es

D = i[V , D] - i{A5, D} .

(7.9)

Si consideramos una transformaciŽon quiral en la accioŽn efectiva, ec. (7.2), sin ninguna regularizacioŽn adicional, se tiene

S = -iNcTr d() DD-1 .
C

(7.10)

Teniendo en cuenta la propiedad cŽiclica de la traza, se obtiene sŽolo una contribucioŽn procedente de la variaciŽon axial

AS  AA = d4x tr d() 2iA5 = 0 d4x tr 2iA5 ,
C

(7.11)

un resultado que es ambiguo incluso en presencia de regularizacioŽn espectral, debido a la traza dimensional infinita [38]. Para evitar la ambigušedad es necesario introducir una regularizacioŽn extra. Como es bien sabido, no existe una regularizacioŽn que preserve la simetrŽia quiral, de modo que la anomalŽia es generada.
El cŽalculo se puede hacer con mŽetodos estŽandares. Una regularizacioŽn conveniente es la regularizacioŽn  [134], que permite calcular directamente la anomalŽia a partir del propio operador de Dirac (no su cuadrado), y no precisa de ninguna redefiniciŽon de la matriz 5. Esto conduce a

AS  AA = Tr d() 2iA5 [iD]0
C

= d4x tr d() 2iA(x)5 x|D0|x ,
C

(7.12)

donde la potencia cero del operador de Dirac se entiende como una continuaciŽon analŽitica que puede escribirse en tŽerminos de coeficientes de Seeley-DeWitt para operadores de Dirac [134]:

x|D0|x

=

1 (4)2

1 2

D4

+

1 3

(D22”

+

”D2”

+

2”D2)

+

1 6

2”2 + (” )2 + ”2 ”

,

(7.13)

donde

”

=

1 2

{”,

D}.

La

combinaciŽon

{”, D}

es

un

operador

multiplicativo,

de

modo

que

equivale a una funciŽon. El resultado para acoplamientos generales en cuatro dimensiones

ha sido obtenido de [134]. Una inspeccioŽn directa muestra que, puesto que la dependencia

en  viene dada por iD = iD - U5, el resultado se puede escribir como la suma de un

tŽermino independiente de  maŽs un polinomio en 

AA = d() (AA[s, p, v, a] + AA[s, p, v, a, , U ]) = 0AA[s, p, v, a] , (7.14)
C

7.2 AnomalŽias Quirales

155

donde el tŽermino polinoŽmico dependiente de  se anula, por las condiciones espectrales (los momentos positivos son cero). Esto muestra que la anomalŽia del modelo quark espectral coincide con la anomalŽia de QCD despuŽes de introducir una regularizacioŽn adicional conveniente, independientemente de los detalles de la funciŽon espectral. Esto es un punto importante, ya que si la accioŽn efectiva [U, s, p, v, a] en ec. (7.2) fuera finita e invariante quiral, aparentemente no habrŽia razoŽn para la existencia de anomalŽias.

7.2.2. TŽermino de Wess-Zumino-Witten

Mostraremos aquŽi dŽonde y cŽomo surgen estas divergencias. Por simplicidad, consideremos el lŽimite quiral m^ 0 = 0, los campos externos los haremos cero y trabajaremos en espacio-tiempo plano, de modo que iD = i/. Conseguiremos una representacioŽn conveniente si introducimos el campo


Ut5 = eit , 25/f

(7.15)

que permite interpolar entre el vacŽio Ut5=0 = 1, y la matriz completa Ut5=1 = U 5. Podemos escribir la siguiente identidad trivial para la accioŽn efectiva con sustracciŽon del vacŽio:

SQM[U, s, p, v, a] - SQM[1, s, p, v, a]

=

-iNc

0

1

dt

d dt

d()Tr log
C

iD - Ut5

=

iNc

1
dt
0

d()Tr
C



dUt5 dt

iD

1 - Ut5

.

Puesto que estamos interesados en procesos con paridad anormal, es suficiente con identificar los tŽerminos que contienen el tensor de Levi-Civit`a ”, que por invariancia Lorentz precisan de al menos cuatro derivadas. Teniendo en cuenta el hecho de que las derivadas actuŽan sobre su derecha, se tiene

1

-SQ(4M) = -iNc dt d()

0

C

d4x

d4k

1

(2)4 [k2 - 2]5

Ś

Tr

-

5Ut

dUt dt



Uti/Ut

4

,

(7.16)

donde el superŽindice (4) indica O(p4). Tras el cŽalculo de las trazas e integrales, finalmente se obtiene

-SQ(4M)

=

0

Nc 482

1
dt
0

d4x ”

Ut

dUt dt

Ut”UtUt



UtUt





Ut

Ut



Ut

,

que coincide con el tŽermino de Wess-Zumino-Witten (WZW) [132, 133], si usamos que 0 = 1. Los campos externos pueden ser incluidos mediante el uso de ec. (7.16), lo cual genera
el tŽermino de WZW en la forma de Bardeen. En realidad, la diferencia SQM[U, s, p, v, a] - SQM[1, s, p, v, a] es finita y preserva invariancia gauge, pero rompe la simetrŽia quiral lo cual genera la anomalŽia de ec. (7.14).

156

CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral

7.3. Desarrollo quiral de la accioŽn efectiva

A partir de la accioŽn de ec. (7.2) podemos calcular el desarrollo en derivadas en el contexto de espacio-tiempo curvo (para los detalles, ver la secciŽon 6.4). Teniendo en cuenta la fŽormula del desarrollo del heat kernel, ec. (6.67), los coeficientes que se obtienen son los mismos que se obtuvieron en el modelo NJL, ec. (6.68), con la salvedad de considerar la sustitucioŽn M  , y el hecho de que en el modelo espectral no se introducen campos internos auxiliares para bosonizar (los sŽimbolos no tienen barra: V, ”, F”). DespuŽes de usar las condiciones espectrales n = 0, n > 0, la contribucioŽn de paridad normal para la accioŽn efectiva se escribe

-

i 2

Tr

log

D5D

=

-

1 2

Nc (42)

d4x-g d()
C

Ś

tr

-14 2

log 2a0

+

2

log 2a1

-

log(2/”2)a2

+

1 2

a3

+

1 4

a4

+

··

·

=

d4x-g L(0) + L(2) + L(4) + · · · .

(7.17)

DespuŽes del cŽalculo de las trazas de Dirac, para el orden O(p2) del lagrangiano efectivo se tiene

L(2)

=

Nc (4)2

()
C

- 2 log 2 ”U ”U

+

23 log 2 mU + U m

+



2

log



2

1 12

R

,

(7.18)

y para el orden O(p4)

L(4)

=

Nc (4)2

()
C

+

1 6

log 2

(F”R )2

+ (F”L )2

- log 2

7 720

R”

R”

-

1 144

R2

+

1 90

R”

R”

-

i 3

F”R ”U  U + F”L ”U  U 

+

1 12

(”U  U )2

-

1 6

(”U ”U )2

+

1 6

”U ”U 

-

1 6

F”L U F”R U 

+ log 22 2 mm + (mU + U m)2

-

1 2



”U ”U (mU

+ Um)

- log 2 ”U ”m + ”m”U

-



log

2

1 6

R

Um

+ mU

+

1 12

R

”U ”U

.

(7.19)

En estas fŽormulas m  s + ip = /2B0. Notar que los momentos que aparecen hasta este orden son 0 = 1, 1 = 0 y 2 = 0, asŽi como los momentos logarŽitmicos 0, 1 y 2. Tras aplicar las ecuaciones de movimiento clŽasicas del campo U, ecs. (6.88)-(6.89), la identidad

7.3 Desarrollo quiral de la accioŽn efectiva

157

integral de ec. (6.90) y la identidad vaŽlida en SU(3), ec. (6.91), se llega a la forma estŽandar del lagrangiano dada por ecs. (6.92)-(6.93) para las contribuciones mŽetricas y ecs. (6.94)(6.95) para las contribuciones con curvatura. Los valores que se obtienen para la constante de desintegracioŽn dŽebil del pioŽn y el condensado de quarks en el lŽimite quiral son

f2

=

-

4Nc (4)2

2

,

f2B0

=

- qŻq

=

4Nc (4)2

3

,

(7.20) (7.21)

y los coeficientes LEC's se escriben

L3

=

-2L2

=

-4L1

=

-

Nc (4)2

0 , 6

L4 = L6 = 0 ,

L5

=

-

Nc (4)2

1 2B0

,

L7

=

Nc (4)2

1 2Nf

1 2B0

+

0 12

,

L8

=

Nc (4)2

2 4B02

-

1 4B0

-

0 24

,

L9

=

-2L10

=

Nc (4)2

0 3

,

L12

=

-2L11

=

-

Nc (4)2

0 6

,

L13

=

-

Nc (4)2

1 12B0

=

1 6

L5

,

(7.22)

H0

=

-

f2 4

Nf 6

,

H1

=

Nc (4)2

0 6

,

H2

=

Nc (4)2

2 B02

+

1 2B0

+

0 12

,

H3

=

Nc (4)2

Nf

0 144

,

H4

=

-

Nc (4)2

Nf

0 90

,

H5

=

-

Nc (4)2

Nf

70 720

.

El valor para L7 se corresponde con el modelo SU(3) de sabor. Para el modelo U(3), se obtiene del cŽalculo que L7 = 0, pero entonces el tŽermino de ec. (7.4) deberŽia ser an~adido, de modo que el valor de L7 se modificarŽia.
Como vemos, los coeficientes L1, L2, L3, L4, L6, L9, L10 son nuŽmeros puros, y coinciden con los que se esperan en el lŽimite en que la regularizacioŽn se elimina [105]. Esto tiene
que ver con el carŽacter adimensional de las LEC's, y que involucran por tanto el momento cero 0 = 1. El hecho de que H1 sea proporcional a 0 se corresponde con una funciŽon de onda del campo gauge dependiente de la escala, o divergente. Quiere esto decir que la
parte finita de H1 depende del esquema de regularizacioŽn. A partir de los valores de f2 = 93,2 MeV y L5 = 2,1 · 10-3 [127], se obtiene

L7

=

- L5 2Nf

+

Nc 3842Nf

 -0,09 · 10-3,

L8

=

L5 2

-

Nc 3842

-

f2 16B02



0,13

·

10-3,

H2

=

-L5

+

Nc 1922

-

f2 4B02



-1,02 · 10-3.

(7.23)

158

CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral

En cuanto a las contribuciones con curvatura, el valor no nulo de H0 conduce a una
correcciŽon fuerte para la constante gravitatoria de Newton G. Esta correcciŽon es proporcional al cociente entre la escala hadrŽonica y la escala de Planck 2Nf f2G/3, lo cual es numŽericamente despreciable.

7.4. Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial

Hasta ahora todas nuestras consideraciones han sido hechas para una funciŽon espectral general sujeta a una serie de propiedades que deben cumplir sus momentos y momentos logarŽitmicos. Es deseable construir una forma explŽicita para esta funciŽon pues esto conducirŽa a importantes consecuencias fenomenolŽogicas del modelo. Con este fin, en ref. [101] se adopta la siguiente expresiŽon para el factor de forma del pioŽn

FV

(t)

=

MV2 MV2 +

t

,

(7.24)

donde MV indica la masa del mesoŽn . Esta forma corresponde al esquema de dominancia del mesŽon vectorial, que reproduce muy bien los datos experimentalres recientes [135]. La expresiŽon del factor de forma del pioŽn que se deriva del modelo espectral depende de los momentos pares y negativos de (). Por comparaciŽon con (7.24) se llega a la siguiente identificacioŽn [101]

2-2n

=

22n+33/2f2 NcMV2n

n(n + 3/2) (n + 1)

,

n = 1, 2, 3, . . .

(7.25)

La condicioŽn 0 = 1 conduce a

f2

=

NcMV2 242

,

(7.26)

que es una relacioŽn que se obtiene a menudo en los modelos de quarks quirales cuando se

considera este esquema de dominancia. Esto proporciona una estimacioŽn razonable de la

masa del mesoŽn , MV = 826 MeV para f = 93 MeV, y MV = 764 MeV para f = 86 MeV

en el lŽimite quiral.

Notar que si en (7.25) hiciŽeramos una prolongaciŽon anŽalitica en el Žindice n, obtendrŽiamos

para los momentos positivos 2n = 0, n = 2, 3, . . . debido a que la funciŽon (n) presenta singularidades en enteros no positivos. Los momentos logarŽitmicos de () se pueden eva-

luar fŽacilmente mediante prolongaciŽon analŽitica de los momentos n en el plano complejo de n [101],

n = que conduce a

C

d

log(2)n()

=

2

d dz

d z()
C

z=n

=

2

d dz

z

,
z=n

2n =

-

MV2 4

n

(n)(

5 2

-

(5/2)

n)

,

n = 1, 2, 3, . . .

(7.27) (7.28)

7.4 Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial

159

Los momentos contienen toda la informaciŽon necesaria para cŽalculos praŽcticos, sin embargo
resulta interesante escribir una fŽormula explŽicita para la funciŽon espectral. El problema matemaŽtico consiste en invertir la fŽormula 2n = C d 2nV (), con los momentos dados por (7.25). La soluciŽon del problema conduce a [101]

V () =

11

1

2i  (1 - 42/MV2 )dV

,

(7.29)

con dV = 5/2. Esta funciŽon presenta un polo simple en el origen, y cortes de rama que empiezan en  = ±MV /2.
La funciŽon espectral vector, V , corresponde a la parte par de la funciŽon : V () = (() + (-)) /2. Para la parte impar, que denominaremos funciŽon espectral escalar,
S() = (() - (-)) /2, debe suponerse una cierta forma funcional que sea adecuada, que satisfaga las condiciones espectrales impares 2n+1 = 0, n  0, y reproduzca el valor del momento logarŽitmico 3 = -42 qŻq /Nc, (ec. (7.21)). En ref. [101] se sugiere una forma anŽaloga a ec. (7.29),

S ()

=

1 16(dS - 1)(dS - 2)3 2i MS4(1 - 42/MS2)dS

.

(7.30)

Los datos del retŽiculo para la masa constituyente de los quarks favorece el valor dS = 5/2 [101].
En el modelo de dominancia vectorial (MDM), el propagador del quark de ec. (5.33) se escribe

S(p) =

C

d

V

()/p p2

+ -

S 2

()

=

/p

Z (p2 ) - M (p2)

,

(7.31)

donde el contorno de integracioŽn C consta de dos partes. La primera comienza en + - i0 siguiendo el eje real positivo, rodea el polo +MV /2 haciendo una media circunferencia en el sentido de las agujas del reloj, y vuelve a ++i0 siguiendo el mismo eje real positivo. La segunda parte del contorno comienza en - + i0 y sigue el eje real negativo hasta el polo -MV /2, lo rodea en sentido de las agujas del reloj, y vuelve a - - i0 siguiendo el mismo eje real negativo. Estas dos secciones estŽan conectadas en el infinito con semicŽirculos. Este contorno de integracioŽn es el que se usa para V . Para S se considera el mismo contorno C, salvo que los polos estŽan en ±MS/2.
En este modelo se obtienen los siguientes valores para los momentos logarŽitmicos

1MD

=

82 qŻq NcMS2

=

-

5MQMS2 6MV2

,

2MD

=

-

42f2 Nc

=

-

MV2 6

,

3MD

=

-

42 qŻq Nc

=

5MQMS4 12MV2

,

(7.32)

160

CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral

donde MQ es la masa constituyente de los quarks, que viene dada por [101]

MQ



M (0)

=

-

48MV2 2 qŻq 5NcMS4

.

Haciendo uso de estos valores se tiene

L5

=

Nc 962

MV2 MS2

,

L7

=

Nc 322Nf

1 12

-

MV2 6MS2

,

L8

=

Nc 162

-

MV10 150MQ2 MS8

+

MV2 12MS2

-

1 24

.

(7.33)
(7.34) (7.35) (7.36)

En la tabla 6.1 del capŽitulo 6 se muestran lo resultados correspondientes al modelo quark
espectral en su realizacioŽn MDM para las constantes L5,7,8, asŽi como las predicciones para L1,2,3,4,6,9,10, que son comunes al esquema de [105]. AdemaŽs aparecen los coeficientes L11-13, correspondientes a las contribuciones con curvatura del lagrangiano quiral. Estos valores numŽericos se han obtenido considerando MV = 770 MeV, MS = 970(21) MeV y MQ = 303(24) MeV. 3
Para el modelo espectral en su versioŽn SU(2) de sabor, en ausencia de correcciones de loops mesoŽnicos, se tiene4

Żl1

=

-Żl2

=

-

1 2

Żl5

=

-

1 4

Żl6

=

-Nc

,

Żl3

=

4Nc 3

+

16NcMV10 75MQ2 MS8

,

Żl4

=

2NcMV2 3MS2

.

Los radios cuadrŽaticos medios vector y escalar del pioŽn vienen dados por [25]

(7.37) (7.38) (7.39)

r2

V

=

1 162f2

Żl6

=

6 MV2

,

r2

S

=

3 82f2

Żl4

=

6 MS2

.

(7.40)

Las componentes escalar (espŽin-0) y tensorial (espŽin-2) de los factores de forma gravitacionales (0 y 2 respectivamente) [122], producen el mismo radio cuadrŽatico medio

r2 G,0 =

r2

G,2

=

Nc 482f2

,

(7.41)

3Para una discusioŽn sobre estos resultados y su comparacioŽn con otros modelos, ver seccioŽn 6.6.3. Estos
valores de MS y MQ se han obtenido en ref. [101] a partir de un ajuste con el modelo espectral de los datos para la masa constituyente de los quarks obtenidos en el retŽiculo [136].
4Hacemos uso de las relaciones dadas en ref. [27] para pasar de la forma del lagrangiano quiral en SU(3) a la forma en SU(2). Estas relaciones son Żl1 = 1922(2L1 + L3), Żl2 = 1922L2, Żl3 = 2562(2L4 + L5 - 4L6 - 2L8), Żl4 = 642(2L4 + L5), Żl5 = -1922L10, Żl6 = 1922L9, Żl11 = 1922L11 , Żl13 = 2562l13. La constante l12 no estaŽ renormalizada por el loop piŽonico.

7.5 LŽimite de Nc grande y Dualidad

161

independientemente de la realizacioŽn particular del modelo espectral. Si saturamos los factores de forma con mesones escalares y tensoriales f0 y f2, para sus masas se tiene

Mf0 = Mf2 = 4f 3/Nc = 1105 - 1168 MeV ,

(7.42)

dependiendo de si se toma f = 88 o 93 MeV, respectivamente. El valor experimental para el mesoŽn tensorial maŽs ligero es Mfe2xp = 1270 MeV. Tal y como se discute en [122], el factor de forma 0 (correspondiente a la traza del tensor energŽia-impulso) se acopla con mesones escalares, mientras que 2 (correspondiente a la parte de ” sin traza) se acopla con mesones tensoriales (espŽin-2).
Hay que decir que el mesoŽn escalar de masa Mf0, que domina el tensor energŽia-impulso, no necesariamente coincide con el mesoŽn escalar de masa MS, que domina el factor de forma escalar. En realidad se tiene Mf0 = 2MV , mientras que MS es una magnitud libre. Esto surge de manera natural en la aproximaciŽon espectral, donde el factor de forma escalar FS en el lŽimite quiral involucra los momentos impares, mientras que 0 involucra los pares. En particular, los radios cuadrŽaticos medios son proporcionales a 1 y 0, respectivamente.

7.5. LŽimite de Nc grande y Dualidad

En virtud del hecho de que nuestro resultado se ha obtenido en la aproximaciŽon de un loop de quarks,5 no podemos esperar que el modelo dŽe mejores resultados para las LEC's que la contribucioŽn de orden maŽs bajo en un contaje en Nc, el cual estŽa formado por un nuŽmero infinito de intercambios de resonancias [130]. Por otra parte, el cŽalculo de estas contribuciones en Nc grande requiere el uso de suposiciones adicionales, tales como la convergencia de una serie infinita de estados y, por otra parte, una estimacioŽn de las contribuciones de las resonancias maŽs altas. En la praŽctica, se puede trabajar en la aproximaciŽon de una uŽnica resonancia (SRA), lo cual conduce a una reduccioŽn de los paraŽmetros [122, 130]:

2LS1RA

=

LS2RA

=

1 4

LS9RA

=

-

1 3

LS10RA

=

f2 8MV2

,

LS5RA

=

8 3

LS8RA

=

f2 4MS2

,

LS3RA

=

-3LS2RA

+

1 2

LS5RA

,

2LS13RA

=

3LS11RA

+

LS12RA

=

f2 4Mf20

,

LS12RA

=

-

f2 2Mf22

,

(7.43) (7.44) (7.45) (7.46) (7.47)

donde f, MV y MS indican las contribuciones de orden maŽs bajo en Nc para estas magnitudes. En la obtenciŽon de estas fŽormulas para L1 - L10, se han ajustado las contribuciones

5El modelo espectral no se ha desarrollado mŽas allŽa de un loop.

162

CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral

de los mesones pseudoescalares y axiales con objeto de reproducir las reglas de suma qui-
rales para las funciones de correlacioŽn de dos puntos VV-AA y SS-PP, ademaŽs de exigir un comportamiento convergente a altas energŽias para los factores de forma hadroŽnicos.6 Obviamente, el imponer maŽs ligaduras a cortas distancias implica el uso de maŽs resonancias.
Los valores de L11,12,13 se han obtenido del intercambio de una uŽnica resonancia escalar y tensorial [122]. Por una parte, es necesario considerar un mesoŽn tensorial con objeto de
proporcionar un valor no nulo para L12, y por otra parte, los mesones tensoriales contribuyen tambiŽen a otras LEC's [137], lo cual no estŽa tenido en cuenta en ecs. (7.43)-(7.47). Por tanto, con objeto de simplificar la discusioŽn, en lo que sigue nos restringiremos a los
acoplamientos no gravitacionales L1 -L10. Notar que, si bien el poder predictivo es grande, se consigue en tŽerminos de dos razones adimensionales f/MV y f/MS. Obviamente, en el lŽimite quiral se espera que tanto MV como MS escalen como f. Por tanto, con objeto de preservar las reglas de contaje en Nc grande, se deberŽia tener que

MV = cV f/ Nc , MS = cSf/ Nc ,

(7.48)

donde cV y cS son coeficientes independientes de Nc. El hecho sorprendente es que en el
modelo quark espectral, las constantes de baja energŽia dependen de las razonas adimensionales 1/B0 y 2/B02. En vista de esto, resulta tentador calcular los momentos logarŽitmicos espectrales a partir de las reglas de Nc grande, de un modo que sea modelo-independiente.
En primer lugar vemos que las razones L1 : L2 : L9 en el modelo quark espectral coinciden con las de SRA. Los valores de L5 y L8 pueden ser usados para determinar 1 y 2 respectivamente, de modo que se tiene

1SRA

=

82 qŻq NcMS2

,

2SRA

=

-

42f2 Nc

=

-

MV2 6

,

(7.49) (7.50)

lo cual estŽa de acuerdo con ecs. (7.34) y (7.26). Esto no es sorprendente, pues la fŽisica

de SRA y del modelo quark espectral en su versioŽn MDM es similar. La uŽnica diferencia

es que de ecs. (7.49)-(7.50) no se puede deducir el valor de la masa constituyente de los

quarks MQ = M(0), que viene dada por el cociente MQ = -1/-2 (ecs. (5.35)-(5.36)). Para determinar MQ serŽia necesario calcular los tŽerminos de O(p6) en el lagrangiano quiral

y comparar con SRA en el lŽimite Nc grande.

Por otra parte, no es posible hacer compatibles L8 o L10. El desacuerdo con los corres-

pondientes valores en Nc grande se debe a que el modelo espectral viola la regla de suma

SS-PP y la segunda regla de Weinberg VV-AA. Esta violaciŽon tambiŽen ocurre en otros

modelos de quarks [138, 139] (no ocurre en los modelos no locales; ver [140, 141]). En

efecto, en el modelo no existe intercambio de mesoŽn axial en L10 (1/4 de la contribucioŽn

total) ni de mesoŽn pseudoescalar en L8 (1/4 de la contribucioŽn total). Por otra parte, para el valor de f que se obtiene de ec. (7.26), las constantes L1, L2, L4, L5, L6, L9

6En

particular,

MP /MS

= MA/MV

 = 2,

donde

MP

es

la

masa

del

piŽon

excitado.

7.5 LŽimite de Nc grande y Dualidad

163

reproducen las identidades en Nc grande que aparecen en [127]. Este acuerdo se puede ver en la tabla 6.1 si se considera un factor de correcciŽon 242f2/NcMV2 = 1,15. Se podrŽia forzar que L3 coincidiera con la estimacioŽn de Nc grande tomando MV = MS. Esto concuerda con la observaciŽon en la aproximaciŽon unitaria quiral de ref. [142], de que en el lŽimite de Nc grande, los mesones escalar y vector son degenerados.7 Por tanto, el intentar compatibilizar
el lŽimite de Nc grande en la SRA con el modelo quark espectral produce una degeneraciŽon de los mesones escalar y vector. Esta degeneraciŽon fue sugerida en [143] en el contexto de
reglas de suma superconvergentes y han sido interpretadas maŽs recientemente en base a
simetrŽias que se restablecen [144].
Parece claro que cualquier modificacioŽn en el modelo quark espectral afectaraŽ uŽnicamen-
te a L8 y L10. Si se considera MS = MV = 2f 6/Nc para Nc grande en la aproximaciŽon SRA, se obtienen las siguientes relaciones de dualidad

2L1

=

L2

=

-

1 2

L3

=

1 2

L5

=

2 3

L8

=

1 4

L9

=

-

1 3

L10

=

Nc 1922

.

Esto conduce a las relaciones de dualidad para las masas

(7.51)





MA = MP = 2MV = 2MS = 4

3 Nc

f

.

(7.52)

La nueva relacioŽn MA = MP concuerda con el valor experimental dentro del error del 30 % que se espera de considerar el lŽimite Nc grande. Haciendo uso de ec. (7.40) se obtiene



r2

1/2 S

=

r2

1/2 V

=

Nc 2f

.

(7.53)

Estas relaciones estŽan sujetas a correcciones en m y en Žordenes maŽs altos en Nc. NumŽeri-

camente se tiene

r2

1/2 S

=

r2

1/2 V

=

0,58 - 0,62

fm ,

(7.54)

dependiendo de si se toma f = 88 o 93 MeV. El valor del radio escalar es proŽximo al que se obtiene de TQP hasta dos loops [145], 0,78 fm.
En el caso SU(2), el modelo de dualidad con Nc grande conduce a

-

Żl1

=

Żl2

=

3 2

Żl3

=

3 2

Żl4

=

1 3

Żl5

=

1 4

Żl6

=

Nc

.

(7.55)

Los valores recientes obtenidos a partir del anŽalisis de la colisioŽn  a nivel de dos loops [145] y de factores de forma vector y escalar [146] a dos loops son

Żl1 = -0,4 ± 0,6 , Żl4 = 4,4 ± 0,2 ,

Żl2 = 6,0 ± 1,3 , Żl3 = 2,9 ± 2,4, Żl5 = 13,0 ± 1,0 , Żl6 = 16,0 ± 1,0 .

(7.56)

7Para Nc = 3, 10, 20, 40, en ref. [142] se obtiene MS/MV = 0,58, 0,84, 0,96, 0,98, respectivamente, con MS y MV las partes reales de los polos en la segunda hoja de Riemann.

164

CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral

Los coeficientes Żl son maŽs susceptibles de poder compararse con TQP ya que los loops quirales generan un cambio constante c = log(”2/m2), que es el mismo para todos ellos.
Por tanto, tiene sentido comparar diferencias donde los logaritmos se cancelan.

Żl2 - Żl1 = 2Nc (Exp. 6,4 ± 1,4) ,

Żl3 - Żl1 =

5Nc 3

(Exp. 3,3 ± 2,5) ,

Żl4 - Żl1 =

5Nc 3

(Exp. 4,8 ± 0,6) ,

Żl5 - Żl1 = 4Nc (Exp. 13,4 ± 1,2) ,

Żl6 - Żl1 = 5Nc (Exp. 16,4 ± 1,2) .

(7.57)

El acuerdo es excelente dentro de las incertidumbres, y esto sugiere una precisioŽn del orden de 1/Nc2 en lugar de la que cabrŽia esperar a priori 1/Nc.
El cambio constante de los loops pioŽnicos se produce con una escala ” = 513±200 MeV,
lo cual es comparable con la masa del mesoŽn . Considerando las ecs. (7.43)-(7.45) corres-
pondientes a SRA, con los valores fŽisicos f = 93,2 MeV, MS = 1000 MeV y MV = 770 MeV, tal y como se hace en [130], se tiene

Żl2 - Żl1 = 8,3 , Żl3 - Żl1 = 6,2 , Żl4 - Żl1 = 6,2 , Żl5 - Żl1 = 15,2 , Żl6 - Żl1 = 18,7 . (7.58)

Se podrŽian obtener unos valores maŽs razonables considerando MS = 600 MeV, pero entonces la relacioŽn SRA, MP = 2MS, predicirŽia un valor demasiado pequen~o para la masa del estado pioŽnico excitado.
Esta discusioŽn favorece fenomenolŽogicamente las relaciones de dualidad ec. (7.51) frente a las relaciones de SRA, ecs. (7.43)-(7.45), con paraŽmetros fŽisicos.

7.6. Conclusiones
En este capŽitulo se ha estudiado el desarrollo quiral en el modelo quark espectral propuesto recientemente, en presencia de fuerzas externas electrodŽebiles y gravitatorias. El modelo estŽa basado en una representacioŽn de Lehmann para el propagador del quark con una funciŽon espectral no convencional, que es en general una funciŽon compleja con cortes de rama. Se ha escrito la accioŽn efectiva que reproduce las identidades de Ward-Takahashi, y gracias a una serie infinita de condiciones espectrales hemos obtenido la contribucioŽn anŽomala quiral a la accioŽn. Esta contribucioŽn aparece convenientemente normalizada sin necesidad de eliminar la regularizacioŽn. AdemaŽs, la contribucioŽn no anŽomala se puede escribir en tŽerminos de 13 constantes de baja energŽia. Los valores numŽericos muestran un acuerdo razonable con los esperados fenomenolŽogicamente, si bien existen algunas discrepancias para L8 y L10. EŽstas se podrŽian explicar de manera natural como fallos del modelo a la hora de reproducir las condiciones quirales a cortas distancias, y sugiere que Žeste necesita ser mejorado. Por otra parte, si se intenta comparar las LEC's no-gravitacionales restantes con las predicciones de Nc grande en la aproximaciŽon de una uŽnica resonancia, tiene lugar

7.6 Conclusiones

165

una nueva reduccioŽn de paraŽmetros. En particular, el mejor acuerdo se encuentra para el
caso de mesones escalar y vector degenerados.
Se han estimado las LEC's gravitatorias L11, L12 y L13 en el contexto de los modelos de quarks quirales. Estas constantes dependen de las propiedades de curvatura de la mŽetrica
en espacio-tiempo curvo. Este cŽalculo permite la determinacioŽn de algunos elementos de
matriz del tensor energŽia-impulso. Nuestro anŽalisis sugiere que el acoplamiento del mesoŽn
escalar con el condensado de quarks m0qq, y el mesoŽn escalar acoplado con la traza del tensor energŽia-impulso ””, no coinciden necesariamente. Estos dos operadores se comportan de manera diferente bajo simetrŽia quiral, ya que m0qq se anula en el lŽimite quiral mientras que ”” no lo hace. Esto se materializa en el modelo quark espectral en el hecho de que estos dos mesones escalares dependen de momentos espectrales impares y pares, respectivamente. Por otra parte, se obtiene Mf0 = Mf2 = 2MV = 2MS = 4 3/Ncf, que constituye un resultado muy razonable si tenemos en cuenta la aproximaciŽon de un loop de quarks en que
estamos trabajando. Se han discutido otras relaciones de dualidad quark-mesŽon, lo cual ha
permitido una determinacioŽn bastante precisa de las LEC's ya conocidas, y se muestran
de acuerdo con los valores conocidos a dos loops dentro de los errores experimentales.

166

CapŽitulo 7: Modelo Quark Espectral y AccioŽn Efectiva Quiral

CapŽitulo 8
Conclusiones
8.1. Resumen y Conclusiones
En esta tesis se ha hecho un estudio detallado de algunos efectos de temperatura y de curvatura en QCD y en algunos modelos de quarks quirales. Las conclusiones y logros maŽs significativos de este trabajo han sido los siguientes:
Se ha construido un desarrollo del heat kernel invariante gauge orden por orden a temperatura finita, dentro del formalismo de tiempo imaginario, para espacio-tiempo plano. Se ha considerado un tratamiento general vaŽlido en cualquier gauge, y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no estŽaticos. Para preservar la invariancia gauge a temperatura finita se ha hecho uso del loop de Polyakov, y se ha llegado hasta orden 6 en un contaje en dimensiones de masa.
Se ha aplicado el desarrollo del heat kernel para el cŽalculo de la accioŽn efectiva de QCD a un loop, incluyendo fermiones sin masa, en la regioŽn de temperaturas grandes. Se ha considerado un loop de Polyakov no estŽatico. Se ha estudiado la invariancia gauge del resultado, y en concreto la rotura explŽicita de la simetrŽia del centro por efecto de los fermiones.
Se ha obtenido la accioŽn de la teorŽia efectiva dimensionalmente reducida de QCD, vaŽlida en el rŽegimen de temperaturas grandes. Esto ha permitido obtener nuevos tŽerminos de orden 6 no calculados en la literatura, tanto en el sector fermiŽonico como en el gluŽonico.
Se ha propuesto un modelo fenomenolŽogico que permite describir con gran Žexito los datos del retŽiculo tanto para el loop de Polyakov renormalizado como para la energŽia libre de un quark pesado, en el rŽegimen de temperaturas inmediatamente por encima de la transiciŽon de fase. Este modelo da cuenta de contribuciones no perturbativas provenientes de condensados gluŽonicos, y se ha obtenido una predicciŽon para el valor del condensado gluŽonico de dimensiŽon 2 en el rŽegimen de temperaturas considerado,
167

168

CapŽitulo 8: Conclusiones

Tc  T  6Tc. El resultado se muestra de acuerdo con otras predicciones existentes tanto a temperatura cero como a temperatura finita.
Se ha estudiado la analogŽia existente entre el loop de Polyakov y el potencial quarkantiquark a temperatura cero. Esto ha permitido encontrar una relacioŽn entre el condensado gluŽonico de dimensiŽon 2 y la tensiŽon de la cuerda.
Se ha introducido el loop de Polyakov de color en los modelos de quarks quirales a nivel de un loop de quarks, siguiendo un esquema de acoplamiento mŽinimo, y hemos visto que esto permite resolver algunas inconsistencias que presentaban estos modelos en su tratamiento estŽandar a temperatura finita. En concreto, la integracioŽn sobre el grupo gauge da lugar a una conservaciŽon de trialidad, y el contaje en Nc se muestra de acuerdo con las predicciones de TeorŽia Quiral de Perturbaciones.
Se ha calculado el lagrangiano efectivo quiral a temperatura finita de los modelos Nambu­Jona-Lasinio y Quark Espectral a nivel de un loop de quarks y a nivel aŽrbol para los mesones, en la aproximaciŽon quenched, y se ha obtenido una predicciŽon para las constantes de baja energŽia de TeorŽia Quiral de Perturbaciones.
Se han analizado algunas correcciones de orden mayor para los modelos de quarks quirales acoplados con el loop de Polyakov. En concreto correcciones gluoŽnicas, locales, y las provenientes de ir maŽs allŽa de un loop de quarks. Se ha encontrado que los efectos tŽermicos estŽan exponencialmente suprimidos a temperaturas pequen~as, y vienen dominados por loops mesoŽnicos. AdemaŽs, se ha analizado la influencia del determinante fermiŽonico sobre algunos observables como el condensado de quarks y el valor esperado del loop de Polyakov, y se han estudiado sus implicaciones sobre las transiciones de fase quiral y de desconfinamiento de color.
Se ha estudiado el acoplamiento de los modelos de quarks quirales con gravedad, y se ha analizado la correspondiente estructura del tensor energŽia-impulso a bajas energŽias para cuatro modelos concretos: Quark Constituyente, Georgi-Manohar, Nambu­Jona-Lasinio y Quark Espectral. Se ha obtenido una predicciŽon para los coeficientes de baja energŽia correspondientes a los tŽerminos no mŽetricos con contribuciones de curvatura.
Se ha obtenido la contribucioŽn anŽomala quiral a la accioŽn efectiva en el modelo quark espectral. DespuŽes de introducir una regularizacioŽn conveniente, el resultado no depende de los detalles de la funciŽon espectral, de modo que coincide con la anomalŽia de QCD.
Se han comparado los resultados del modelo quark espectral para las constantes quirales de baja energŽia, con las predicciones de Nc grande en la aproximaciŽon de una uŽnica resonancia. El mejor acuerdo se encuentra para el caso de mesones escalar y vector degenerados, dando lugar a unas relaciones de dualidad quark-mesŽon, que han permitido una determinacioŽn precisa de las constantes de baja energŽia conocidas.

8.2 Anexo de artŽiculos publicados

169

8.2. Anexo de artŽiculos publicados
Esta tesis estŽa basada en las siguientes publicaciones.
1. Revistas internacionales:
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, The Polyakov loop and the heat kernel expansion at finite temperature, Phys. Lett. B563, 173-178 (2003), [arXiv:hep-th/0212237].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola, and L. L. Salcedo, Thermal heat kernel expansion and the one-loop effective action of QCD at finite temperature, Phys. Rev. D69, 116003 (2004), [arXiv:hep-ph/0312133].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola, L. L. Salcedo and W. Broniowski, Low energy chiral Lagrangian from the spectral quark model, Phys. Rev. D70, 034031 (2004), [arXiv:hep-ph/0403139].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Energy momentum tensor of chiral quark models at low energies, Phys. Rev. D72, 014001 (2005), [arXiv:hep-ph/0504271].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Dimension two condensates and the Polyakov loop above the deconfinement phase transition, JHEP 0601, 073 (2006), [arXiv:hep-ph/0505215].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Power corrections in the quarkantiquark potential at finite temperature, Phys. Rev. D75, 105019 (2007), [arXiv:hep-ph/0702055].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop in chiral quark models at finite temperature, Phys. Rev. D74, 065005 (2006), [arXiv:hep-ph/0412308].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Chiral Lagrangian at finite temperature from the Polyakov-chiral quark model, Phys. Rev. D74, 114014 (2006), [arXiv:hep-ph/0607338].

2. Actas de congresos:
E. MegŽias, One-loop effective action of QCD at high temperature using the heat kernel method. Actas de 9th Hadron Physics and 8th Relativistic Aspects of Nuclear Physics (HADRON-RANP 2004). AIP Conf. Proc. 739, 443-445 (2005), [arXiv:hep-ph/0407052].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop at finite temperature in chiral quark models. Actas de la conferencia Mini-Workshop on Quark Dynamics: Bled 2004. Bled Workshops in Physics, Vol. 5, No. 1, PaŽg. 1-6 (2004), [arXiv:hep-ph/0410053].

170

CapŽitulo 8: Conclusiones

E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Chiral lagrangians at finite temperature and the Polyakov loop. Actas de 6th International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum. AIP Conf. Proc. 756, 436-438 (2005), [arXiv:hep-ph/0411293].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Non-perturbative contribution to the Polyakov loop above the deconfinement phase transition. Actas de 18th International Conference on Ultra-Relativistic Nucleus-Nucleus Collisions: Quark Matter 2005 (QM 2005). Romanian Reports in Physics, Vol. 58, No. 1, PaŽg. 81-85 (2006), [arXiv:hep-ph/0510114].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop at low and high temperatures. Actas de 29th Johns Hopkins Workshop in Theoretical Physics. JHEP Proceedings of Science, PoS(JHW2005)025, (2006), [arXiv:hep-ph/0511353].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, The quantum and local Polyakov loop in chiral quark models at finite temperature. Actas de 7th International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum. AIP Conf. Proc. 892, 444-447 (2007), [arXiv:hep-ph/0610095].
E. MegŽias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Dimension-2 condensates and Polyakov chiral quark models. Actas de 4rd International Conference on Quarks and Nuclear Physics. The European Physical Journal A31, 553-556 (2007), [arXiv:hep-ph/0610163].

ApŽendice A Transformaciones Gauge

En este apŽendice explicaremos quŽe se entiende por transformaciŽon gauge y discutiremos ciertas propiedades que cumple una transformaciŽon gauge a temperatura finita. Estudiaremos la rotura de la simetrŽia del centro del grupo gauge al considerar una teorŽia con fermiones. Vamos a seguir en parte la referencia [147].

A.1. Definiciones

Consideremos un operador f (M, D”) construido con M y D” en sentido algebraico. Una configuraciŽon gauge transformada (MU , AU” ) es una de la forma

M U (x) = U -1(x)M (x)U (x) , AU” (x) = U -1(x)”U (x) + U -1(x)A”(x)U (x) ,

(A.1)

donde la transformaciŽon gauge U(x) es una funciŽon que toma valores sobre matrices en
el espacio interno. Esta transformaciŽon corresponde a una transformaciŽon de semejanza de D” de la forma D”U = ” + AU” (x) = U -1(x)D”U (x), donde U (x) se considera que es un operador multiplicativo en el espacio de Hilbert H de las funciones de onda. Debido a
que f (M, D”) estŽa construido con M, D” y c-nuŽmeros, se sigue que f (M, D”) tambiŽen se transforma bajo una transformaciŽon de semejanza

f (M U , D”U ) = U -1f (M, D”)U .

(A.2)

U(x) pertenece a cierto grupo gauge G y el campo gauge A”(x) es un elemento del aŽlgebra de Lie de G. La clase de matrices M(x) debe ser cerrada bajo transformaciones gauge. U(x) debe ser una funciŽon continua del espacio-tiempo y a temperatura finita ha de ser periŽodica (salvo una posible fase global) como funciŽon de x0. Notar que una transformaciŽon gauge deja invariante el espectro de f (M, D”), por tratarse de una transformaciŽon de semejanza.
171

172

CapŽitulo A: Transformaciones Gauge

A.2. Gauges estacionarios

En cŽalculos explŽicitos suele ser usual fijar el gauge a travŽes de la condicioŽn 0A0 = 0, que no implica pŽerdida de generalidad ya que este gauge siempre existe.1 Esto quiere decir que para cada configuraciŽon existe una transformaciŽon gauge que la lleva a la configuracioŽn estacionaria. Una vez fijado este gauge, queda auŽn cierta libertad. Cuando se trabaja en el gauge estacionario, para comprobar la invariancia gauge es necesario encontrar el resto de transformaciones compatibles con este gauge y ver que todas ellas producen el mismo resultado. A continuaciŽon vamos a determinar cuaŽl es la transformaciŽon gauge maŽs general de este tipo.
Sean A” y B” dos configuraciones estacionarias y sea U una transformaciŽon gauge que transforma A” en B”. Esto quiere decir

B0(x) = U -1(x)0U (x) + U -1(x)A0(x)U (x) .

(A.3)

Notar que el primer tŽermino cambia la magnitud de A0 y el segundo simplemente lo rota en el espacio interno. Podemos simplificar esta ecuaciŽon si hacemos uso de la variable auxiliar V (x) = exp(x0A0(x))U(x), con lo que queda

B0(x) = V -1(x)0V (x) .

(A.4)

La soluciŽon maŽs general de (A.4) va a estar formada por una transformaciŽon gauge arbi-

traria independiente del tiempo y por una transformaciŽon cuya dependencia temporal sea

lineal2

V (x) = U0(x)ex0B0(x) .

(A.5)

Un modo conveniente de escribir la transformaciŽon es haciendo uso del cambio de variable

B0(x) = U0-1(x)(A0(x) + (x))U0(x) ,

(A.6)

con lo cual finalmente queda

U (x) = e-x0A0 e (x) x0(A0(x)+(x))U0(x) .

(A.7)

Ahora debemos imponer la condicioŽn de que U(x) es funciŽon periŽodica de x0, salvo una

posible fase global

U (x0 + , x) = eiU (x0, x) .

(A.8)

AquŽi  es una fase global escalar multiplicada por la matriz identidad. Esto conduce a la

restricciŽon

e(A0(x)+(x)) = eieA0(x) ,

(A.9)

lo cual va a producir una discretizaciŽon en la parte temporal de la transformaciŽon gauge. De (A.9) se deduce que A0(x) y (x) deben conmutar con exp(A0(x)). Si el espectro de

1Este gauge es conocido en la literatura como 'gauge de Polyakov', aunque nosotros nos referiremos a
Žel tambiŽen como gauge estacionario. 2Una dependencia no lineal darŽia lugar a una contribuciŽon temporal en B0.

A.3 ParticularizacioŽn al grupo gauge SU(Nc)

173

la matriz unitaria exp(A0(x)) es no degenerado, Žesta puede ser diagonalizada en una base

que es esencialmente uŽnica e independiente de x. En este caso A0(x) y (x) deben ser diagonales en la misma base y por tanto van a conmutar entre sŽi. Esto da lugar a que la

condicioŽn sobre  sea

e(x) = ei ,

[A0(x), (x)] = 0 .

(A.10)

La primera condicioŽn conduce a que los valores propios de (x) sean de la forma j = i( + 2nj)/, nj  Z. Notar que por continuidad estos enteros deben ser independientes de x. Finalmente la transformaciŽon gauge queda

U (x) = ex0(x)U0(x) ,

(A.11)

expresiŽon vaŽlida cuando el espectro de exp(A0(x)) es no degenerado.

A.3. ParticularizaciŽon al grupo gauge SU(Nc)

A.3.1. SimetrŽia del centro del grupo gauge

Consideremos especŽificamente el grupo gauge SU(Nc). En la ecuaciŽon (A.8), tomando en cada miembro el determinante y teniendo en cuenta que Det(U) = 1, obtenemos que los valores permitidos de  son cuando Det[exp(i)] = 1, esto es  = 2n/Nc, n  Z. Puesto que solamente estŽan permitidos valores discretos para , esto implica que la matriz  debe ser independiente de x, por continuidad. Como ejemplo, en SU(2) los valores propios de  son de la forma j = inj/, nj  Z. Para SU(Nc), con Nc > 2, es siempre posible elegir una representacioŽn fundamental en la cual todos los generadores diagonales excepto uno tengan al menos un valor propio cero [por ejemplo, las matrices de Gell-Mann 3 y 8 para SU(3)]. La transformaciŽon U se escribirŽa

U (x) = exp(x0aa)U0(x) ,

(A.12)

donde a/2i son los generadores diagonales del grupo. Los tŽerminos a correspondientes a cada uno de los generadores con un valor propio cero deben ser de la forma a = i2na/.
El otro generador Nc2-1 viene dado por

Nc2-1 = diag(1, 1, · · · , 1 - Nc) ,

(A.13)

donde  es un factor de normalizacioŽn. En este caso Nc2-1 = i2n/(Nc) dan lugar a transformaciones gauge permitidas. Esto quiere decir que ademaŽs de la simetrŽia gauge SU(Nc), exite una simetrŽia extra global Z(Nc), que es el centro del grupo gauge. Esta simetrŽia es generada por la accioŽn de transformaciones gauge locales que son periŽodicas en la variable temporal, salvo un elemento arbitrario de Z(Nc),

U (x0 + , x) = z U (x0, x) ,

z = ei2n/Nc ,

(A.14)

moŽdulo transformaciones gauge locales estrictamente periŽodicas.

174

CapŽitulo A: Transformaciones Gauge

A.3.2. Rotura explŽicita de la simetrŽia del centro

La situacioŽn cambia si hay fermiones en la teorŽia. Puesto que los fermiones transforman como   U, no hay factores U-1 que cancelen la fase global. Por tanto, con objeto de que las condiciones de contorno temporales para fermiones queden inalteradas bajo transformaciones gauge, sŽolo estŽan permitidas transformaciones que satisfagan (A.8) con  = 0. Esto quiere decir que los fermiones rompen la simetrŽia del centro del grupo gauge que estŽa presente en todas las teorŽias gauge puras. En consecuencia, la forma maŽs general de a para una teorŽia SU(Nc) con fermiones es a = i2na/.
La rotura de la simetrŽia del centro del grupo gauge se manifiesta en que algunos de los mŽinimos absolutos degenerados del potencial efectivo de la teorŽia gauge pura dejan de serlo cuando la teorŽia incluye fermiones. No obstante, es posible probar que estos mŽinimos seguirŽan siendo puntos estacionarios del potencial efectivo completo con fermiones. En el gauge de Polyakov A0 es independiente del tiempo y diagonal. Una matriz diagonal arbitraria de su(Nc) se puede escribir siempre como una combinaciŽon lineal de matrices que tengan al menos un cero en la diagonal y la matriz Nc2-1 dada en (A.13). UŽ nicamente esta uŽltima matriz pondrŽa de manifiesto el mŽinimo que estamos buscando, por lo comentado anteriormente. El potencial efectivo de QCD que calculamos en el capŽitulo 3 se puede escribir como

L0,q(x)

=

-

(2)2 34

Nf

trB4

1 2

+



,

(x) = ei2 ,

-

1 2

<



<

1 2

,

(A.15)

para el sector fermiŽonico y

L0,g (x)

=

22 34

trB4

()

,

(x) = ei2 , 0 <  < 1

(A.16)

para el sector gluŽonico. tr es traza en la representacioŽn fundamental del grupo gauge y tr es

en la representacioŽn adjunta. Los valores propios del loop de Polyakov en la representacioŽn

fundamental son A = exp(i2A), A exp(i2(A - A )), A, A = 1, . . . , Nc.

= Si

1, . . . , Nc, y hacemos uso

en de

la la

representacioŽn representacioŽn

adjunta en serie

AA = de los

polinomios de Bernoulli [52]

B2(x)

=

(-1)-12(2)! (2)2



cos(2nx) n2

,

n=1

0  x  1 , n = 1, 2, . . .

(A.17)

y nos limitamos a considerar el potencial efectivo para Nc2-1 obtenemos

L0,q (x)

=

4Nf 24



(-1)n n4

{(Nc

-

1)

cos(2n)

+

cos((Nc

-

1)2n)}

,

n=1

L0,g (x)

=

-

2 2

4



1 n4

2(Nc - 1) cos(2nNc) + (Nc - 1)2

.

n=1

(A.18) (A.19)

A.3 ParticularizacioŽn al grupo gauge SU(Nc)

175

Los mŽinimos de L0,g se encuentran en  = m/Nc, con m entero. Si diferenciamos el lagrangiano L0,q respecto a  se puede comprobar que estos mŽinimos se corresponden exactamente con puntos estacionarios (mŽinimos o maŽximos) de la parte fermiŽonica. En consecuencia, el
potencial efectivo total siempre va a tener puntos estacionarios en  = m/Nc.

176

CapŽitulo A: Transformaciones Gauge

ApŽendice B
Integrales en tiempo propio con regularizaciŽon dimensional

Para obtener el lagrangiano efectivo de QCD quiral a un loop del capŽitulo 3 hemos necesitado calcular las trazas en espacio interno y las integrales en  . En este apŽendice calcularemos la expresiŽon genŽerica de la siguiente integral regulada dimensionalmente

I±,n() =

 0

d 

(4”2 ) ±n (ei2)

,

, ,   R ,

n = 0, 1, 2, . . .

(B.1)

Las funciones n las definimos en su momento como

±n (;  /2)

=

(4 )1/2 

 n/2Qne Q2 ,

p±0

Q

=

ip±0

-

1 

log()

,

(B.2)

donde en la versioŽn bosoŽnica sumamos sobre las frecuencias de Matsubara p+0 = 2n/,

y

en

la

versioŽn

fermiŽonica

sobre

p-0

=

2(n

+

1 2

)/

.

CentrŽemonos

por

el

momento

en

la

versioŽn bosoŽnica de la funciŽon n. Vamos a tener



I+,n() = (4”2)

4 

2i 

n
(k - )n
kZ



d



++(n-1)/2

e-(

2 

)2 (k-

)2



,

0

  Z. (B.3)

Debido a la sumatoria en k  Z, la funciŽon es periŽodica en  con perŽiodo 1. El caso   Z

serŽa discutido maŽs tarde. La integral sobre  se calcula y se obtiene

I+,n() = in(4”2)

 2

2(+)

(

+



+ (n +

(

1 2

)

1)/2)

kZ

(k |k

- -

)n |n

|k

-

1  |2(+)+1

.

(B.4)

177

178

CapŽitulo B: Integrales en tiempo propio con regularizacioŽn dimensional

Definamos  = k0 + , donde 0 <  < 1 y k0  Z. La suma sobre k la podemos dividir en una suma para k  k0 y otra para k > k0

I+,n() = in(4”2)

 2(+) ( +  + (n + 1)/2)

2

(

1 2

)

Ś

kk0

(k0

+

(-1)n  - k)2(+)+1

+

k>k0

(k

-

k0

1 - )2(+)+1

. (B.5)

Si hacemos uso de la funciŽon  de Riemann generalizada [52]

 (z,

q)

=

 n=0

(n

1 +

q)z

[Re z > 1, q = 0, -1, -2, . . .] ,

(B.6)

llegamos a la siguiente expresiŽon

I+,n() = (4)

” 2  2 ( +  + (n + 1)/2)

2

2

(

1 2

)

Ś (-i)n(1 + 2 + 2, ) + in(1 + 2 + 2, 1 - ) ,

(B.7)

donde  =  (mod 1), 0 <  < 1.

Las versiones bosoŽnica y fermiŽonica de las funciones n estŽan relacionadas por   -,

esto es +n () = -n (-). Por tanto I-,n se puede obtener a partir de las integrales I+,n con

el

cambio







+

1 2

,

I-,n() =

(4)

” 2  2 ( +  + (n + 1)/2)

2

2

(

1 2

)

Ś

(-i)n (1

+

2

+

2,

1 2

+

)

+

in (1

+

2

+

2,

1 2

-

)

, (B.8)

donde



=

(

+

1 2

)

(mod

1)

-

1 2

,

-

1 2

<



<

1 2

.

Notar

que

I±,2n ( )

=

(-1)n

( + (

+ +

n +

+

1 2

)

1 2

)

I±,0(

)

,

I±,2n+1 ( )

=

(-1)n

( + (

+ +

n +

+ 1) 1)

I±,1(

)

.

(B.9)

Estas funciones son periŽodicas en  y bajo paridad se comportan

I±,n() = (-1)nI±,n(-) .

(B.10)

En el problema de la reduccioŽn dimensional de la teorŽia de Yang-Mills uŽnicamente se
suma sobre fluctuaciones cuaŽnticas no estŽaticas (n = 0). Con objeto de preservar las propiedades de periodicidad y paridad de las funciones I+,n, definimos las integrales bosoŽnicas

179

sin el modo estŽatico eliminando la frecuencia k = k0

cuando



>

1 2

.

Haciendo

esto

en

(B.5)

se

obtiene

cuando



<

1 2

y

la

frecuencia

k

=

k0 +1

I+,n() = (4)

” 2

2

 2

2 ( +  + (n + 1)/2)

(

1 2

)

Ś

(-i)n(1 + 2 + 2, 1 + ) + in(1 + 2 + 2, 1 - ) , (-i)n(1 + 2 + 2, ) + in(1 + 2 + 2, 2 - ) ,

(B.11)

0
1 2

 <

 

< 

1 2
1

, .

Estas funciones son finitas, incluso para valores enteros de . Consideremos ahora   Z. En este caso el modo estŽatico p+0 = 0 de las integrales I+,n()
con n = 0 no contribuye. Este modo va a contribuir solamente en I+,0 dando origen a divergencias infrarrojas o ultravioletas. En regularizacioŽn dimensional la integral I+,0()|p0=0 con   Z se define como cero ya que no tiene una escala natural. Esto conduce a la siguiente
prescripciŽon

I+,n() = I+,n = (4)

” 2  2 ( +  + (n + 1)/2)

2

2

(

1 2

)

Ś

2(-1)n/2(1 + 2 + 2) , 0,

(n par) (n impar)





Z

.

(B.12)

180

CapŽitulo B: Integrales en tiempo propio con regularizacioŽn dimensional

ApŽendice C
Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)

En este apŽendice presentaremos el lagrangiano efectivo de QCD quiral a un loop a temperatura alta calculado en el capŽitulo 3, para SU(2) en el sector de quarks y en el sector gluŽonico, incluyendo todos los tŽerminos hasta dimensiŽon de masa 6. Los resultados vienen dados en el esquema MS, y hemos considerado explŽicitamente un cutoff infrarrojo. Las convenciones son las que aparecen en la secciŽon 3.7.

LŽarbol(x)

=

1 4g2(”)

F”2

,

(C.1)

L0,g(x) =

2T 4 3

- 1 + 42(1 - )2 5

,

(C.2)

L2,g (x)

=

-

11 962

1 11

+

2

log

” 4T

- () - (1 - ) F”2

-

11 962

T m

+

1 11

+ 2 log

” 4T

+

E

-

1 2

()

-

1 2

(1

-

)

F”2

+

1 24

2

Ei2

-

1 482

T m

Ei2 ,

(C.3)

L3,g (x)

=

61 21602

1 4T

2
8

T m

3
+ 2(3) - () - (1 - ) (F” Ś F) · F”

-

1 482

1 4T

2
[() + (1 - )] F2”

+

1 96

2

1 4T

2
16

T m

3
+ 4(3) - () - (1 - ) F2”

181

182

CapŽitulo C: Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)

+

1 4802

1 4T

2
[() + (1 - )] F”2”

-

1 9602

1 4T

2
16

T m

3
+ 4(3) - () - (1 - ) F”2”

-

3 802

1 4T

2
[() + (1 - )] F02”

+

3 1602

1 4T

2
-8

T m

3
+ 4(3) - () - (1 - ) F02”

-

1 102

12 4T

T m

3
E02i

+

1 2402

1 4T

2
[() + (1 - )] Ei2i

-

1 4802

1 4T

2
-8

T m

3
+ 4(3) - () - (1 - ) Ei2i

+

1 2402

1 4T

2
[() + (1 - )] ijk(Ei Ś Ej) · Bk

(C.4)

+

1 2402

1 4T

2
8

T m

3
- 4(3) - () - (1 - ) ijk(Ei Ś Ej) · Bk ,

L0,q (x)

=

2 3

2

T

4Nf

2 15

-

1 4

(1

-

42)2

,

(C.5)

L2,q(x) =

Nf 962

2 log

” 4T

-

(

1 2

+

)

-

(

1 2

-

)

F”2

-

Nf 482

Ei2

,

(C.6)

L3,q (x)

=

Nf 9602

1 4T

2

(

1 2

+

)

+



(

1 2

-

)

(C.7)

Ś

16 3

(F”

Ś

F)

·

F”

+

5 2

F2”

-

F”2”

-

2ijk(Ei

Ś

Ej )

·

Bk

+

3F02”

-

2Ei2i

.

a Ś b es el producto vectorial de a y b, esto es

(a Ś b)i = ijkajbk .

(C.8)

Como vemos, las contribuciones de los quarks no distinguen entre componentes paralelas
y perpendiculares. Esto se debe a que en SU(2) una funciŽon par en  en la representacioŽn
fundamental es necesariamente un c-nuŽmero. Puesto que todas las funciones n() involucradas en los tŽerminos de dimensiŽon 6 son pares [n()+n(-1) = c·12Ś2], la dependencia en  de las ecs. (3.30) y (3.32) sale fuera de la traza, de modo que A0 no serŽa una direccioŽn

183
privilegiada en espacio de color. Este propiedad no se cumple en la representacioŽn adjunta (sector gluŽonico), ni tampoco en otros grupos SU(Nc) (por ejemplo, ec. (3.117)).
Las divergencias infrarrojas estŽan sujetas a que  sea entero, de modo que no existen en el sector fermiŽonico, y se cancelan en las contribuciones gluoŽnicas que uŽnicamente involucran componentes paralelas.

184

CapŽitulo C: Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)

ApŽendice D
Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de Polyakov

En este apŽendice se explicaraŽ en detalle el cŽalculo del lagrangiano quiral efectivo a temperatura finita presentado en la secciŽon 5.5. El cŽalculo se divide en tres partes. En primer lugar se construirŽa el operador de Klein-Gordon a partir del operador de Dirac y su adjunto para la parte real de la accioŽn efectiva. Haciendo uso de la representacioŽn de Schwinger de tiempo propio, deberemos calcular el heat kernel para este operador. Para ello haremos uso de la tŽecnica desarrollada en el capŽitulo 2. Calcularemos las trazas en los grados de libertad internos (en nuestro caso, sabor). Finalmente, haremos uso de las ecuaciones de movimiento con objeto de tener en cuenta el hecho de que los campos pioŽnicos estŽan en la capa de masas.

D.1. Operador de Klein-Gordon efectivo

El operador de Dirac que aparece en el determinante fermiŽonico se comporta de manera covariante bajo transformaciones quirales. Esto implica que, en principio, habrŽia que considerar tanto el acoplamiento vector como el axial. Conseguiremos una gran simplificacioŽn en nuestro tratamiento si hacemos uso de los convenios de ref. [148, 149], donde se muestra que es suficiente con llevar a cabo el cŽalculo en el caso de un acoplamiento vector, y posteriormente reconstruir el resultado quiral total de un modo conveniente.
Consideremos el siguiente operador de Dirac con un acoplamiento tipo vector

D =D/ +h, h = m + z ,

(D.1)

donde h incluye el campo del pioŽn m, que es orden O(p0), y el tŽermino de masa z que rompe 185

CapŽitulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de

186

Polyakov

explŽicitamente la simetrŽia quiral, y que tomamos O(p2). Nuestra notacioŽn es la siguiente

hLR

=

MU

+

1 2B0



,

hRL

=

MU

+

1 2B0



.

La parte real de la accioŽn efectiva es, formalmente

(D.2)

+q [v,

h]

=

-

1 2

Tr

log(DD)

=:


dx0
0

d3x Lq(x) ,

donde el operador de Klein-Gordon relevante viene dado por

(D.3)

DD

=

-D”2

-

1 2

”

F”

-

”D”h

+

m2

+

h2

,

h2 = h2 - m2 = {m, z} + z2 .

(D.4)

El problema radica en hacer un desarrollo en derivadas covariantes para la accioŽn efectiva.

Podemos

identificar

el

operador

de

masa

M (x)

=

-

1 2

”

F”

-

”D”h

+

h2.

Haciendo

uso

de la representacioŽn de Schwinger de tiempo propio, el lagrangiano efectivo en espacio

euclŽideo se puede escribir como

Lq

=

1 2

 d ( ) Tr e-DD = 1

0

2

 0

d 

(

)

e- M 2 (4 )2

 ntr bTn .
n

(D.5)

En esta representacioŽn haremos uso de la regularizacioŽn de Pauli-Villars [107]

( ) =

cie- 2i .

(D.6)

i

Hasta O(p4) obtenemos las siguientes contribuciones para los coeficientes de Seeley-DeWitt

tŽermicos, despuŽes de haber tomado la traza de Dirac

bT0 = 40() , bT1/2 = 0 ,
bT1 = -40()h2 = -40() {m, z} + z2 , bT3/2 = 0 ,

bT2

= 20()

(h”)2

+

h4

-

1 3

F”2

-

2 3

2Ei2

= 20()

(m”)2

+

{m”,

z”}

+

{m,

z}{m,

z}

-

1 3

F”2

-

2 3

2()Ei2

+

O(p6)

,

bT5/2

=

-

2 3

1{Ei,

(h2)i}

=

-

2 3

1{Ei

,

Di{m,

z}}

=

O(p5)

,

bT3

=

-

2 3

0()

m”{m”, {m, z}} + {m, z}m”m” + {F” , m”m } - m”F” m

+

1 2

(m”

)2

+

1 3

2(m0”)2

+

O(p5)

,

D.2 Trazas de sabor e identidades uŽtiles

187

bT7/2 = O(p5) ,

bT4

=

1 6

0()(m”

m”m

m

+

m”m m m”

-

m”mm”m )

+

O(p5)

.

(D.7)

D.2. Trazas de sabor e identidades uŽtiles

Para Nf = 3 sabores se tiene la siguiente identidad de SU(3)

tr(ABAB)

=

-2tr(A2B2)

+

1 2

tr(A2

)tr(B2)

+

(tr(AB))2

,

(D.8)

donde A y B son matrices hermŽiticas 3 Ś 3 de traza cero. De aquŽi se tiene

trf (m”m m”m)

=

-2trf ((m”)2(m)2)

+

1 2

trf

((m”)2)trf

((m

)2)

+

(trf (m”m ))2

,

(D.9)

trf

(m0m”m0m”)

=

-2trf ((m0)2(m”)2)

+

1 2

trf

((m0)2)trf

((m”)2)

+

(trf

(m0m”))2

.

(D.10)

Otras identidades uŽtiles son

trf ((m”)2) = trf ((m””)2) - 2trf (F”m”m ) + trf (mF” mF” ) - M 2trf (F”2 ) , (D.11)

trf ((m0”)2) = trf (m00m””) - 2trf (Ei[m0, mi]) - 2trf (E0immi) ,

(D.12)

donde hemos hecho uso de la propiedad X” = X” + [F”, X]. Podemos aplicar las ecuaciones de movimiento, ec. (D.30), para obtener

trf (m”z”)

=

1 2B0M 2

trf

(m”m”mx)

-

1 4B0M

trf

(mxmx)

+

M 4B0

trf (x2)

+

8M

1 Nf

B0

trf

([m,

x])trf

([m,

x])

,

(D.13)

trf (m””m )

=

1 M2

trf (m”m”mm )

-

1 2

trf

(mxmx)

+

M 2

2

trf

(x2

)

+

1 4Nf

trf

([m,

x])trf

([m,

x])

,

(D.14)

trf (m00m””)

=

1 M2

trf (m0m0m”m”)

-

M trf (m00x)

-

1 M

trf (m0m0mx)

+

1 2M Nf

trf

(m00m)trf

([m,

x])

.

(D.15)

donde se han introducido los campos normalizados x = 2B0z. La notacioŽn es la siguiente:

xLR =  ,

xRL =  .

(D.16)

CapŽitulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de

188

Polyakov

Haciendo uso de (D.9)-(D.15) podemos calcular la traza en espacio de sabor de los coeficientes de Seeley-DeWitt. Esto conduce a

trf bT0 trf bT1 trf bT2 trf bT3
trf bT4

= 4Nf 0() ,

= -0()

4 B0

trf

(mx)

+

1 B02

trf

(x2)

,

=

20()trf

(m”m”)

+

2 B0M 2

0()trf (m”m”mx)

+

1 B0

1 B0

-

1 M

0()trf (mxmx)

+

M B0

M B0

+

1

0()trf (x2)

-

2 3

0()trf (F”2)

-

2 3

2()trf

(Ei2)

+

1 2M Nf

B0

0()trf ([m,

x])trf ([m,

x])

,

=

-

4 3

0

()trf

(F”

m”m

)

-

1 3

0

()trf

(mF”

mF”

)

+

1 3

M

20

()trf

(F”

)

-

1 6

M

2

0()trf

(x2

)

+

1 6

0()trf

(mxmx)

-

2 B0

0()trf (m”m”mx)

-

1 3M

2()trf (m0m0mx)

-

M 3

2()trf (m00x)

-

2 3

2()trf

(Ei[m0,

mi])

-

2 3

2()trf (E0immi)

-

1 3M 2

0()trf (m”m”m m)

+

1 3M

2

2()trf (m0m0m”m”)

-

1 12Nf

0()trf ([m,

x])trf

([m,

x])

+

1 6M Nf

2

()trf

(m00m)trf

([m,

x]))

,

=

-

1 12

0()trf

(m”m”

)trf

(m

m

)

-

1 6

0()trf

(m”m

)trf

(m”

m

)

+

2 3

0()trf

(m”

m”

m

m

)

.

(D.17)

D.3. Integrales en tiempo propio

Las integrales en tiempo propio bŽasicas que definimos son

Jl(, M, ) := J l(, M, ) :=

 0

d 

( ) le-M20()

,

 0

d 

( ) le-M22()

,

(D.18) (D.19)

donde  = ei2 es una matriz SU(Nc) en espacio de color. Haciendo uso de la foŽrmula de Poisson para la sumatoria, podemos escribir 0 y 2 del siguiente modo

0() =

e-

n2  2 4

(-)n

,

nZ

(D.20)

D.4 Ecuaciones clŽasicas de movimiento

189

2()

=

2 2

n2e-

n2  2 4

(-)n

.

nZ

(D.21)

La contribucioŽn de temperatura cero viene dada por el tŽermino n = 0, y para Žel es necesario aplicar una regularizacioŽn (aquŽi usamos Pauli-Villars). En los tŽerminos n = 0 la regularizacioŽn puede ser eliminada, pues el ban~o tŽermico actuŽa de por sŽi como un regulador ultravioleta. Esta aproximaciŽon estŽa justificada a temperaturas suficientemente pequen~as T  PV. TŽipicamente PV  1 GeV de modo que incluso para T  M  300 MeV la aproximaciŽon es vaŽlida. El cŽalculo de las integrales conduce a

Jl(, M, ) = 1NcŚNc(l) ci(2i + M 2)-l

(D.22)

i

+2

 2M

l
nlKl(nM )((-)n + (-)-n) ,

Re(l) > 0 ,

n=1

J0(, M, ) = -1NcŚNc ci log(2i + M 2)
i 
+2 K0(nM )((-)n + (-)-n) ,

(D.23)

n=1

J-1(, M, ) = 1NcŚNc ci(2i + M 2) log(2i + M 2)

i

+

4M 



K1(nM n

)

((-)n

+

(-)-n)

,

n=1

J-2(, M, )

=

-1Nc ŚNc

1 2

ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2)

i

+8

M 

2



K2(nM n2

)

((-)n

+

(-)-n)

,

n=1

J l(, M, )

=

 l+1 (2M )l-1

 n=1

nl+1Kl-1(nM )((-)n

+

(-)-n) ,

l  R.

(D.24)
(D.25) (D.26)

D.4. Ecuaciones clŽasicas de movimiento

A orden O(p2) el lagrangiano quiral se escribe

Lq(2) =

 0

d 

(

)

e- M 2 (4)2

trc0()

trf (m”m”)

-

4 

trf

(mz

)

=

1 (4)2

trcJ0(, M, )trf (m”m”) - 4trcJ-1(, M, )trf (mz)

CapŽitulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de

190

Polyakov

=

M2 (4)2

trcJ0

(,

M

,



)

trf (D”U D”U )

-

2 M

trcJ-1(, M, ) trcJ0(, M, )

trf

(zRLU

+

zLRU )

=

M2 (4)2

trcJ0

(,

M

,



)trf

D”U D”U - (U + U )

,

(D.27)

donde la normalizacioŽn del campo  viene dada por el factor

 = 2B0 zLR ,

 = 2B0 zRL ,

B0

=

1 M

trcJ-1(, M, ) trcJ0(, M, )

.

(D.28)

y

f2 4

=

M2 (4)2

trcJ0(,

M,



)

.

(D.29)

Si minimizamos la accioŽn a este orden, se obtienen las ecuaciones de movimiento de Euler-

Lagrange

m””m

+

m”m”

-

M 2

[m,

x]

+

M 2Nf

trf ([m,

x])

=

0

.

(D.30)

El uŽltimo tŽermino en ec. (D.30) viene de imponer la condicioŽn Det(U) = 1, pues estamos considerando un grupo de sabor SU(Nf ).

D.5. Lagrangiano Efectivo

El lagrangiano efectivo se puede escribir como

Lq = Lq(0) + Lq(2) + Lq(4) + · · · .

(D.31)

Haciendo uso de la expresiŽon del lagrangiano en ec. (D.5), los coeficientes de Seeley-DeWitt de ec. (D.17) y despuŽes de calcular la integral en tiempo propio con regularizacioŽn de PauliVillars, se obtiene

Lq(0)

=

2Nf (4)2

trcJ-2(,

M,



)

,

(D.32)

Lq(2)

=

f2 4

trf

D”U D”U - (U + U )

,

Lq(4) = -L1trf (u”u”)trf (uu) - L2trf (u”u)trf (u”u) - L3trf (u”u”uu)

-L3trf (u0u0u”u”) + 2L4trf (u”u”)trf (xu) + 2L5trf (u”u”ux)

+2L5trf (u0u0ux) + 2L5trf (u00x) - 2(L6 + L7)trf (ux)trf (ux)

-2(L6 - L7)trf (ux)trf (xu) + 2Ltrf (u00u)trf ([u, x]) - 2L8trf (uxux)

-2L9trf (F” u”u) - 2L9trf (Ei[u0, ui]) - 2L9trf (E0iuui)

+L10trf (uF”uF”) + 2H1trf (F”2) + 2H1trf (Ei2) - H2trf (x2) ,

(D.33)

donde se ha usado la notaciŽon m = Mu. Los coeficientes que aparecen en ec. (D.33) se han escrito de manera que se correspondan con la convencioŽn de Gasser-Leutwyler.

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