Les équations différentielles résolubles

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# Chapitre 28 Les équations différentielles résolubles

## 28.1 Équation linéaire à coefficients constant du 2ième ordre

Ce sont les équations de la forme ay″+by′+cy=f(x)

## 28.2 Équation linéaire en y et y′ du 1ier ordre

La solution générale de l’équation complète est égale à la somme solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution particulière.

- Résoudre :
  2xy′+y−3x2=0
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `normal(desolve(2*x*y’+y-3*x```^```2))`
  On obtient :
  `((5*sqrt(x)*c_0+3*x```^```3)*1/5)/x`
- Résoudre :
  y′*√1+x2−y=x+√1+x2
  On résoud l’équation sans second membre :
  y′/y=1/√1+x2
  On trouve :
  y=c*exp( asinh (x))=c*(√1+x2+x) Puis on fait varier la constante c :
  y′=c′*exp( asinh (x))+c*exp( asinh (x))*1/√1+x2
  donc :
  y′*√1+x2−y=c′*exp( asinh (x))*√1+x2=c′*(x+√1+x2)*√1+x2
  On obtient c′ : c′=(x+√1+x2)*exp(− asinh (x))/√1+x2=1/√1+x2 donc :
  c′=1/√1+x2
  On intègre :
  c= asinh (x)+k=−(ln(√1+x2−x))+k
  On a donc :
  y=( asinh (x)+k)*(√x2+1+x)=(−ln(√1+x2−x)+k)*(√x2+1+x)
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `normal(desolve(y’*sqrt(1+x```^```2)-y=x+sqrt(1+x```^```2),y))`
  On obtient :
  `(sqrt(x```^```2+1)+x)*c_0+(-sqrt(x```^```2+1)-x)*
  ln(abs(sqrt(x```^```2+1)-x))`

## 28.3 Équation du 1ier ordre avec facteur intégrant

Ce sont les équations différentielles qui peuvent être multipliées par f(x) de façon à obtenir une différentielle totale.

- Résoudre :
  xy′−y=0 soit xdy−ydx=0
  On multiplie par f(x)=1/x2 pour que l’équation différentielle soit la différentielle totale de la fonction F(x,y)=y/x.
  Donc y=kx.
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `normal(desolve(x*y’-y))`
  On obtient :
  `c_0*x`
- Résoudre :
  2xyy′+x2−y2+a2=0
  On multiplie par f(x) pour que l’équation différentielle soit la différentielle totale de la fonction F. La fonction f(x) doit vérifier pour cela :
  d(2xyf(x))/dx=d((x2−y2+a2)f(x))/dy
  cela donne :
  2yf(x)+2xyf′(x)=f(x)(−2y)
  ou encore :
  xf′(x)+2f(x)=0
  donc f(x)=1/x2 est un facteur integrant et l’équation différentielle est la differentielle totale de F qui vérifie :
  dF(x,y)/dy=2y/x.
  Donc F(x,y)=y2/x+g(x) et
  −y2/x2+g′(x)=(x2−y2+a2)/x2
  donc g′(x)=1+a2/x2 soit g(x)=x−a2/x
  Puisque dF=0, on en déduit que :
  F(x,y)=y2/x+x−a2/x=(y2+x2−a2)/x=c_0
  Donc les solutions sont :
  y=√(−x2+a2+c_0*x) et y=−√(−x2+a2+c_0*x)
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `normal(exp2pow(desolve(2*x*y*y’+x```^```2-y```^```2+a```^```2)))`
  On obtient :
  `[sqrt(a```^```2-c_1*x-x```^```2),-(sqrt(a```^```2-c_1*x-x```^```2))]`

## 28.4 Équation homogène du premier ordre résoluble en y′

Pour les équations homogènes du premier ordre non résoluble en y voir 28.7.
Les équations homogènes du premier ordre résoluble en y sont de la forme a(x,y)*y′=b(x,y) où a(x,y) et b(x,y) sont des fonctions homogènes de même degré p (a(t*x,t*y)=tp*a(x,y) et b(t*x,t*y)=tp*b(x,y)).
Pour résoudre les équations homogènes on pose y/x=t.

- Résoudre :
  2xyy′+x2−y2=0
  On pose y=t*x.
  On a : dy/dx=x*dt/dx+t donc :
  2*t*(x*dt/dx+t)+1−t2=0 soit à résoudre :
  2*t*x*dt+(1+t2)dx=0
  On obtient une équation à variables séparées :
  2*t*dt/(1+t2)=−dx/x.
  Donc x=k/(t2+1) et y=k*t/(t2+1).
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `normal(desolve(2*x*y*y’+x```^```2-y```^```2))`
  On obtient :
  `[(-i)*x,(i)*x,pnt[c_0/(‘ t‘```^```2+1),(‘ t‘*c_0)/(‘ t‘```^```2+1)]]`
  où ‘ t‘ est le paramétrage.
- Résoudre :
  xy′−y−√x2+y2=0 On pose y=t*x. On a : dy/dx=x*dt/dx+t donc :
  x2*dt/dx+x*t−x*t−√x2+t2*x2=0
  √x2+t2*x2=|x|*√1+t2 soit à résoudre :
  x*dt−√1+t2*dx=0 si x>0
  x*dt+√1+t2*dx=0 si x<0
  ou encore
  |x|t′=√1+t2
  donc =dx/|x|=signe(x)*dx/x=dt/√(1+t2)
  Donc :
  Si x>0 on a : x=k*(t+√(1+t2)); y=k*t*(t+√(1+t2)) avec k>0
  Si x<0 on a : x=k/(t+√(1+t2)); y=k*t/(t+√(1+t2)) avec k<0
  Si x>0 on a : (x/k−t)2=1+t2
  2kxt=k2*x2−1 ou encore
  y=kx2/2−1/(2k) Si x<0 on a : (k/x−t)2=1+t2
  2kt/x=k2/x2−1 ou encore
  y=k/2−x2/(2k)
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `normal(desolve(x*y’-y-sqrt(x```^```2+y```^```2)))`
  On obtient :
  `[(-i)*x,(i)*x,pnt[(sqrt(‘ t‘```^```2+1)+‘ t‘)*c_0,(‘ t‘*sqrt(‘ t‘```^```2+1)+‘ t‘```^```2)*c_0]]`
  où ‘ t‘ est le paramétrage.
- Résoudre :
  3x3y′−(3x2−y2)y=0
  On pose t=y/x et on obtient :
  y′=t−t3/3=dy/dx=t+x*dt/dx donc :
  dx/x=−3*dt/(t3) et y=t*x x=k*exp(3/(2*t2)) et y=k*t*exp(3/(2*t2))
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `normal(desolve(3*x```^```3*diff(y)=((3*x```^```2-y```^```2)*y),y))`
  On obtient :
  `[0,pnt[c_0*exp(3/(‘ t‘```^```2*2)),‘ t‘*c_0*exp(3/(‘ t‘```^```2*2))]]`
  où ‘ t‘ est le paramétrage.
- Résoudre :
  x+y*y′=√x2+y2 On pose :
  t=x2+y2
  On a :
  dt/dx=2x+2ydy/dx donc
  dt/dx=2√t
  donc dx=dt/(2√t)
  x+k=√t, y=s*√t−x2=s*√2*k*√t−k2 avec s=± 1.
  On a donc :
  y=s*√2*k*(x+k)−k2=s*√2*k*x+k2 avec s=± 1, k+2x>0 et k+x>0,
  Ou bien on pose y/x=t donc dy/dx=t+x*dt/dx
  On a x+y*y′=√x2+y2 :
  x+tx(t+x*dt/dx)=|x|*√1+t2
  Après simplification par x :
  t*x*dt/dx=s*√1+t2−1−t2
  tdt/(s*√1+t2−(1+t2))=dx/x
  Pour x>0, s=1 et on a
  ln((−4t2−8−8√t2+1)/(2t2))=ln(x/k)
  Donc :
  x=k(−4t2−8−8√t2+1)/(2t2)
  y=k(−4t2−8−8√t2+1)/(2t)
  Pour x<0, s=−1 et on a
  ln((−4t2−8+8√t2+1)/(2t2))=ln(x/k)
  Donc :
  x=k(−4t2−8+8√t2+1)/(2t2)
  y=k(−4t2−8+8√t2+1)/(2t)

  Avec `Xcas`
  On tape :
  `desolve(x+y*y’=sqrt(x```^```2+y```^```2),y)`
  On obtient :
  `[(i)*x,(-i)*x,0,pnt[c_0/(sqrt(‘ t‘```^```2+1)-1),(‘ t‘*c_0)/(sqrt(‘ t‘```^```2+1)-1)]]`
  où ‘ t‘ est le paramétrage.

## 28.5 Équation de Bernoulli

Les équations de Bernoulli sont de la forme a(x)y′+b(x)y=c(x)yn et se résolvent en posant u=1/yn−1

- Résoudre :
  xy′+2y+xy2
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `simplify(desolve(x*y’+2*y+x*y```^```2,y))`
  On obtient :
  `[1/(x```^```2*c_0-x)]`
- Résoudre :
  xy′−2y=xy3
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `simplify(desolve(x*diff(y)-2*y=(x*y```^```3),y))`
  On obtient :
  `[(-(x```^```2*sqrt(-10*x```^```5+25*c_0)))/(2*x```^```5-5*c_0)]`

## 28.6 Équation à variables séparées

Les équations à variables séparées sont de la forme a(y)dy=b(x)dx et se résolvent en intégrant chaque membre.

- Résoudre :
  x*y′*ln(x)−(3*ln(x)+1)*y
  On a :
  dy/y=(3*ln(x)+1)dx/(ln(x)*x)=3/x+1/(ln(x)*x) et
  ln(y/k)=3*ln(x)+ln(ln(x))=ln(x3*ln(x))
  donc
  y=k*x3*ln(x)
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `normal(desolve(x*y’*log(x)-(3*log(x)+1)*y,y))`
  On obtient :
  `c_0*x```^```3*ln(x)`
- Résoudre :
  y′=2*√y
  On a :
  dy/(2√) y=dx
  donc
  √y=x+k
  ou encore :
  y=(x+k)2
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `desolve(y’=2*sqrt(y),y)`
  On obtient :
  `[((2*x-c_0)```^```2)/4]`

## 28.7 Équation non résoluble en y′

On sait résoudre si l’équation est :

- incomplète en x
  c’est à dire l’équation est de la forme F(y,y′)=0
- incomplète en y
  c’est à dire l’équation est de la forme F(x,y′)=0
- homogéne en x et y et non résoluble en y′
  c’est à dire l’équation est de la forme F(y/x,y′)=0 aprés division par une puissance convenable de x.
- de la forme y=x*y′+f(y′) c’est à dire est une équation de Clairaut : pour la résolution voir 28.8

On sait résoudre ces équations à condition de trouver un paramétrage de de la courbe F(X,Y)=0 par X=f(t),Y=g(t).
On pose alors :

- Équation incomplète en x
  y=f(t),dy/dx=g(t)
- Équation incomplète en y
  x=f(t),dy/dx=g(t)
- Équation homogéne en x et y et non résoluble en y′
  y/x=f(t),dy/dx=g(t)

- Résoudre :
  y2+y′2=1
  On pose :
  y′=t et y=√1−t2 ou y=−√1−t2
  dy=−s*t*dt/√1−t2 avec s=± 1
  dx=dy/t=−s*dt/√1−t2
  x=−s* asin (t)+k avec k=cste donc
  s*x+k= asin (t) et sin(s*x+k)=t
  y=s*√1−t2 donc y=s*√1−sin(s*x+k)2=± cos(s*x+k)2)
  les solutions sont donc :
  [cos(x+k1),−cos(x+k2)]
- Résoudre :
  y2+y′2=1,y(0)=1/2
  si y(0)=1/2 on a k=pi/3 et cos(x+pi/3)=sin(pi/6−x)
  les solutions sont donc :
  [cos(x+pi/3)=sin(pi/6−x),−cos(x+2*pi/3)=sin(pi/6+x)]
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `desolve(y```^```2+y’```^```2=1,y)`
  On obtient :
  `[sin(-c_0+x),sin(-c_0-x)]`
  On tape :
  `desolve([y```^```2+y’```^```2=1,y(0)=1/2],y)`
  On obtient :
  `[sin(pi/6+x),sin(pi/6-x)]`
- Résoudre :
  (y+y′)4+y′+3*y
  On pose :
  y+y′=2t ce qui donne :
  y=−t−8t4 et dy/dx=2t−y=3t+8t4 soit dx=dy/(3t+8t4)
  on a donc :
  dy/dt=−1−32t3 et dx=(−1−32t3)/(3t+8t4) dt
  On tape :
  `int((-1-32*t```^```3)/(3*t+8*t```^```4),t)`
  On obtient :
  `(ln(1/(abs(t)```^```3*abs(8*t```^```3+3)```^```11)))/9`
  donc
  x=−(ln(abs(t)3*abs(8*t3+3)11))/9+k et
  y=−t−8*t4
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `desolve((y+diff(y))```^```4+diff(y)+3*y,y)`
  Mais on n’obtient pas de résultat.
- Résoudre :
  y′2=4*sqrt(y)
  On a :
  y′=2*y1/4
  2*y(3/4)/3=x+k Donc :
  y=(3(x+k)/2)(4/3)=exp(4/3*ln(3(x+k)/2))
  Avec `Xcas`
  On tape :
  `desolve((diff(y))```^```2=(4*sqrt(y)),y)`
  On obtient :
  `[exp(4*ln(((-48*c_0+96*x)```^```(1/3))/4)),...]`

## 28.8 Équation de Clairaut

C’est une équation de la forme y=x*y′+f(y′) que l’on résout en posant y′=dy/dx=t. On a donc y=t*x+f(t),(x+f′(t))*dt=0.
Donc l’intégrale générale est t=m=cste et x=−f′(t),y=−t*f′(t)+f(t).
Cela définit une infinité de droites Dm d’équation y=mx+f(m) (m∈ ℝ) et l’intégrale singulière x=−f′(t),y=−t*f′(t)+f(t) qui est l’enveloppe des droites Dm.
Résoudre :
y−xy′=√a2+b2*y′2
On pose y′=dy/dx=t et f(t)=√a2+b2*t2.
On a :
f′(t)=b2*t/√a2+b2*t2
donc comme solution les droites : y=m*x+√a2+b2*m2
et comme intégrale singulière :
x=−b2*t/√a2+b2*t2,y=−b2*t2/√a2+b2*t2+√a2+b2*t2
Avec `Xcas`
On tape :
`desolve(y-x*diff(y)=sqrt(a```^```2+b```^```2*diff(y)```^```2),y)`
On obtient :
`[c_0*x+sqrt(a```^```2+b```^```2*c_0```^```2), [-((sqrt(a```^```2+b```^```2*‘ t‘```^```2)*‘ t‘*b```^```2)/(‘ t‘```^```2*b```^```2+a```^```2)), (sqrt(a```^```2+b```^```2*‘ t‘```^```2)*a```^```2)/(‘ t‘```^```2*b```^```2+a```^```2)]]`
On peut dessiner les solutions avec `Xcas`, on tape :

    assume(a=[1,0,5]);
    assume(b=[1,0,5]);
    assume(m=[1,-5,5]);
    droite(y=m*x+sqrt(a^2+b^2*m^2));
    plotparam(-b^2*t/sqrt(a^2+b^2*t^2)+
      i*(-b^2*t^2/sqrt(a^2+b^2*t^2)+sqrt(a^2+b^2*t^2)),t);

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