Limites : limit limite

### 6.23.1 Limites : limit limite

limit permet de calculer à condition d’être en radians la limite d’une expression en un point fini (ou infini). En utilisant un paramètre supplementaire, on peut indiquer si on cherche une limite par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures (1 pour dire "par valeurs supérieures" et -1 pour dire "par valeurs inférieures").
limit a trois ou quatre arguments :
une expression, le nom de la variable (par exemple x), le point limite (par exemple a) et un argument optionnel qui indique si la limite est unidirectionnelle ou bidirectionnelle (par défaut 0). Cet argument est égal à -1 pour une limite à gauche (x<a) ou est égal à 1 pour une limite à droite (x>a) ou à 0 pour une limite.
L’argument optionnel est donc utilisé lorsque l’on veut calculer une limite à droite (+1) ou une limite à gauche (-1).
limit renvoie la limite demandée (si elle existe !).
Remarque
On peut aussi mettre comme argument x=a à la place de x,a donc : limit a aussi comme arguments une expression dépendant d’une variable, une égalité (variable =la valeur où l’on veut calculer la limite) et éventuellement 1 ou -1 pour indiquer la direction.
Autre remarque
si on tape limit((-1)`^`n,n=inf), alors Xcas répond bounded_function(5) ce qui veut dire que la fonction est bornée mais qu’elle n’a pas de limite à l’infini.
On tape :

limit(1/x,x,0,-1)

ou

limit(1/x,x=0,-1)

On obtient :

-(infinity)

On tape :

limit(1/x,x,0,1)

ou

limit(1/x,x=0,1)

On obtient :

+(infinity)

On tape :

limit(1/x,x,0,0)

ou

limit(1/x,x,0)

ou

limit(1/x,x=0)

On obtient :

infinity

cela veut dire que abs(1/x) tend vers +∞ quand x tend vers 0.
Exercices :

- Trouver pour n>2, la limite quand x tend vers 0 de :

  ntan(x)−tan(nx)
  sin(nx)−nsin(x)

  On tape :
  limit((n*tan(x)-tan(n*x))/(sin(n*x)-n*sin(x)),x=0)
  On obtient :
  2
- Trouver la limite quand x tend vers +∞ de :

  √
  x+ |
  √
  x+ | √ |
  x
  | − | √ |
  x

  On tape :
  limit(sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))-sqrt(x),x=+infinity)
  On obtient :
  1/2
- Trouver la limite quand x tend vers 0 de :

  √ |
  1+x+x2/2
  | −exp(x/2)
  (1−cos(x))sin(x)

  On tape :
  limit((sqrt(1+x+x`^`2/2)-exp(x/2))/((1-cos(x))*sin(x)),x,0)
  On obtient :
  -1/6

Pour calculer quelquefois des limites plus aisément, il peut être judicieux de quoter le premier argument.
On tape par exemple :

limit(’(2*x-1)*exp(1/(x-1))’,x=+infinity)

On remarquera que l’on a quoté ici le premier argument pour qu’il ne soit pas évalué c’est à dire pour qu’il ne soit pas simplifié.
On obtient :

+(infinity)