linmeq シルベスタおよびリアプノフ方程式ソルバー

## 呼び出し手順

    [X(,sep)] = linmeq(task,A,(B,)C,flag,trans(,schur))

## パラメータ

task

  方程式の型を定義する整数オプション:

  =1

    シルベスタ方程式(1a) または (1b)を解きます ;

  =2

    リアプノフ方程式(2a) または (2b)を解きます;

  =3

    コレスキー分解 op(X) リアプノフ方程式 (3a) または (3b)を解きます.

A

  実数行列

B

  実数行列

C

  実数行列

flag

  (オプション) オプションを含む長さ3または2の整数ベクトル.

  task

    = 1 : flag の長さは3です

    flag(1)

      = 0 : 連続時間方程式 (1a)を解きます; そうでない場合, 離散時間方程式 (1b)を解きます.

    flag(2)

      = 1 : A は (準) 上三角行列です;

    flag(2)

      = 2 : A は上ヘッセンベルグ行列です;

    それ以外

      A は一般形式です.

    flag(3)

      = 1 : B は準上三角行列です;

    flag(3)

      = 2 : B は上ヘッセンベルグ行列です;

    それ以外,

      B は一般形式です.

  task

    = 2 : flag の長さは2です

    flag(1)

      0の場合, 連続時間方程式 (2a)を解きます; そうでない場合, 離散時間方程式 (2b)を解きます.

    flag(2)

      = 1 : A は (準) 上三角行列,　それ以外の場合, A は一般形式です.

  task

    = 3 : flag hの長さは2です

    flag(1)

      = 0 : 連続時間方程式 (3a)を解きます; そうでない場合, 離散時間方程式 (3b)を解きます.

    flag(2)

      = 1 : A は (準) 上三角行列,　それ以外の場合, A は一般形式です.

  デフォルト: flag(1) = 0, flag(2) = 0 (, flag(3) = 0).

trans

  (オプション) 転置オプションを指定する整数.

  =

    0 : op(M) = Mとして方程式 (1) - (3) を解きます.

  =

    1 : op(M) = M' として方程式 (1) - (3) を解きます.

  =

    2 : op(A) = A'; op(B) = B; として方程式 (1) を解きます.

  =

    3 : op(A) = A; op(B) = B'; として方程式 (1) を解きます.

  デフォルト: trans = 0.

schur

  (オプション) Hessenberg-Schur法またはSchur法のどちらを 使用するかを指定する整数. task = 1 で使用可能.

  = 1 : Hessenberg-Schur 法

    (1個の行列がSchur形式に縮減されます).

  = 2 : Schur 法

    (2個の行列がSchur形式に縮減されます).

  デフォルト: schur = 1.

X

sep

  (オプション) (2.a)の場合 Sep(op(A),-op(A)'), (2.b)の場合 Sepd(A,A') の推定器.

## 説明

linmeq 関数は, SLICOT ルーチンSB04MD, SB04ND, SB04PD, SB04QD, SB04RD, SB03MD, および SB03ODを用いて シルベスターおよびリアプノフ方程式を解きます.

        [X] = linmeq(1,A,B,C,flag,trans,schur)
    [X,sep] = linmeq(2,A,C,flag,trans)
        [X] = linmeq(2,A,C,flag,trans)
        [X] = linmeq(3,A,C,flag,trans)

linmeq は種々のシルベスタおよびリアプノフ行列方程式を解きます:

    op(A)*X + X*op(B) = C,                           (1a)
    op(A)*X*op(B) + X = C,                           (1b)
    op(A)'*X + X*op(A) = C,                          (2a)
    op(A)'*X*op(A) - X = C,                          (2b)
    op(A)'*(op(X)'*op(X)) + (op(X)'*op(X))*op(A) =
                          -  op(C)'*op(C),           (3a)
    op(A)'*(op(X)'*op(X))*op(A) - op(X)'*op(X) =
                                - op(C)'*op(C),      (3b)

ただし op(M) = M, または M'です.

## コメント

1.

  (1a) または (1b)の場合でschur = 1の時, Hessenberg-Schur法が使用され,1個の行列は ヘッセンベルク形式, その他の1個の行列は実数Schur形式に縮減されます. その他の場合, 行列は両方共実数Schur形式に縮減されます. 1個または両方の行列がすでにSchur/Hessenberg形式に縮減されている場合, flag(2) およびflag(3)でこのことを指定することができます. 一般的な行列の場合,Hessenberg-Schur法は Schur法よりもはるかに効率的です.

2.

  方程式 (2a) または (2b)において, 行列 C は対称と仮定されます.

3.

  方程式 (3a) または (3b)において, 行列 A はそれぞれ安定または 収束性を有する必要があります.

4.

  方程式 (3a) または (3b)の場合, 計算される行列 X は 解のコレスキー分解です, すなわち, 実際の解は op(X)'*op(X), ただし X は上三角行列です.

## 履歴

V. Sima, Katholieke Univ. Leuven, Belgium, May 1999, May, Sep. 2000. V. Sima, University of Bucharest, Romania, May 2000.

## 例

    //(1a)
    n=40;m=30;
    A=rand(n,n);C=rand(n,m);B=rand(m,m);
    X = linmeq(1,A,B,C);
    norm(A*X+X*B-C,1)
    //(1b)
    flag=[1,0,0]
    X = linmeq(1,A,B,C,flag);
    norm(A*X*B+X-C,1)
    //(2a)
    A=rand(n,n);C=rand(A);C=C+C';
    X = linmeq(2,A,C);
    norm(A'*X + X*A -C,1)
    //(2b)
    X = linmeq(2,A,C,[1 0]);
    norm(A'*X*A -X-C,1)
    //(3a)
    A=rand(n,n);
    A=A-(max(real(spec(A)))+1)*eye(); //shift eigenvalues
    C=rand(A);
    X=linmeq(3,A,C);
    norm(A'*X'*X+X'*X*A +C'*C,1)
    //(3b)
    A = [-0.02, 0.02,-0.10, 0.02,-0.03, 0.12;
          0.02, 0.14, 0.12,-0.10,-0.02,-0.14;
         -0.10, 0.12, 0.05, 0.03,-0.04,-0.04;
          0.02,-0.10, 0.03,-0.06, 0.08, 0.11;
         -0.03,-0.02,-0.04, 0.08, 0.14,-0.07;
          0.12,-0.14,-0.04, 0.11,-0.07, 0.04]
    C=rand(A);
    X=linmeq(3,A,C,[1 0]);
    norm(A'*X'*X*A - X'*X +C'*C,1)

## 参照

- sylv
- lyap