splin3d 3次元補間グリッドのスプライン

## 呼び出し手順

                tl = splin3d(x, y, z, v)
                tl = splin3d(x, y, z, v, order)

## 引数

x,y,z

  3次元補間グリッドを定義する単調増加の行ベクトル (各行には最低3個の要素)

v

  nx x ny x nz ハイパー行列 (nx, ny, nz は `x`, `y` および `z`の長さ)

order

  (オプション) 1x3 ベクトル [kx,ky,kz] で, 各方向へのテンソルスプラインの次数を指定します (デフォルトは [4,4,4], すなわち, 3次元3次スプライン).

tl

  スプラインを定義するsplin3d型のtlist

## 説明

この関数は, (xi,yj,zk,vijk)個の点を補間する 3次元テンソルスプラインs を計算します. すなわち,i=1,..,nx, j=1,..,ny およびk=1,..,nzについて s(xi,yj,zk)=vijkとなります. 得られるスプラインsは,sの Bスプラインテンソル表現により構成される`tl` により定義されます. いくつかの点で (sおよびその1階微分を計算する) interp3d関数,または, (sの任意微分を計算する) bsplin3val関数により, sの評価を行う必要があります. いくつかの種類のスプラインを,各方向のスプラインの次数 `order=[kx,ky,kz]`を選択することにより 計算することができます.

注意 : この関数は以下の条件で動作します

nx, ny, nz ≥ 3
2 ≤ kx < nx
2 ≤ ky < ny
2 ≤ kz < nz

これらの条件が考慮されない場合にエラーが発生します.

## 例

    // 例1
    // =============================================================================
    func =  "v=cos(2*%pi*x).*sin(2*%pi*y).*cos(2*%pi*z)";
    deff("v=f(x,y,z)",func);
    n = 10;  // n x n x n  補間点
    x = linspace(0,1,n); y=x; z=x; // 補間グリッド
    [X,Y,Z] = ndgrid(x,y,z);
    V = f(X,Y,Z);
    tl = splin3d(x,y,z,V,[5 5 5]);
    m = 10000;
    // 近似誤差を計算
    xp = grand(m,1,"def"); yp = grand(m,1,"def"); zp = grand(m,1,"def");
    vp_exact = f(xp,yp,zp);
    vp_interp = interp3d(xp,yp,zp, tl);
    er = max(abs(vp_exact - vp_interp))
    // n=20で再試行し,誤差を見る

    // 例 2 (linear_interpn のヘルプを参照ください,
    //       trilinear補間に関する同じ例があります)
    // =============================================================================
    exec("SCI/modules/interpolation/demos/interp_demo.sci", -1);
    func =  "v=(x-0.5).^2 + (y-0.5).^3 + (z-0.5).^2";
    deff("v=f(x,y,z)",func);
    n = 5;
    x = linspace(0,1,n); y=x; z=x;
    [X,Y,Z] = ndgrid(x,y,z);
    V = f(X,Y,Z);
    tl = splin3d(x,y,z,V);
    // いくつかの断面で3次元スプラインを計算(および表示)
    m = 41;
    dir = ["z="  "z="  "z="  "x="  "y="];
    val = [ 0.1   0.5   0.9   0.5   0.5];
    ebox = [0 1 0 1 0 1];
    [XF, YF, ZF, VF] = ([], [], [], []);
    for i = 1:length(val)
        [Xm,Xp,Ym,Yp,Zm,Zp] = slice_parallelepiped(dir(i), val(i), ebox, m, m, m);
        Vm = interp3d(Xm,Ym,Zm, tl);
        [xf,yf,zf,vf] = nf3dq(Xm,Ym,Zm,Vm,1);
        XF = [XF xf]; YF = [YF yf]; ZF = [ZF zf]; VF = [VF vf];
        Vp = interp3d(Xp,Yp,Zp, tl);
        [xf,yf,zf,vf] = nf3dq(Xp,Yp,Zp,Vp,1);
        XF = [XF xf]; YF = [YF yf]; ZF = [ZF zf]; VF = [VF vf];
    end

    clf
    [nb_col, vmin, vmax] = (128, min(VF), max(VF));
    color = dsearch(VF,linspace(vmin,vmax,nb_col+1));
    gcf().color_map = jetcolormap(nb_col);
    gca().hiddencolor = gca().background;
    colorbar(vmin,vmax)
    plot3d(XF, YF, list(ZF,color), flag=[-1 6 4])
    title("3d spline interpolation of "+func, "fontsize",3)

exec("SCI/modules/interpolation/demos/interp_demo.sci", -1); func = "v=(x-0.5).^2 + (y-0.5).^3 + (z-0.5).^2"; deff("v=f(x,y,z)",func); n = 5; x = linspace(0,1,n); y=x; z=x; [X,Y,Z] = ndgrid(x,y,z); V = f(X,Y,Z); tl = splin3d(x,y,z,V); m = 41; direction = ["z=" "z=" "z=" "x=" "y="]; val = [ 0.1 0.5 0.9 0.5 0.5]; ebox = [0 1 0 1 0 1]; XF=[]; YF=[]; ZF=[]; VF=[]; for i = 1:length(val) [Xm,Xp,Ym,Yp,Zm,Zp] = slice_parallelepiped(direction(i), val(i), ebox, m, m, m); Vm = interp3d(Xm,Ym,Zm, tl); [xf,yf,zf,vf] = nf3dq(Xm,Ym,Zm,Vm,1); XF = [XF xf]; YF = [YF yf]; ZF = [ZF zf]; VF = [VF vf]; Vp = interp3d(Xp,Yp,Zp, tl); [xf,yf,zf,vf] = nf3dq(Xp,Yp,Zp,Vp,1); XF = [XF xf]; YF = [YF yf]; ZF = [ZF zf]; VF = [VF vf]; end nb_col = 128; vmin = min(VF); vmax = max(VF); color_example = dsearch(VF,linspace(vmin,vmax,nb_col+1)); gcf().color_map = jetcolormap(nb_col); clf(); gca().hiddencolor = gca().background; colorbar(vmin,vmax) plot3d(XF, YF, list(ZF,color_example), flag=[-1 6 4]) xtitle("3d spline interpolation of "+func)

## 参照

- linear_interpn
- interp3d
- bsplin3val