intg определённый интеграл

## Синтаксис

                [v, err] = intg(a, b, f)
                [v, err] = intg(a, b, f, atol)
                [v, err] = intg(a, b, f, atol, rtol)
                [v, err, ierr] = intg(..)

## Аргументы

a, b
  Конечные действительные числа: границы интеграла.

f
  внешняя функция (функция, список или строка)

atol
  абсолютная ошибка, требуемая для результата. Значение по умолчанию: 1.d-13.

rtol
  относительная ошибка, требуемая для результата. Значение по умолчанию: 1.d-8.

err
  оцененная абсолютная ошибка результата.

ierr
  error flag number (= 0 if no error occurred).

## Описание

`intg(a,b,f)` вычисляет определённый интеграл функции `f(t)` по `dt` в пределах от `a` до `b`. Функция `f(t)` должна быть непрерывной.

Вычисление, как можно ожидать, удовлетворяет следующему условию точности: `abs(I-v)<= max(atol, rtol*abs(I))`, где `I` -- точное значение интеграла.

`f` -- внешняя функция:

- Если `f` -- функция, то её определение должно иметь вид `y = f(t)`.

- Если `f` -- список, то этот список должен быть в виде: `list(f,x1,x2,...)`, где `f` -- функция с последовательностью вызова `f(t,x1,x2,...)`.

- Если `f` -- строка, то она ссылается на имя либо процедуры Fortran либо функции C с заданной последовательностью вызова:

- в случае Fortran вызывающая последовательность должна быть в виде `double precision function f(x)`, где `x` также является числом двойной точности.

- В случае C вызывающая последовательность должна быть `double f(double *x)`.

Используемые функции : Связанные подпрограммы можно найти в директории SCI/modules/differential_equations/src/fortran: dqags.f и dqagse.f из quadpack.

## Known Limitation

Like all the integrators, `intg` is subject to spike missing.

A flat function with a spike will be seen as a fully flat function if the spike is stiff enough.

This cannot be bypassed. It is easy to understand why when we know how the integrator operates. Indeed, `intg` uses the 21-point Gauss-Kronrod rule. Hence, any spike in-between two consecutive integration points will be undetected, and the function will be considered smooth.

However, a warning message will be issued if the function is considered very smooth. The user will then be suggested to reduce the integration interval, should he think that spikes were missed.

The following graphs illustrate that phenomenon:

x = 0:.1:22; y = zeros(1,221); y(1) = 3; y(96) = 1; subplot(1,2,1) plot(x, y, "r"); title(_("Unsampled Spike => missed by intg()"), "fontsize",3); xlabel(_("Indices of integration points, as seen by intg()")) x = 0:21; y = zeros(1,22); y(1) = 3; y(10) = 1; subplot(1,2,2) plot(x, y, "r"); title(_("Sampled spike => detected by intg()"), "fontsize",3); xlabel(_("Indices of integration points, as seen by intg()")) gcf().axes_size = [700 350];

On the left image, the spike lays between the 9th and 10th integration points, and is not detected. `intg` considers the function flat. On the right, the spike is large enough to be covered by the integration points.

When we want to display the computed solution even if the solver has encountered an error, we should add the third output argument `ierr`. Then errors become simple warnings. This is mostly used in the case of rounding errors.

## Примеры

    // Функция, написанная на языке Scilab
    function y = f(x), y = x*sin(30*x)/sqrt(1-((x/(2*%pi))^2)), endfunction
    exact = -2.5432596188;
    I = intg(0, 2*%pi, f)
    abs(exact - I)

    // Функция с аргументом, написанном на языке Scilab
    function y = f1(x,w), y=x*sin(w*x)/sqrt(1-((x/(2*%pi))^2)), endfunction
    I = intg(0, 2*%pi, list(f1,30))
    abs(exact - I)

    // Функция, написанная на Fortran (требуется компилятор Fortran)
    // определение функции Fortran
    cd TMPDIR;
    F=['      double precision function ffun(x)'
       '      double precision x,pi'
       '      pi=3.14159265358979312d+0'
       '      ffun=x*sin(30.0d+0*x)/sqrt(1.0d+0-(x/(2.0d+0*pi))**2)'
       '      return'
       '      end'];
    mputl(F, 'ffun.f')

    // компилируем функцию
     l = ilib_for_link('ffun', 'ffun.f', [], 'f');

    // добавляем  функцию в рабочее окружение
    link(l, 'ffun', 'f')

    // интегрируем функцию
    I = intg(0, 2*%pi, 'ffun')
    abs(exact - I)

    // Функция, написанная на C (требуется компилятор C)
    // определение C-функции
    C=['#include <math.h>'
       'double cfun(double *x)'
       '{'
       '  double y,pi=3.14159265358979312;'
       '  y=*x/(2.0e0*pi);'
       '  return *x*sin(30.0e0**x)/sqrt(1.0e0-y*y);'
       '}'];
    mputl(C, 'cfun.c')

    //  компилируем функцию
    l = ilib_for_link('cfun', 'cfun.c', [], 'c');

    // добавляем  функцию в рабочее окружение
    link(l, 'cfun', 'c')

    // интегрируем функцию
    I = intg(0, 2*%pi, 'cfun')
    abs(exact - I)

## Смотрите также

- intc
- intl
- inttrap
- intsplin
- ode

## История

6.0.2 The default value atol of the absolute tolerance is increased from 1O-14 to 1O-13.